Диссертация (Эффект поверхностных и межфазных напряжений в деформируемом теле с плоской и рельефной поверхностью), страница 8

2.13. Çàâèñèìîñòü ìàêñèìóìîâ îêðóæíûõ (à á) è íîðìàëüíûõ (â ã) íàïðÿæåíèé îòïåðèîäà èñêðèâëåíèÿ ïîâåðõíîñòè 54 íàïðÿæ¼ííî-äåôîðìèðîâàííîå ñîñòîÿíèå òåëà ïðàêòè÷åñêè íà çàâèñèò îò ïîâåðõíîñòíûõ íàïðÿæåíèé.Âñå ïðèâåä¼ííûå âûøå ãðàôèêè áûëè ïîñòðîåíû ïðè òîì æå çíà÷åíèè ïàðàìåòðà M = 0, 113 íì, ÷òî è â ãëàâå 1. Ñ öåëüþ âûÿñíåíèÿ âëèÿíèÿ ïàðàìåòðàM íà ðàçìåðíûé ýôôåêò áûëè ïðîâåäåíû âû÷èñëåíèÿ äëÿ ãèïîòåòè÷åñêîãî ñî÷åòàíèÿ óïðóãèõ ñâîéñòâ ïîâåðõíîñòè è ïîëóïëîñêîñòè ïðè M = 0, 5 íì è M = 1íì. Ðåçóëüòàòû âû÷èñëåíèé ïðèâåäåíû íà ðèñ. 2.13á è 2.13ã âìåñòå ñ êðèâûìè,ñîîòâåòñòâóþùèìè çíà÷åíèÿì M = 0, 1 íì è M = 0. Êðàñíûå, ÷¼ðíûå, ñèíèåè çåë¼íûå ëèíèè ñîîòâåòñòâåííî îáîçíà÷àþò íàïðÿæåíèÿ, ðàññ÷èòàííûå ïðèM = 0; 0, 1; 0, 5; 1 íì.

Ðåøåíèå, ïîëó÷åííîå ïðè M = 0 ýêâèâàëåíòíî êëàññè÷åñêîìó ðåøåíèþ, íå ó÷èòûâàþùåìó ïîâåðõíîñòíîå íàïðÿæåíèå.Èç ðèñ. 2.13á ñëåäóåò, ÷òî óâåëè÷åíèå ïàðàìåòðà M ïðèâîäèò ê íåìîíîòîííîé çàâèñèìîñòè îêðóæíîãî íàïðÿæåíèÿ îò ïåðèîäà èñêðèâëåíèÿ ïîâåðõíîñòè.Áîëåå òîãî, â îòëè÷èå îò ðåàëüíîãî çíà÷åíèÿ M = 0, 113 íì, ñ óìåíüøåíèåìïåðèîäà èñêðèâëåíèÿ a ïðèáëèçèòåëüíî îò çíà÷åíèÿ 20 íì îêðóæíîå íàïðÿæåíèå âîçðàñòàåò ïðè M = 0, 5 íì è îò çíà÷åíèÿ 40 íì ïðè M = 1 íì.

