Диссертация (Эффект поверхностных и межфазных напряжений в деформируемом теле с плоской и рельефной поверхностью), страница 4

Áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî âûïîëíÿþòñÿ óñëîâèÿ ïëîñêîé äåôîðìàöèè. Òîãäà ìîæåì ïåðåéòè ê ðàññìîòðåíèþïîëóïëîñêîñòè ñ ïðÿìîëèíåéíîé ãðàíèöåé.Ñ ïîìîùüþ ëèíåàðèçîâàííûõ ñîîòíîøåíèé üðòèíà ̼ðäîêà è îáîáù¼ííîãî çàêîíà Ëàïëàñà Þíãà [11] ñôîðìóëèðóåì â îáùåì âèäå êðàåâóþ çàäà÷óî äåôîðìàöèè ïîëóïëîñêîñòè Ω = {z : Im z < 0, Re z ∈ R1 }, ñ ïðÿìîëèíåéíîéãðàíèöåé Γ (ðèñ.

1.1) [37]:Γ = {z : Im z = 0, Re z ∈ R1 },z = x1 + ix2 .Ñ÷èòàåì, ÷òî â îáùåì ñëó÷àå íà ãðàíèöå ïîëóïëîñêîñòè äåéñòâóåò ïåðèîäè÷åñêàÿ íàãðóçêàx1Z+a/2p(x1 ) = p(x1 + a),p(t)dt = P,P = P1 + iP2 ,(2.1)x1 −a/2ãäå ôóíêöèÿ p(x1 ) óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ üëüäåðà âñþäó íà Γ. êîìïëåêñíîé çàïèñè â ñëó÷àå ïëîñêîé çàäà÷è ãðàíè÷íîå óñëîâèå (1.9)ïðèíèìàåò âèäσ22 (z) − iσ12 (z) = −i p1 (x1 ) + ip2 (x1 ) − i ts1 (x1 ) + its2 (x1 ) ,z ∈ Γ,(2.2) 21 σsσ1p(x1 )x2σsx1ΓΩλ, µσ1∞σ12∞σ22Ðèñ.

1.1. Ìîäåëü ïîëóïëîñêîñòè ïðè äåéñòâèè âíåøíèõ óñèëèé p(x1), äåéñòâóþùèõ íà ãðàíèöåãäå p1 , p2 ïðîåêöèè âåêòîðà âíåøíåé íàãðóçêè p íà îñè äåêàðòîâîé ïðÿìîóãîëüíîé ñèñòåìû êîîðäèíàò (ÄÏÑÊ) x1 , x2 , à ts1 (x1 ), ts2 (x1 ) àíàëîãè÷íûå ïðîåêöèè âåêòîðà óñèëèé ts .Ïîëàãàåì, ÷òî íà áåñêîíå÷íîñòè âûïîëíåíû ñëåäóþùèå óñëîâèÿ:limx2 →−∞iPσ22 (z) − iσ12 (z) = − ,alim σ11 (z) = σ1 ;x2 →−∞(2.3)∞lim ω(z) = ω ,x2 →−∞ãäå σij êîìïîíåíòû íàïðÿæåíèé â ñèñòåìå êîîðäèíàò x1 x2 ; à ω óãîë ïîâîðîòàìàòåðèàëüíîé ÷àñòèöû.Äëÿ ðåøåíèÿ ïîñòàâëåííîé çàäà÷è ñôîðìóëèðóåì îïðåäåëÿþùèå ñîîòíîøåíèÿ îáú¼ìíîé è ïîâåðõíîñòíîé òåîðèè óïðóãîñòè. 22 Ÿ 1.3Îñíîâíûå ñîîòíîøåíèÿ äàííîì ðàçäåëå âûâîäèòñÿ óðàâíåíèå, ñâÿçûâàþùåå íåèçâåñòíîå ïîâåðõíîñòíîå íàïðÿæåíèå ñ îêðóæíîé äåôîðìàöèåé îñíîâíîãî ìàòåðèàëà íà ãðàíèöåèç óñëîâèÿ êîíòàêòà ïîâåðõíîñòè ñ îáú¼ìîì.Ïðåîáðàçóåì âûðàæåíèå (1.10) äëÿ ðàññìàòðèâàåìîãî ñëó÷àÿ.

