Диссертация (Эффект поверхностных и межфазных напряжений в деформируемом теле с плоской и рельефной поверхностью), страница 7

. .)ê êðàåâîé çàäà÷å Ðèìàíà Ãèëüáåðòà−s0Θ+n (x1 ) − Θn (x1 ) = iσn (x1 ) − pn (x1 ) + Fn (x1 ),(10.16)ãäå Fn èçâåñòíàÿ ôóíêöèÿ, çàâèñÿùàÿ ïðè n > 0 îò âñåõ ïðåäûäóùèõ ïðèáëèæåíèé, àΘn (z) = Υn (z), Im z > 0,(10.17) Φ (z), Im z < 0.n ÷àñòíîñòè,F0 (x1 ) = 0,+F1 (x1 ) = −f (x1 )σ0s 00 (x1 ) − f 00 (x1 )σ0s (x1 ) − if (x1 ) Φ0−0 (x1 ) + Υ0 (x1 ) +0+0−−+ 2Φ0 (x1 ) + 2if (x1 ) Φ0 (x1 ) + Υ0 (x1 ) − p0 (x1 ). 45  îáùåì âèäå, ñîãëàñíî [49], ïîëó÷èì:n−1Xn! (if )k (k)−Fn (x1 ) =+Φm (x1 ) − (−1)k Υ(k)+m (x1 ) −m!k!m=0kX(if )k−j(k)−kjk− 2(−1) kΦm (x1 ) − 2(−1)(if ) Υ(k−j)+(x1 ) +m(k−j)!j=1n−1 Xn! (if )k (k)(k−j)−+ (2k − 2j + 1)Φm(x1 )pm (x1 ),−m!k!m=0−Tns(10.18)ãäå n > 0, k = n − m.Ðåøåíèå çàäà÷è (10.16) çàïèøåòñÿ â âèäåΘn (z) = Θnu (z) + Θnk (z),1Θnu (z) =2πiZ∞Z∞1Θnk (z) = −2πi1p(t)dt +t−z2πi−∞Ÿ 2.11Z∞iσns 0 (t)dt,t−z−∞(10.19)Fn (t)dt.t−z−∞Ñâåäåíèå çàäà÷è ê èíòåãðàëüíîìó óðàâíåíèþ äàííîì ïàðàãðàôå ðåøåíèå çàäà÷è ñâîäèòñÿ ê ðåøåíèþ ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ãèïåðñèíãóëÿðíûõ èíòåãðàëüíûõ óðàâíåíèé ñ îñîáåííîñòüþ âòîðîãî ïîðÿäêà îòíîñèòåëüíî ïðîèçâîäíîé íåèçâåñòíîãî ïîâåðõíîñòíîãî íàïðÿæåíèÿ, ïîôîðìå àíàëîãè÷íûõ óðàâíåíèþ, ïîëó÷åííîìó â ãëàâå 1.Äëÿ íàõîæäåíèÿ íåèçâåñòíîãî ïîâåðõíîñòíîãî íàïðÿæåíèÿ áóäåì èñïîëüçîâàòü îïðåäåëÿþùèå óðàâíåíèÿ ïîâåðõíîñòíîé òåîðèè óïðóãîñòè (9.1), ñ÷èòàÿ,÷òî âûïîëíÿåòñÿ óñëîâèå èäåàëüíîãî êîíòàêòà ïîâåðõíîñòè ñ îáú¼ìîì.