Íàðèñ. 2.13å ïîêàçàíî, ÷òî ñ óâåëè÷åíèåì ïàðàìåòðà M ýôôåêò ïîâåðõíîñòíûõíàïðÿæíåíèé ïðîÿâëÿåòñÿ ñèëüíåå. êîíöå ãëàâû ïðèâåä¼ì îñíîâíûå ðåçóëüòàòû, âûòåêàþùèå èç ïîëó÷åííûõ çàâèñèìîñòåé. Ýôôåêò ïîâåðõíîñòíûõ íàïðÿæåíèé, äåéñòâóþùèõ íà ñëàáîèñêðèâë¼ííîé â íàíîìåòðîâîì äèàïàçîíå ãðàíèöå óïðóãîãî ïîëóïðîñòðàíñòâà,ïðîÿâëÿåòñÿ â ñëåäóþùåì:• ðàçìåðíûé ýôôåêò çàâèñèìîñòü íàïðÿæ¼ííîãî ñîñòîÿíèÿ îò ïåðèîäà èñêðèâëåíèÿ ïîâåðõíîñòè;• âëèÿíèå ôîðìû ïîâåðõíîñòè: ÷åì ìåíüøå ðàäèóñ êðèâèçíû, òåì ñèëüíååïðîÿâëÿåòñÿ âëèÿíèå ïîâåðõíîñòíûõ íàïðÿæåíèé;• ïîâåðõíîñòíîå íàïðÿæåíèå ïåðåñòà¼ò âëèÿòü íà íàïðÿæ¼ííîå ñîñòîÿíèå íàíîìàòåðèàëà ïðè a > 100 íì. 55 Ãëàâà 3. Äâóõêîìïîíåíòíàÿ ïëîñêîñòü ñî ñëàáîèñêðèâë¼ííîé ìåæôàçíîé ãðàíèöåé ãåòåðîýïèòàêñèàëüíûõ ñòðóêòóðàõ ñóùåñòâóþò ìåæôàçíûå ïîâåðõíîñòè,îáëàäàþùèå óïðóãèìè ñâîéñòâàìè, îòëè÷àþùèìèñÿ îò óïðóãèõ ñâîéñòâ êîíòàêòèðóþùèõ ìàòåðèàëîâ.

Êðîìå òîãî, â ðåàëüíûõ òåëàõ ôîðìà ìåæôàçíîé ïîâåðõíîñòè, òàê æå êàê è âíåøíåé, ìîæåò èìåòü íåðîâíîñòè. Ìåæôàçíûå íàïðÿæåíèÿ íåèçáåæíî îêàçûâàþò âëèÿíèå íà ìåõàíè÷åñêèå ñâîéñòâà íåîäíîðîäíûõìàòåðèàëîâ ýôôåêòèâíûå ìîäóëè óïðóãîñòè, îïðåäåëÿþùèå ñîîòíîøåíèÿ èïð. [7, 50]. äàííîé ãëàâå èññëåäóåòñÿ âëèÿíèå ìåæôàçíûõ íàïðÿæåíèé íà íàïðÿæ¼ííîå ñîñòîÿíèå ñëàáî èñêðèâë¼ííîé ãðàíèöû ðàçäåëà äâóõ óïðóãèõ ñðåä. Âðàìêàõ ðàññìàòðèâàåìîãî ïîäõîäà ïåðåìåùåíèÿ íåïðåðûâíû ïðè ïåðåõîäå ÷åðåç ìåæôàçíóþ ïîâåðõíîñòü, à ñêà÷îê íàïðÿæåíèé ñâÿçàí ñ ñóùåñòâîâàíèåììåæôàçíûõ íàïðÿæåíèé. Ïðîâîäèòñÿ àíàëèç âëèÿíèÿ ôîðìû èñêðèâëåíèÿ ïîâåðõíîñòè è ôèçè÷åñêèõ ïàðàìåòðîâ íà íàïðÿæ¼ííîå ñîñòîÿíèå ãðàíèöû ðàçäåëà ñðåä.Ÿ 3.14Ïîñòàíîâêà çàäà÷èÐàññìîòðèì óïðóãîå òåëî, ñîñòîÿùåå èç äâóõ ïîëóïðîñòðàíñòâ ñî ñëàáîèñêðèâë¼ííîé ìåæôàçíîé ïîâåðõíîñòüþ.