Ïîñêîëüêóïîâåðõíîñòü ïîëóïðîñòðàíñòâà ïëîñêàÿ, â ñîîòíîøåíèè (1.10) â êà÷åñòâå êðèâîëèíåéíîé ñèñòåìû êîîðäèíàò α1 , n, α2 âîçüì¼ì ÄÏÑÊ x1 , x2 , x3 , òî åñòü ïðèìåì, ÷òî α1 = x1 , n = x2 , α2 = x3 .  ýòîì ñëó÷àå äëÿ ïëîñêîé ïîâåðõíîñòèh1 = h2 = 1 è 1/R1 = 1/R2 = 0 [38]. Îòñþäà è èç (1.10) âûòåêàåò, ÷òî âåêòîð tsëåæèò â ïëîñêîñòè x2 = 0, ò. å. ïðîåêöèÿ ts2 = 0. îáùåì ñëó÷àå òåíçîð ïîâåðõíîñòíûõ íàïðÿæåíèé èìååò âèä:sssσ s = σ11e1 e1 + σ13(e1 e3 + e3 e1 ) + σ33e 3 e3 .(3.1)Òàê êàê ïðè ïëîñêîé äåôîðìàöèè êîìïîíåíòû òåíçîðîâ îáú¼ìíûõ è ïîâåðõíîñòíûõ äåôîðìàöèé óäîâëåòâîðÿþò óñëîâèÿì ε33 = ε13 = ε23 = 0, εs33 = εs13 = εs23 =ss0, òî èç çàêîíîâ óïðóãîñòè (1.1) è (1.4) ñëåäóåò, ÷òî σ13 = 0 è σ13= 0, à σ33íåçàâèñèò îò x3 . Îòñþäà íàõîäèì, ÷òî âûðàæåíèå (1.10) ñâîäèòñÿ ê ñëåäóþùåìó:ssst (z) = ∇ · σ =ts1 e1s∂σ11=e1 .∂x1(3.2)Ïîäñòàâëÿÿ ïîëó÷åííîå âûðàæåíèå â ñîîòîøåíèå (2.2), ïðèõîäèì ê ãðàíè÷íîìóóñëîâèþs0σ22 (x1 ) − iσ12 (x1 ) = −ip(x1 ) − iσ11(x1 ),z ∈ Γ,(3.3)sãäå σij êîìïîíåíòû òåíçîðà íàïðÿæåíèé, à σ11 òðåáóþùåå îïðåäåëåíèÿ ïî-âåðõíîñòíîå íàïðÿæåíèå.

Çàìåòèì, ÷òî óðàâíåíèå (3.3) ìîæíî ïîëó÷èòü íåïîñðåäñòâåííî ïóò¼ì ñîñòàâëåíèÿ áàëàíñà ñèë, äåéñòâóþùèõ íà ýëåìåíò ïëîñêîéäóãè, ÷òî áûëî ñäåëàíî â ðàáîòå [33].Îïðåäåëÿþùèå ñîîòíîøåíèÿ ïîâåðõíîñòíîé [11, 12] è îáú¼ìíîé òåîðèèóïðóãîñòè (1.1), (1.4) ïðè ïëîñêîé äåôîðìàöèè ñâîäÿòñÿ ñîîòâåòñòâåííî ê ñëå- 23 äóþùèì:sσ11= γ0 + (λs + 2µs )εs11 ,sσ33= γ0 + (λs + γ0 )εs11 ,(3.4)σ11 = (λ + 2µ)ε11 + λε22 ,σ22 = (λ + 2µ)ε22 + λε11 ,(3.5)σ33 = λ(ε22 + ε11 ),(3.6)σ21 = 2µε21 ,ãäå γ0 îñòàòî÷íîå ïîâåðõíîñòíîå íàïðÿæåíèå â íåäåôîðìèðîâàííîì ñîñòîÿíèè; εij êîìïîíåíòû îáú¼ìíîé äåôîðìàöèè; εs11 êîìïîíåíòà äåôîðìàöèèïîâåðõíîñòè.Îäíàêî, â ñâÿçè ñ òåì, ÷òî ïîâåðõíîñòü â ðàìêàõ ìîäåëè ðàññìàòðèâàåòñÿêàê îáîëî÷êà, ïðèêëååííàÿ ê îñíîâàíèþ, êîìïîíåíòà äåôîðìàöèè ïîâåðõíîñòèñâÿçàíà ñ êîìïîíåíòîé äåôîðìàöèè îáú¼ìíîãî ìàòåðèàëà.

