Отзыв официального оппонента (Ренормализационная группа в некоторых моделях критического состояния и стохастической динамики)

отзыв официального оппонента на диссертационную работу Лебедева Никиты Михайловича «Ренормализационная группа в некоторых моделях критического состояния и стохастической динамики», представленную на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.04.02 — Теоретическая физика. В диссертации Н.М.

Лебедева проведено исследование ряда моделей критического поведения и стохастических моделей, описывающих эволюцию случайных границ раздела. Основой для представленных в диссертации исследований служит математический аппарат квантовополевой ренормализационной группы. Данный аппарат позволяет построить последовательное количественное и качественное описание широкого спектра систем, проявляющих универсальное скейлинговое поведение. Наиболее известный пример такого описания дается хорошо известной моделью Ф'4 Ландау-Гинзбурга, описывающей фазовый переход второго рода в любой системе с однокомпонентным параметром порядка (среди прочего переходы жидкость-пар, точку расслоения в бинарных смесях, переходы в системах, описываемых моделью Изинга и т.д.).

В настоящий момент данная модель, так же как и ее О(п)-симметричное векторное обобщение, является хорошо изученной, и позволяет получить надежные предсказания для соответствующих критических индексов. Однако в случае, когда речь идет о системах со сложными симметриями или типами параметра порядка, ситуация оказывается куда менее удовлетворительной. В этой связи проблема построения и изучения подобных моделей на сегодняшний день по прежнему остается актуальной. Изучению именно таких моделей и посвящены первые две главы диссертации. Первая глава носит вводный характер. В ней дается краткое описание общих методов формулировки, и перенормировки теоретико-полевых моделей, возникающих в теории критического поведения.

На простом примере парного коррелятора модели Ф 4 демонстрируется связь возможных критических режимов с фиксированными точками ренормгрупповых уравнений. Во второй главе изучаются возможные режимы двух моделей критического поведения. Первая представляет собой обобщение Б(п)-симметричной модели типа Ф 4 с комплексным антисимметричным тензорным параметром порядка, описывающей критическое поведение систем нерелятивистских фермио нов с дополнительными степенями свободы. В диссертации данная модель рассматривается в присутствии магнитного поля.

Показано, что взаимодействие с магнитным полем приводит к появлению двух новых фиксированных точек, которые потенциально могут быть достигнуты ренормгрупповыми (РГ) потоками, в случае если число компонент параметра порядка достаточно велико. Тем не менее, в рамках однопетлевого приближения они обе являются седловидными точками. Таким образом, вывод о том, что в рамках теории возмущений фазовый переход первого рода является единственным возможным поведением подобной модели, сделанный авторами изучавшими модель без магнитного поля, остается в силе.

Вторая модель представляет собой модификацию комплексной модели на случай чисто вещественного параметра порядка и 0(п)-симметрии. В результате анализа данной модели обнаружены три фиксированных точки, одна из которых всегда лежит в физической области параметров, а две других только в случае п=4. Все расчеты выполнены с четырех петлевой точностью. На таком уровне точности уже сильно сказывается аснмптотический характер рядов теории возмущений, поэтому для получения адекватных численных оценок в работе с помощью несколько модифицированной техники инстантонного анализа были найдены параметры асимптотики высоких порядков коэффициентов этих рядов.

После чего численные оценки были получены путем борелевского пересуммирования эпсилон разложений с применением конформного отображения. В результате было установлено, что в случае п=4 в модели присутствует инфракрасно (ИК) притягивающая фиксированная точка, а корреляционные функции проявляют скейлинговое поведение, на показатели которого получены численные оценки. В работе так же проведен анализ этой же модели с помощью схемы ренормнровки в фиксированной размерности пространства и псевдоэпсилон-разложения. Результаты данного подхода качественно подтверждают сделанные ранее выводы.

Оставшиеся две главы диссертации посвящены изучению четырех моделей эволюции случайных границ. Описание подобных систем обычно строится на основе некоторого стохастического дифференциального уравнения, и заданного распределения случайного шума.

Известно, что достаточно широкий класс подобных задач может быть переформулирован в виде некоторой квантовоп оленой модели, действие которой однозначно задается видом уравнения и распределением случайного шума. В качестве базовой модели при этом используемся модель Кардара-Пари зи-3анга (КП3). Она достаточно хорошо изучена и описывает инфракрасное асимптотическое поведение очень широкого круга различных систем. На ее основе были построены многочисленные феноменологические модели, наилучшим образом учитывающие различные симметрии конкретных физических систем.

В частности в диссертации кроме самой модели КПЗ рассматриваются так же, анизотропная модель Хуа-Кардара, и две бесконечно-зарядные модели роста: изотропная и анизотропная. Другим важным, но гораздо менее изученным фактором, влияющим на поведение модели, является выбор распределения случайного шума. Известно, что смена формы распределения может привести к смене класса универсальности, которому принадлежит модель, или вообще разрушить инфракрасное скейлинговое поведение. Все рассмотренные в данной диссертации модели ранее изучались с так называемым «тепловым» случайным шумом: Гауссовым шумом с нулевыми средним, временем корреляций и корреляционной длинной.