Ñ÷èòàåì, ÷òî òåëî íàõîäèòñÿ â óñëîâèÿõ ïëîñêîé äåôîðìàöèè. Òîãäà ìîæåì ïåðåéòè ê ïîñòàíîâêå ñîîòâåòñòâóþùåé 56 äâóìåðíîé çàäà÷è äëÿ äâóõêîìïîíåíòíîé ïëîñêîñòè ñî ñëàáî èñêðèâë¼ííîé ãðàíèöåé ðàçäåëà (ðèñ. 3.14). Ïóñòü óïðóãèå ñâîéñòâà íèæíåé ïîëóïëîñêîñòè Ω1îòëè÷àþòñÿ îò óïðóãèõ ñâîéñòâ âåðõíåé Ω2 , à íà ãðàíèöå ðàçäåëà Γ äåéñòâóåòìåæôàçíîå íàïðÿæåíèå σ s [11, 35, 43]. Ãðàíèöà Γ îïðåäåëÿåòñÿ ðàâåíñòâîìΓ = {z : z = ζ ≡ x1 + iεf (x1 )} ,ãäå ε 1, à ôóíêöèÿ f (x1 ) íåïðåðûâíàÿ, ïåðèîäè÷åñêàÿ è îãðàíè÷åííàÿ, òîåñòüf (x1 ) = f (x1 + a),|f (x1 )| ≤ a,|f 0 (x1 )| ≤ M = const,ãäå a ïåðèîä.x22∞σ122∞σ22σ2σ2Ω2λ2 , µ2x2 = εf (x1 )σsΓ−a/2−εaa/2Ω1λ1 , µ1σ1σsx1σ11∞σ121∞σ22Ðèñ. 3.14.

Äâóìåðíàÿ ìîäåëü óïðóãîãî äâóõêîìïîíåíòíîãî òåëà ñî ñëàáî èñêðèâë¼ííîé ãðàíèöåéÍà ìåæôàçíîé ãðàíèöå Γ îòñóòñòâóþò ðàçðûâû ïåðåìåùåíèé, à ñêà÷îêíàïðÿæåíèé σ k (k = 1, 2) áóäåì îïðåäåëÿòü ÷åðåç ìåæôàçíîå íàïðÿæåíèå σ s ,èñïîëüçóÿ îáîáù¼ííûé çàêîí Ëàïëàñà Þíãà. Óñëîâèÿ êîíòàêòà èìåþò âèä:+−u (ζ) = u (ζ),σs1 dσ s≡ ts (ζ),σ (ζ) − σ (ζ) = ∆σ(ζ) =−irh dx1+−(14.1) 57 ãäå ðàäèóñ êðèâèçíû ãðàíèöû r è ìåòðè÷åñêèé êîýôôèöèåíò h îïðåäåëÿþòñÿðàâåíñòâàìè (8.3) àíàëîãè÷íî ãëàâå 2. Èç ïåðâîãî óñëîâèÿ â (14.1) ñëåäóåò, ÷òî00u+ (ζ) − u− (ζ) = ∆u0 (ζ) = 0,(14.2)øòðèõ îçíà÷àåò ïðîèçâîäíóþ ïî àðãóìåíòó.

Íà áåñêîíå÷íîñòè âûïîëíåíû óñëîâèÿ:lim|Im z|→∞σijk (z) = σijk∞ ,Ÿ 3.15lim|Im z|→∞ωk (z) = ωk∞ ,z ∈ Ωk .(14.3)Îñíîâíûå ñîîòíîøåíèÿÂåêòîð íàïðÿæåíèé è âåêòîð ïåðåìåùåíèé ñâÿçàíû ñ êîìïëåêñíûìè ïîòåíöèàëàìè Ãóðñà Êîëîñîâà ñëåäóþùèìè ñîîòíîøåíèÿìè, àíàëîãè÷íûìè ðàâåíñòâàì (9.4) (9.5) [41]:G(z) = ηk Φk (z) + Φk (z) +G(z) =zΦ0k (z)+ Ψk (z) e−2iα , σ(z),z ∈ Ωk ,ηk = 1,(15.1)(15.2)k −2µk du , ηk = −κk .dzÒàê æå êàê è â ãëàâå 2, ââîäÿòñÿ íîâûå ôóíêöèè Υk , ãîëîìîðôíûå â îá-e k = {z : z ∈ Ωk } ñ ãðàíèöåé Γe = {z : z = ζ = x1 − iεf (x1 ), ζ ∈ Γ}ëàñòÿõ Ω(ðèñ.