Êîìïëåêñíûé àíàëîãâåêòîðà ïåðåìåùåíèé u = (u1 , u2 ) èìååò âèäu = u1 + iu2 .Óñëîâèÿ íåïðåðûâíîñòè ïåðåìåùåíèé u1 , u2 ïðè ïåðåõîäå îò îáú¼ìà Ω êãðàíèöå Γ çàïèøåì â âèäålim uj (z) = usj (x1 ),z→x1 −i0(3.7)ãäå usj ïåðåìåùåíèå òî÷åê ãðàíèöû Γ âäîëü îñè xj . Òîãäà íà îñíîâàíèè ñîîòíîøåíèé (1.3) è (1.6) èç óñëîâèÿ íåïðåðûâíîñòè ïåðåìåùåíèé (3.7) âûòåêàåòóñëîâèå íåïðåðûâíîñòè äåôîðìàöèè ε11 [39]:lim ε11 = εs11 .z→x1(3.8)Ñîîòíîøåíèÿ (3.4) (3.8) ïðèâîäÿò ê óðàâíåíèþ, ñâÿçûâàþùåìó íåèçâåñòíîå ïîâåðõíîñòíîå íàïðÿæåíèå è ñîîòâåòñòâóþùóþ êîìïîíåíòó äåôîðìàöèè îñíîâíîãî ìàòåðèàëà íà ãðàíèöå:sσ11(x1 ) = γ0 + (2µs + λs )ε11 (x1 ).(3.9)Òàêèì îáðàçîì, ïðèõîäèì ê ðåøåíèþ çàäà÷è îïðåäåëåíèÿ íàïðÿæåííî-äåôîðìèðîâàííîãî ñîñòîÿíèÿ ïîëóïëîñêîñòè ñ ïðÿìîëèíåéíîé ãðàíèöåé, íà êîsòîðîé äåéñòâóþò ïîâåðõíîñòíûå íàïðÿæåíèÿ σ11, ñâÿçàííûå ñ äåôîðìàöèåé ε11ñîîòíîøåíèåì (3.9), ïðè óñëîâèÿõ íà áåñêîíå÷íîñòè (2.3).

24 Ÿ 1.4Ñâåäåíèå çàäà÷è ê èíòåãðàëüíîìó óðàâíåíèþ äàííîì ïàðàãðàôå ðåøåíèå çàäà÷è ñâîäèòñÿ ê ðåøåíèþ ãèïåðñèíãóëÿðíîãî èíòåãðàëüíîãî óðàâíåíèÿ ñ îñîáåííîñòüþ âòîðîãî ïîðÿäêà îòíîñèòåëüíîïðîèçâîäíîé íåèçâåñòíîãî ïîâåðõíîñòíîãî íàïðÿæåíèÿ. Äëÿ åãî âûâîäà èñïîëüçóþòñÿ êîìïëåêñíûå ïîòåíöèàëû Ãóðñà Êîëîñîâà, ïðåäñòàâëåíèÿ Ìóñõåëèøâèëè è ìåòîä ñâåäåíèÿ èñõîäíîé êðàåâîé çàäà÷è ê çàäà÷å Ðèìàíà-Ãèëüáåðòà.Ñîãëàñíî [40, 41], â óñëîâèÿõ ïëîñêîé äåôîðìàöèè ñâÿçü íàïðÿæåíèéσnn , σnt â ëîêàëüíîé ÄÏÑÊ n, t è ïåðåìåùåíèé u1 , u2 â òî÷êå z ñ ïîòåíöèàëàìèÃóðñà Êîëîñîâà Φ è Ψ âûðàæàåòñÿ ñîîòíîøåíèÿìè:σnn (z) + iσnt (z) = Φ(z) + Φ(z) +zΦ0 (z)+ Ψ(z) e−2iα ,d02µ (u1 (z) + iu2 (z)) = κΦ(z) − Φ(z) − zΦ (z) + Ψ(z) e−2iα ,dz(4.1)(4.2)ãäå α óãîë íàêëîíà ïëîùàäêè ñ íîðìàëüþ n ê îñè x1 ; κ = 3 − 4ν ; ν êîýôôèöèåíò Ïóàññîíà.