Êàê è âãëàâå 1, èç óñëîâèé íåïðåðûâíîñòè ïåðåìåùåíèélim u(z) = us ,z→ζ(11.1)ãäå us ïåðåìåùåíèå òî÷åê ãðàíèöû Γ âäîëü îñè t, ñëåäóåò ðàâåíñòâî:σtts = γ0 + (λs + 2µs )εtt .(11.2) 46 Êîìïîíåíòó îêðóæíîé äåôîðìàöèè εtt âûðàçèì ÷åðåç êîìïîíåíòû íàïðÿæåíèé σnn è σtt , èñïîëüçóÿ ñîîòíîøåíèÿ (9.2):εtt =λσnn − (λ + 2µ)σtt.λ2 − (λ + 2µ)2(11.3)Ñ ó÷¼òîì ñîîòíîøåíèé (9.8), (9.9) èç (11.3) ïîëó÷èì:εtt (ζ) = Ren1Φ− (ζ) +λ+µo1 +−2iα0−−0Υ (ζ) + Φ (ζ) − (ζ − ζ)Φ (ζ) e+.2µ(11.4)Ïîäñòàâëÿÿ âûðàæåíèå (11.4) â óðàâíåíèå (11.2) è ïðèíèìàÿ âî âíèìàíèå ðàçëîæåíèÿ (10.1) (10.5), ïðèä¼ì ê ïîñëåäîâàòåëüíîñòè óðàâíåíèé+σns (x1 ) = Vn (x1 ) + M Re κΦ−(x)+Υ(x),11nnM=λs + 2µs,2µ(11.5)ãäå ôóíêöèè Vn çàâèñÿò òîëüêî îò ïðåäûäóùèõ ïðèáëèæåíèé è âû÷èñëÿþòñÿñëåäóþùèì îáðàçîì:(11.6)V0 (x1 ) =γ0 ,(2µ 0−0+0−0−V1 (x1 ) =M Re if (x1 )Φ (x1 ) − κΦ0 (x1 ) − Υ0 (x1 ) − 2Φ0 (x1 ) −λ+µ 00+−− 2if (x1 ) Φ0 (x1 ) + Υ0 (x1 ))− if (x1 )σ0s 0 (x1 ),(11.7) 47 (Vn (x1 ) =M Re"nXn! (if (x1 ))m−(m)(x1 ) +(−1)m κΦq (x1 ) + (−1)m Υ+(m)qq!m!m=1mXµ(if (x1 ))m−j−(m)m −(m)+Φ(x1 ) + 2m(−1) Φq (x1 ) + 2×λ+µ q(m−j)!j=1× (if 0 (x1 ))j (−1)m×mX(if (x1 ))m−j+1(m − j)!j=2−nXn! (if (x1 ))mm=1q!m!#nXn!−(m−j)+(m−j)Φq(x1 ) + Υq(x1 )×+4q!m=2)−(m−j+1)(if 0 (x1 ))j−1 (−1)m Φqσqs(m) (x1 ),(x1 )−(11.8)n ≥ 2.Ïðè âûâîäå ñîîòíîøåíèé (11.7) (11.8) ó÷èòûâàëîñü ðàâåíñòâî, ñïðàâåäëèâîåâ óñëîâèÿõ ïëîñêîé äåôîðìàöèè:λ + 3µ= κ.λ+µÈñïîëüçóÿ ôîðìóëû Ñîõîöêîãî Ïëåìåëÿ (4.19) (4.20) â óðàâíåíèè(11.5), ïîëó÷èì ãèïåðñèíãóëÿðíîå èíòåãðàëüíîå óðàâíåíèåM (κ + 1)σns 0 (x1 ) −2πZ∞−∞+ Reσns 0 (t)dt = Vn0 (x1 )+2(t − x1 )n M (1 − κ)2M (1 + κ)F 0n (x1 ) −2πiZ+∞−∞oFn (t)dt .

(11.9)(t − x1 )2Çàìåòèì, ÷òî óðàâíåíèå (11.9) ïî òèïó ñîâïàäàåò ñ óðàâíåíèåì (4.22), ïîëó÷åííûì â ïåðâîé ãëàâå. Ýòè óðàâíåíèÿ îòëè÷àþòñÿ òîëüêî ïðàâûìè ÷àñòÿìè.Êðîìå òîãî, êàê è óðàâíåíèå (4.22), óðàâíåíèå (11.9) ïîëó÷åíî áåç èñïîëüçîâàíèÿ ñâîéñòâà ïåðèîäè÷íîñòè ôóíêöèé f (x1 ), p(x1 ), ò. å. îíî ñïðàâåäëèâî äëÿëþáîé ôîðìû ïîâåðõíîñòè è ëþáîé âíåøíåé íàãðóçêè.  ñëó÷àå íåïåðèîäè÷åñêîé íàãðóçêè ôóíêöèÿ p äîëæíà èñ÷åçàòü íà áåñêîíå÷íîñòè, è å¼ ïðîèçâîäíûåäîëæíû óäîâëåòâîðÿòü óñëîâèþ üëüäåðà íà ãðàíèöå Γ. 48 Ÿ 2.12Ðåøåíèå èíòåãðàëüíîãî óðàâíåíèÿ äëÿ ïåðèîäè÷åñêîéôîðìû ïîâåðõíîñòè äàííîì ïàðàãðàôå â ïåðâîì ïðèáëèæåíèè ñòðîèòñÿ ðåøåíèå óðàâíåíèÿ(11.9) è çàäà÷è â öåëîì ïðè îòñóòñòâèè âíåøíåé íàãðóçêè.Íóëåâîìó ïðèáëèæåíèþ îòâå÷àåò çàäà÷à î ïîëóïëîñêîñòè ñ ïðÿìîëèíåéíîé ãðàíèöåé â îäíîðîäíîì ïîëå íàïðÿæåíèé σ11 = σ1 , σ22 = 0.