3.15) ñëåäóþùèì ðàâåíñòâîì:Υk (z) = −Φk (z) − zΦ0k (z) − Ψk (z),(15.3)e k.z∈Ωe è îáëàñòè Ωe k ÿâëÿþòñÿ çåðêàëüíûìè îòðàæåíèÿìè ñîîòâåòÃðàíèöà Γñòâåííî ãðàíèöû Γ è îáëàñòåé Ωk îòíîñèòåëüíî ïðÿìîé x2 = 0. Òîãäà ïðè z ∈ Ωkñ ó÷¼òîì (15.3) ñîîòíîøåíèå (15.1) ïðåîáðàçóåòñÿ ê âèäóG(z) = ηk Φk (z) + Φk (z) − Υk (z) + Φk (z) − (z −z)Φ0k (z)e−2iα .(15.4) 58 (à)(á)Ω2e1ΩΦ2ΓΥ1eΓΥ2Φ1Ω1e2ΩÐèñ. 3.15. Îáëàñòè îïðåäåëåíèÿ ãîëîìîðôíûõ ôóíêöèé Φk (à) è Υk (á)Ïåðåéä¼ì â ðàâåíñòâå (15.4) ê ïðåäåëó ïðè z → ζ ± i0, ñ÷èòàÿ, ÷òî α → α0 ,ãäå α0 óãîë ìåæäó ïîëîæèòåëüíûì íàïðàâëåíèåì êàñàòåëüíîé ê ãðàíèöå Γè îñüþ x1 . Òîãäà óñëîâèÿ (14.1) ïðèâîäÿò ê ñîîòâåòñòâóþùèì äâóì óñëîâèÿì,êîòîðûì äîëæíû óäîâëåòâîðÿòü êîìïëåêñíûå ïîòåíöèàëû Φk , Υk :−+(Φ2 + Υ1 ) − (Φ1 + Υ2 ) + 2iεf (x1 )0Φ+2−0Φ−1++−2iεf 0 (x1 ) +Φ−Υ−Φ−Υ+21121 + iεf 0 (x1 )0 − Φ+ 0+ 2iεf (x1 ) Φ−= ∆σ(ζ) = ts (ζ), (15.5)12−+(µ1 κ2 Φ2 − µ2 Υ1 ) − (µ2 κ1 Φ1 − µ1 Υ2 ) + 2iεf (x1 )0µ2 Φ−1−0µ1 Φ+2++−2iεf 0 (x1 ) hΦ−µΥ−µΦ++µΥ−µ122211211 + iεf 0 (x1 )+ 2iεf (x1 )0µ1 Φ+2−0µ2 Φ−1i= 2µ1 µ2 ∆u0 (ζ) = 0, (15.6)ãäå ãðàíè÷íûå çíà÷åíèÿ êîìïëåêñíûõ ïîòåíöèàëîâ îïðåäåëåíû ñëåäóþùèì îáðàçîì:Φ±k = lim Φk (z),z→ζ±i·0Υ±k = lim Υk (z),z→ζ±i·0ζ ∈ Γ,k = 1, 2.