Ïðîèçâîäíàÿ â (4.2) áåðåòñÿ â íàïðàâëåíèè îñè t.Ââåäåì ôóíêöèþ Υ(z), àíàëèòè÷åñêóþ â CΩ, ãäå Ω îçíà÷àåò çàìûêàíèåìíîæåñòâà Ω, à CΩ äîïîëíåíèå ìíîæåñòâà Ω äî ïëîñêîñòè (ðèñ. 1.2).Υ(z) = −Φ(z) − zΦ0 (z) − Ψ(z),z ∈ Ω.eΩΥΓΦΩÐèñ. 1.2. Îáëàñòè îïðåäåëåíèÿ ãîëîìîðôíûõ ôóíêöèé Φ è Υ(4.3) 25 Ñ÷èòàÿ, ÷òî z ∈ Ω, à, ñëåäîâàòåëüíî, z ∈ CΩ, âûðàçèì ôóíêöèþ Ψ(z)÷åðåç Φ(z) è Υ(z). Âíåñ¼ì ïîëó÷åííîå çíà÷åíèå Ψ(z) â ñîîòíîøåíèÿ (4.1) (4.2) è ïîëó÷èì âûðàæåíèÿ äëÿ êîìïîíåíò âåêòîðà íàïðÿæåíèÿ σ n è âåêòîðàïåðåìåùåíèÿ u:σnn + iσnt =Φ(z) + Φ(z) −−2µ− Υ(z) + Φ(z) − (z − z) Φ0 (z) e−2iα ,(4.4)d(u1 + iu2 ) = − κΦ(z) + Φ(z) −dz0− Υ(z) + Φ(z) − (z − z) Φ (z) e−2iα .(4.5)Ïðè âûâîäå ýòèõ ñîîòíîøåíèé èñïîëüçîâàíû çàêîí óïðóãîñòè (1.1), óðàâíåíèåíåðàçðûâíîñòè, óðàâíåíèÿ ðàâíîâåñèÿ (1.8), ñì.

[40]. Òî åñòü âûïîëíÿþòñÿ âñåíåîáõîäèìûå ñîîòíîøåíèÿ çà èñêëþ÷åíèåì ãðàíè÷íûõ óñëîâèé.Èç (2.3), (4.1) è (4.2) ñëåäóþò çíà÷åíèÿ ôóíêöèé Φ è Υ íà áåñêîíå÷íîñòèlim Φ(z) =x2 →−∞∞∞+ σ222iµ ∞ σ1 P2σ11+ω =+,4κ+144a(4.6)σ1 P2 iP∞∞lim Υ z = lim Φ(z) − (σ22− iσ12)=++.x2 →−∞x2 →−∞44aa(4.7)Ïåðåéä¼ì â (4.4) ê ïðåäåëó ïðè ñòðåìëåíèè z ñíèçó ê ãðàíèöå Γ, ïîëàãàÿ α = 0.C ó÷¼òîì ãðàíè÷íûõ óñëîâèé (3.3) ïîëó÷èìΘ+ (x1 ) − Θ− (x1 ) = its1 (x1 ) + ip(x1 ),ãäå Θ± (x1 ) =Θ(z) =(4.8)lim Θ(z) èIm z→±0 Υ(z), Im z > 0,+Υ(z) = Υ+ (x1 ), Θ (x1 ) = Imlimz→+0 Φ(z), Im z < 0, Θ− (x1 ) =−(4.9)lim Φ(z) = Φ (x1 ).Im z→−0Òàêèì îáðàçîì, ïðèøëè ê çàäà÷å Ðèìàíà Ãèëüáåðòà (4.8) î ñêà÷êå ãîëîìîðôíîé ôóíêöèè Θ(z) [40].  ñèëó óñëîâèé (4.6) (4.7) å¼ ðåøåíèå ìîæíî 26 çàïèñàòü â âèäå(4.10)Θ(z) = Θu (z) + Θk (z) + C,Θu (z) =12πiZ∞its (t)dt,z−tΘk (z) =12πi−∞Z∞ip(t)dt.z−t−∞Ôóíêöèÿ Θu îáîçíà÷àåò ñëàãàåìûå, çàâèñÿùèå îò íåèçâåñòíîãî ïîâåðõíîñòíîãîíàïðÿæåíèÿ, à ôóíêöèÿ Θk îò èçâåñòíûõ âíåøíèõ óñèëèé.Âûâåäåì óðàâíåíèå äëÿ íàõîæäåíèÿ ôóíêöèè ts1 .