В диссертации Н.М..Лебедева в качестве шума для данных моделей выбран «статический» шум: тоже Гауссов шум с нулевым средним и корреляционной длиной, но парным коррелятором, не зависящим от времени. В третьей главе дается краткий обзор того, как выбор формы шума позволяет наилучшим образом отразить основные существенные черты случайного внешнего воздействия на систему, а также описание нескольких конкретных распределений.

Далее кратко приводится стандартное доказательство эквивалентности стохастической и квантовополевой моделей, после чего рассматриваются некоторые особенности квантовополевой модели, построенной по задаче со «статическим» шумом.

В частности оказывается, что в этом случае один из пропагаторов всегда содержит в себе дополнительную дельта-функцию от текущей по нему частоты. Так же, в отличие от обычной ситуации когда ультрафиолетовые расходимости представляют собой просто полипом по степеням импульсов н частот, в данном случае дельта-функция от внешней частоты входит и в саму структуру расходимостей. Несмотря на это, в четвертой главе удается доказать мульти пликативную пер енормируем ость всех четырех моделей. При этом за счет дополнительного интегрирования по времени в одном из членов действия, во всех случаях логарифмическая размерность модели увеличивается на двойку. Во всех четырех моделях удается явно вычислить однопетлевые вклады во все РГ функции, и найти фиксированные точки.

При этом в модели КПЗ фиксированное значение эффективного заряда соответствует «нефизическому» отрицательному знаку амплитуды парного коррелятора шума„и не может отвечать за скейлинговое поведение реальных систем. В случае модели Хуа-Кардара фиксированная точка лежит в физически интересной области параметров. Однако формальный параметр разложения при этом является достаточно большим, нз-за чего результаты однопетлевого приближения нельзя считать надежными. Для бесконечно- зарядных моделей установлено существование двумерной поверхности фиксированных точек, на которой могут быть ИК притягивающие области, ответственные за инфракрасный скейлинг с неуниверсальными критическими показателями, зависящими от конкретного начального состояния системы.

Так же в обеих моделях получено точное соотношение на критические показатели, вытекающее из того факта, что некоторые члены действия не пер енормируются. Интересно отметить, что теоретико-полевые модели, получаемые из стохастических задач со «статическим» случайным шумом, сочетают в себе черты как динамической, так н статической модели. С одной стороны, для корректного анализа перенормируемости модели необходимо введение дополнительной временной размерности, но при этом дополнительная дельта-функция, возникающая в пропагаторах, все равно приводит к необходимости пересмотра стандартных правил анализа расходимостей.

С другой стороны, при конкретных вычислениях данная дельта-функция автоматически снимает интегрирования по частотным переменным во всех диаграммах. В этой связи было бы интересно понять, можно ли развить чисто статический подход к анализу подобных моделей. Так же в качестве дальнейшего исследования было бы интересно рассмотреть случай шума с конечно корреляционной длиной. По диссертации можно сделать следующие замечания: ° В работе присутствует большое количество опечаток, связанных с расстановкой знаков препинания, а так же несущественные опечатки в некоторых словах.

° Мало обсуждается сравнение полученных результатов с экспериментальными данными, в том числе и численными экспериментами. Сделанные замечания не влияют на общую положительную оценку работы. Оценивая работу в целом, можно отметить следующее. Полученные в диссертации результаты являются новым вкладом в теорию критического поведения и критической динамики. Они представляются достоверными, и могут быть использованы для описания скейлинго во го поведения систем самой разнообразной физической природы, а так же способствовать проведению новых экспериментов по измерению различных скейлинговых показателей. Все основные результаты своевременно опубликованы, а апробация работы происходила на различных международных конференциях.

Материал в диссертации изложен последовательно, автореферат соответствует ее содержанию. В результате можно заключить, что диссертация «Реп ормализационная группа в некоторых моделях критического состояния и стохастической динамики» соответствует всем требованиям ВАК, предъявляемым к кандидатским диссертациям, а ее автор, Лебедев Никита Михайлович, без сомнения, заслуживает присуждения ученой степени кандидата физико-математических наук. Официальный оппонент: Малышев Кирилл Леонидович, доктор физико-математических наук, специальность 01.01.03 — математическая физика старший научный сотрудник лаборатории математических проблем физики, Федеральное государственное бюджетное учреждение науки Санкт-Петербургское отделение Математического института им.

В.А. Стеклова Россиийскоий Академии Наук. Адрес: 191023, Санкт-Петербург, наб. реки Фонтанки, д. 27 Рабочий телефон: +7 (921) 312 40 58 Б-та11: ша1узпеч®рйш.газ.ги «14» мая 2018 года .