59 Ÿ 3.16Ìåòîä âîçìóùåíèéÂâèäó òîãî, ÷òî ôóíêöèÿ, îïèñûâàþùàÿ ôîðìó ãðàíèöû ðàçäåëà ñðåä, çàâèñèò îò ìàëîãî ïàðàìåòðà ε, òî àíàëîãè÷íî ãëàâå 2, êîìïëåêñíûå ïîòåíöèàëûΦk , Υk è ôóíêöèþ ìåæôàçíîãî íàïðÿæåíèÿ σ s ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå ñòåïåííûõ ðÿäîâ ïî ε:Φ±k (z)=∞Xεnn=0n!Φ±kn (z),Υ±k (z)∞Xεn=n=0σ s (ζ) =∞Xεnn=0n!n!Υ±kn (z),(16.1)σns (ζ).e, à òàêæå ôóíêöèþÃðàíè÷íûå çíà÷åíèÿ ôóíêöèé Φkn íà Γ è Υkn íà Γσns ðàçëîæèì â ñîîòâåòñòâóþùèå ðÿäû Òåéëîðà â îêðåñòíîñòè ïðÿìîé x2 = 0,ðàññìàòðèâàÿ âåùåñòâåííóþ ïåðåìåííóþ x1 êàê ïàðàìåòð:Φ±kn (ζ)=∞X(iεf (x1 ))mm!m=0∞X(m)±Φkn (x1 ),(−iεf (x1 ))m (m)±=Υkn (x1 ),m!m=0∞X(iεf (x1 ))m s(m)sσn (ζ) =σn (x1 ).m!m=0Υ±kn (ζ)(16.2)Ó÷èòûâàÿ ïîëó÷åííîå â ãëàâå 2 ñîîòíîøåíèå äëÿ êîýôôèöèåíòîâ r è h(10.14) è âûðàæåíèå (10.13), äëÿ óñëîâèÿ (15.5) ïîëó÷èì∞∞+Xεn X (iεf (x1 ))m h (m)m (m)(−1) Υ1n + Φ2n−n!m!n=0m=0−(m)Φ1nm+ (−1)0m+ 2iεf (x1 )(−1)(m)Υ2n−−2iεf (x1 )+ 2iεf (x1 )(−1)∞X(iεf 0 (x1 ))l l!l=0m(m+1)+Φ2n−(m+1)−Φ1n(m)Φ2n=−(m+1)+Φ2n(m)Υ1n∞Xεn n=0n!++Tns (x1 )−(m+1)−Φ1n(m)Υ2n+−H0 τn0(m)Φ1n.+−−(16.3) 60 Äëÿ ñëåäóþùåãî óñëîâèÿ (15.6), ïîäñòàâëÿÿ ðàçëîæåíèÿ (16.1) (16.2),ïîëó÷èì(∞∞+Xεn X (iεf (x1 ))m (m)m (m)µ1 κ2 Φ2n (x1 ) − µ2 (−1) Υ1n (x1 ) −n!m!n=0m=0−(m)(m+1)−m (m)m− µ2 κ1 Φ1n (x1 ) − µ1 (−1) Υ2n (x1 ) + 2iεf (x1 )(−1) µ2 Φ1n(x1 )−(m+1)+−µ1 Φ2n(x1 )0+ 2iεf (x1 )(−1)m∞X(iεf 0 (x1 ))ll!l=0×+ −(m)(m)(m)(m)× µ2 Υ1n (x1 ) − µ1 Φ2n (x1 ) − µ1 Υ2n (x1 ) − µ2 Φ1n (x1 ) ++0−0+ 2iεf (x1 ) µ1 Φ2 (x1 ) − µ2 Φ1 (x1 ))= 0.(16.4)Ïðèðàâíèâàÿ â (16.3) êîýôôèöèåíòû ïðè îäèíàêîâûõ ñòåïåíÿõ εn(n = 0, 1, .