Ïîëàãàÿ α = π/2 â (4.4)è α = 0 â (4.4) è (4.5), íà ãðàíèöå Γ ïîëó÷èìσ11 (x1 ) + iσ12 (x1 ) = Φ− (x1 ) + 2Φ− (x1 ) + Υ+ (x1 ),(4.11)σ22 (x1 ) − iσ12 (x1 ) = Φ− (x1 ) − Υ+ (x1 ),(4.12)−2µdu= −κΦ− (x1 ) − Υ+ (x1 ).dx1(4.13)Îòñþäà −∂u1 1+ε11 ==ReκΦ+Υ.(4.14)∂x1 Γ 2µÏîäñòàâèâ ïîëó÷åííîå ñîîòíîøåíèå (4.14) â óðàâíåíèå (3.9), ïðèõîäèì êâûðàæåíèþsσ11= γ0 + M Re κΦ− + Υ+ ,2µs + λs.M=2µ(4.15)Ïîñëå äèôôåðåíöèðîâàíèÿ (4.15), ñ ó÷¼òîì (3.2) ïîëó÷èì:ts1 (x1 ) =s∂σ11= M Re κΦ0− (x1 ) + Υ0+ (x1 ) .∂x1(4.16)Ïîäñòàâëÿÿ â óðàâíåíèå (4.16) ïðåäñòàâëåíèÿ (4.9) è (4.10), ïðèõîäèì ê óðàâíåíèþ îòíîñèòåëüíî íåèçâåñòíîé ôóíêöèè ts1 :0+0−0+ts1 (x1 ) − M Re κΘ0−(x)+Θ(x)=MReκΘ(x)+Θ(x)1111 .uukk(4.17)Ïîêàæåì, ÷òî óðàâíåíèå (4.17), ÿâëÿåòñÿ èíòåãðàëüíûì óðàâíåíèåì. Çàìåòèì, ïðåæäå âñåãî, ÷òî, ñîãëàñíî [40], äëÿ èíòåãðàëà òèïà Êîøè1F (z) =2πiZLf (t)dtt−z(4.18) 27 ãðàíè÷íûå çíà÷åíèÿ îïðåäåëÿþòñÿ ôîðìóëàìè Ñîõîöêîãî Ïëåìåëÿ:11F (t0 ) = f (t0 ) +22πi+Zf (t)dt,t − t0(4.19)L11F (t0 ) = − f (t0 ) +22πi−Zf (t)dt,t − t0(4.20)Lãäå â ïðàâûõ ÷àñòÿõ èíòåãðàëû ïîíèìàþòñÿ â ñìûñëå ãëàâíûõ çíà÷åíèé ïîÊîøè, à ôóíêöèÿ f (t) óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ üëüäåðà.Ïðèìåíèì ôîðìóëû Ñîõîöêîãî Ïëåìåëÿ ê ôóíêöèè Θ(x1 ) â (4.10):11Θ (x1 ) = ± its1 (x1 ) +22πi±Z+∞−∞its1 (x1 )dt ±t − x111± ip(x1 ) +22πiZ+∞−∞ip(x1 )dt + C.t − x1(4.21)Ïîäñòàâèì (4.21) â (4.17).

Ïîëàãàÿ, ÷òî íåèçâåñòíàÿ ôóíêöèÿ ts1 (x1 ) äîñòàòî÷íî ãëàäêàÿ, â ïîëó÷åííîì óðàâíåíèè ìîæåì ïðîäèôôåðåíöèðîâàòü ïîäçíàêîì èíòåãðàëà [42]. Òîãäà ñ ó÷¼òîì îáîçíà÷åíèé (3.2) ïðèõîäèì ê èíòåãðîs0äèôôåðåíöèàëüíîìó ãèïåðñèíãóëÿðíîìó óðàâíåíèþ îòíîñèòåëüíî ôóíêöèè σ11ñ îñîáåííîñòüþ âòîðîãî ïîðÿäêà:M (κ + 1)s0σ11(x1 ) −2πZ+∞−∞s0σ11(t)dt =(t − x1 )2M (κ − 1) 0M (κ + 1)=p 2 (x1 ) +22πZ+∞−∞p1 (t)dt.(t − x1 )2(4.22)Ýòî óðàâíåíèå ïîëó÷åíî áåç èñïîëüçîâàíèÿ óñëîâèé ïåðèîäè÷íîñòè ôóíêöèè p(x1 ) è, ñëåäîâàòåëüíî, îíî ñïðàâåäëèâî äëÿ ëþáîé íàãðóçêè.  ñëó÷àåíåïåðèîäè÷åñêîé íàãðóçêè ôóíêöèÿ p äîëæíà èñ÷åçàòü íà áåñêîíå÷íîñòè è óäîâëåòâîðÿòü íåîáõîäèìûì óñëîâèÿì ñóùåñòâîâàíèÿ èíòåãðàëà â ïðàâîé ÷àñòèóðàâíåíèÿ (4.22) â ñìûñëå êîíå÷íîé ÷àñòè ïî Àäàìàðó [42].