. .), ïðèõîäèì ê áåñêîíå÷íîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè êðàåâûõ çàäà÷Ðèìàíà Ãèëüáåðòà [32]:+ −Υ1n (x1 ) + Φ2n (x1 ) − Φ1n (x1 ) + Υ2n (x1 ) == F1n +iσ s0n (x1 )(16.5)Tns ,−ãäåT0s = R0 σ0s (x1 ) = 0,T1s = if (x1 )R0 σ s00 (x1 ) + R0 σ s 1 (x1 ) + R1 σ s 0 (x1 ) + f (x1 )H0 σ s000 (x1 ) −− iH1 σ s00 (x1 ) = f 00 (x1 )σ s 0 (x1 ) + f (x1 )σ s000 (x1 ),Tns =n−j−1nXn! Xj=0×j!m=0(16.6)1(if (x1 ))q−j ×m!(q − j)!Rj σ s(q−j)(x1 )m−iHj σ s(q−j+1)(x1 )m,n ≥ 2.(16.7) 61 Ôóíêöèè F1n çàâèñÿò îò êîìïëåêñíûõ ïîòåíöèàëîâ, ïîëó÷åííûõ â ïðåäûäóùåìïðèáëèæåíèè [32]:F10 =0,0F11 = − 2if (x1 )− 2if (x1 )+ − Φ20 (x1 ) − Υ10 (x1 ) + Υ20 (x1 ) − Φ10 (x1 )−Φ020 + (x1 )−Φ010 − (x1 )−+ − 0000− if (x1 ) Φ20 (x1 ) − Υ10 (x1 ) − Φ10 (x1 ) − Υ20 (x1 ),F1n(16.8)(n−1+Xn! (if (x1 ))q (q)q (q)(−1) Υ1m (x1 ) + Φ2m (x1 ) −=−m!q!m=0−(q)Φ1m (x1 )+− 2(−1)q−1qX(if (x1 ))q−jj=1×−(q)−(q)+− 2(−1)q−1 q Φ1m (x1 ) − Φ2m (x1 ) −(q)(−1)q Υ2m (x1 )(q−j)Υ1m (x1 )(q − j)!(if 0 (x1 ))j ×− (2q − 2j ++(q−j)1)Φ2m (x1 )+)− (q−j)(q−j)+ (2q − 2j + 1)Φ1m (x1 ) − Υ2m (x1 ),n ≥ 2.(16.9)Àíàëîãè÷íî, ïðèðàâíèâàÿ êîýôôèöèåíòû ïðè ñòåïåíÿõ εn â ñîîòíîøåíèè(16.4), ïðèõîäèì ê ïîñëåäîâàòåëüíîñòè êðàåâûõ óñëîâèé:+ −µ2 Υ1n (x1 ) − µ1 κ2 Φ2n (x1 ) − µ1 Υ2n (x1 ) − µ2 κ1 Φ1n (x1 ) = F2n ,ãäå, ñîãëàñíî [32],F20 =0,(16.10) 62 F21+ − = − 2iεf (x1 ) µ2 Υ10 (x1 ) − µ1 Φ20 (x1 ) − µ1 Υ20 (x1 ) − µ2 Φ10 (x1 )+0+ −0000+ iεf (x1 ) µ1 κ2 Φ20 (x1 ) + µ2 Υ10 (x1 ) − µ2 κ1 Φ10 (x1 ) + µ1 Υ20 (x1 ) −0+− 2 µ2 Φ0−,10 (x1 ) − µ1 Φ20 (x1 )F2n(16.11)n−1+Xn! (if (x1 ))q h (q)(q)q(−1) µ2 Υ1m (x1 ) − µ1 κ2 Φ2m (x1 ) −=−m!q!m=0−(q)−µ2 κ1 Φ1m (x1 )+×(q)−µ2 Φ1m (x1 )−q(−1)−− 2(−1)q−1 q×(q)µ1 Υ2m (x1 )(q)+µ1 Φ2m (x1 )iq−1− 2(−1)qX(if (x1 ))q−jj=1(q − j)!×h+(q−j)(q−j)× (if (x1 ))µ2 Υ1m (x1 ) − µ1 (2q − 2j + 1)Φ2m (x1 )+0j− i (q−j)(q−j)+ µ2 (2q − 2j + 1)Φ1m (x1 ) − µ1 Υ2m (x1 ),n ≥ 2.(16.12)Ðåøåíèå çàäà÷è (16.5), (16.10), ñîãëàñíî [41], èìååò âèä:µ1 κ2 In (z) + Jn (z)+ a21n , Im z > 0, Υ1n (z) =µ2 + µ1 κ2µ1 In (z) − Jn (z)+ a11n ,Im z < 0, Φ1n (z) =µ1 + µ2 κ1Im z > 0, Φ2n (z) = −Φ1n (z) + In (z) + Cn , Υ (z) = −Υ (z) + I (z) + C ,2n1nnn(16.13)Im z < 0,ãäåIn (z) = Ink + Inu ,Ink1=2πiZ+∞F1n (t) − Tns (t)dt,t−z−∞Inu =12πiZ+∞iσns 0 (t)t−z−∞dt,Jn (z) = Jnk (z) =12πiZ+∞−∞(16.14)F2n (t)dt,t−z 63 aj10 = aj1 ,C0 = aj1 + aj2 ,aj1n = Cn = 0,n = 1, 2, ...,(−1)j Im z > 0.Çäåñü Ink , Jnk îáîçíà÷àþò ñëàãàåìûå â ôóíêöèÿõ In è Jn , çàâèñÿùèå òîëüêîîò èçâåñòíûõ êîìïîíåíò, ïîëó÷åííûõ â ïðåäûäóùèõ ïðèáëèæåíèÿõ, à Inu âûðàæàåò çàâèñèìîñòü îò èñêîìîé ôóíêöèè σns 0 .

 ñîîòâåòñòâèè ñ ðàâåíñòâàìè(16.13) (16.14) ïîëó÷èì ïðåäñòàâëåíèå êîìïëåêñíûõ ïîòåíöèàëîâ ÷åðåç ñóììó èçâåñòíûõ è íåèçâåñòíûõ ÷àñòåé.Υ1n (z) = Υ1nk (z) + Υ1nu (z),Υ2n (z) = Υ2nk (z) + Υ2nu (z),(16.15)Φ1n (z) = Φ1nk (z) + Φ1nu (z),Ÿ 3.17Φ2n (z) = Φ2nk (z) + Φ2nu (z).Ñâåäåíèå çàäà÷è ê èíòåãðàëüíîìó óðàâíåíèþ äàííîì ïàðàãðàôå ðåøåíèå çàäà÷è ñâîäèòñÿ ê ðåøåíèþ èíòåãðàëüíîãîóðàâíåíèÿ ñ ïîìîùüþ ìåòîäà, àíàëîãè÷íîãî îïèñàííîìó ⠟11 ãëàâû 2. Âîïåðâûõ, èç óñëîâèÿ íåïðåðûâíîñòè ïåðåìåùåíèé ïðè ïåðåõîäå îò îáú¼ìîâ Ω1 èΩ2 ê ãðàíèöå Γ ïîëó÷èì óñëîâèå íåïðåðûâíîñòè äåôîðìàöèè εttlim εktt = εstt ,k = 1, 2.z→ζ(17.1)Óñëîâèå (17.1) è îïðåäåëÿþùåå ñîîòíîøåíèå ïîâåðõíîñòíîé òåîðèè óïðóãîñòè (9.1), âûòåêàþùåå èç òåîðèè üðòèíà ̼ðäîêà ïðèâîäÿò ê óðàâíåíèþ,ñâÿçûâàþùåìó èñêîìîå ìåæôàçíîå íàïðÿæåíèå σtts ñ êîìïîíåíòîé îáú¼ìíîéäåôîðìàöèè:σtts = γ0 + (λs + 2µs )ε1tt .(17.2)Îïðåäåëÿþùèå ñîîòíîøåíèÿ, àíàëîãè÷íûå ðàâåíñòâàì (9.2), çàïèøåì äëÿíàïðÿæåíèé, äåéñòâóþùèõ â îáëàñòè Ω1 :1σnn= (λ1 + 2µ1 )ε1nn + λ1 ε1tt ,σtt1 = (λ1 + 2µ1 )ε1tt + λ1 ε1nn .(17.3) 64 Èç ñîîòíîøåíèÿ (17.3), òàê æå êàê è â ãëàâå 2, âûðàçèì êîìïîíåíòó îêðóæ1íîé äåôîðìàöèè ε1tt ÷åðåç êîìïîíåíòû íàïðÿæåíèé σnnè σtt1 :ε1tt1λ1 σnn− (λ1 + 2µ1 )σtt1=.λ21 − (λ1 + 2µ1 )2(17.4)Ïåðåõîäÿ â ðàâåíñòâå (15.4) ê ïðåäåëó ïðè z → ζ ± i0, ñ÷èòàÿ, ÷òî α → α0π, ïîëó÷èì ñîîòíîøåíèÿ, àíàëîãè÷íûå ðàâåíñòâàì (9.8) è (9.9).2Ïîäñòàâèâ âûðàæåíèÿ äëÿ íàïðÿæåíèé σnn è σtt â ðàâåíñòâî (17.4), ïðèõîäèìè α → α0 +ê ñëåäóþùåé çàâèñèìîñòè îêðóæíîé äåôîðìàöèè îò ãðàíè÷íûõ çíà÷åíèé êîìïëåêñíûõ ïîòåíöèàëîâε1tt (ζ)= Ren1Φ−(ζ) +λ1 + µ1 1o1 +−2iα0−−0Υ1 (ζ) + Φ1 (ζ) − (ζ − ζ)Φ1 (ζ) e.+2µ1(17.5)Ïîäñòàâëÿÿ ðàâåíñòâî (17.5) â îïðåäåëÿþùåå ñîîòíîøåíèå (17.2) è ó÷èòûâàÿðàçëîæåíèÿ ôóíêöèé ïî ìàëîìó ïàðàìåòðó (16.1) (16.2), ïðèä¼ì ê ïîñëåäîâàòåëüíîñòè óðàâíåíèé, ñõîäíîé ñ ïîñëåäîâàòåëüíîñòüþ (11.5)+τn (x1 ) − M Re κ1 Φ−(x)+Υ(x)= Vn (x1 ),1n 11n 1M=λs + 2µs,2µ1(17.6)ãäå ôóíêöèè Vn çàâèñÿò òîëüêî îò ïðåäûäóùèõ ïðèáëèæåíèé è âû÷èñëÿþòñÿñëåäóþùèì îáðàçîì:(17.7)V0 (x1 ) = γ0 ,(2µ10+0−0−V1 (x1 ) = M Re if (x1 )Φ0−10 (x1 ) − κ1 Φ10 (x1 ) −Υ0 (x1 ) − 2Φ0 (x1 ) −λ1 + µ10+−− 2if (x1 ) Φ0 (x1 ) + Υ0 (x1 ))− if (x1 )σ0s 0 (x1 ),(17.8) 65 (Vn (x1 ) = M Re"nXn! (if (x1 ))m−(m)(−1)m κΦq (x1 ) + (−1)m Υ+(m)(x1 )+qq!m!m=1µ−(m)+Φq−(m) (x1 ) + 2m(−1)m Φq (x1 ) +λ+µ+2mX(if (x1 ))m−j(m − j)!j=1+4mnXn! X (if (x1 ))m−j+1m=2−#−(m−j)(if 0 (x1 ))j (−1)m Φq(x1 ) + Υ+(m−j)(x1 ) +qq!j=2(m − j)!nXn! (if (x1 ))mm=1q!m!σqs(m) (x1 ),)−(m−j+1)(if 0 (x1 ))j−1 (−1)m Φqn ≥ 2.(x1 ) −(17.9)Ïîñëå äèôôåðåíöèðîâàíèÿ ïîëó÷èì:σns 0 − M Re {κ1 Φ01n + Υ01n } = Vn0 .(17.10)Ñ ó÷¼òîì ïðåäñòàâëåíèé (16.15) óðàâíåíèå (17.10) ïðèíèìàåò âèäσns 0 − M Re {κ1 Φ01nu + Υ01nu } = M Re {κ1 Φ01nk + Υ01nk } + Vn0 ,(17.11)ãäå â ëåâîé ÷àñòè ñîäåðæàòñÿ ôóíêöèè, çàâèñÿùèå îò ïðîèçâîäíîé íåèçâåñòíîãîìåæôàçíîãî íàïðÿæåíèÿ, à â ïðàâîé ÷àñòè èçâåñòíûå ôóíêöèè.