Íà îñíîâàíèèñîîòíîøåíèé (9.1)(9.2) íàõîäèìσ0s 0 = γ0 + M (κ + 1)σ1,4(12.1)ãäå ν êîýôôèöèåíò Ïóàññîíà îáú¼ìíîãî ìàòåðèàëà.Ó÷èòûâàÿ ïåðèîäè÷íîñòü çàäà÷è, êàê è â ãëàâå 1, ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (11.9)ïðè n = 1 áóäåì èñêàòü â âèäå ðÿäà Ôóðüåσ1s 0 (x)=∞XAk sin bk x + Bk cos bk x,bk = 2πk/a.(12.2)k=1Ñ÷èòàÿ, ÷òî ôóíêöèÿ, îïèñûâàþùàÿ ôîðìó ïîâåðõíîñòè, ÿâëÿåòñÿ ÷¼òíîé,ïðåäñòàâèì å¼ â âèäå ðÿäà Ôóðüå ïî êîñèíóñàì:f=∞XCk cos bk x,(12.3)bk = 2πk/a.k=1Äëÿ ïîëó÷åíèÿ ÿâíûõ âûðàæåíèé íåèçâåñòíûõ êîýôôèöèåíòîâ Ak , Bk âîñïîëüçóåìñÿ ìåòîäîì, îïèñàííûì â ðàçäåëå Ÿ1.5 ïåðâîé ãëàâû. Ïîäñòàâèâ ðàçëîæåíèÿ (12.2) è (12.3) â ðåøåíèå êðàåâîé çàäà÷è (10.19) ñ ó÷¼òîì ñâîéñòâ èíòåãðàëîâ òèïà Êîøè, âûðàçèì êîìïëåêñíûå ïîòåíöèàëû ÷åðåç êîýôôèöèåíòûðàçëîæåíèé â ðÿäû Ôóðüå.

Çàòåì ïîëó÷åííûå âûðàæåíèÿ ïîäñòàâèì â óðàâíåíèå (11.5) è, ïðèðàâíèâàÿ êîýôôèöèåíòû ïðè îäèíàêîâûõ ñòåïåíÿõ, ïðèä¼ì êðàâåíñòâàì:M Ck ab2k (σ1 (κ + 1) + bk σ0s (κ − 1))Ak =,2 + M bk (κ + 1)Bk = 0,k ≥ 0.Òàêèì îáðàçîì, â ïåðâîì ïðèáëèæåíèè ïîëó÷åíî òî÷íîå àíàëèòè÷åñêîå ðåøåíèå èíòåãðàëüíîãî óðàâíåíèÿ (11.9) äëÿ ïåðèîäè÷åñêîé ôîðìû ïîâåðõíîñòè 49 â âèäå ðÿäîâ Ôóðüå∞sσ11(x)σ1 X A k= γ0 + M (κ + 1) −cos bk x.4bk(12.4)k=1Ÿ 2.13Ýôôåêò ïîâåðõíîñòíîãî íàïðÿæåíèÿ ïðè ðàçëè÷íûõôîðìàõ ïîâåðõíîñòè äàííîì ðàçäåëå â öåëÿõ ïîëó÷åíèÿ ÷èñëåííûõ ðåçóëüòàòîâ ïîëó÷åííîåâ ïðåäûäóùèõ ïàðàãðàôàõ ðåøåíèå çàäà÷è ðàññìàòðèâàåòñÿ ïðèìåíèòåëüíî ê÷àñòíîìó ñëó÷àþ, êîãäà ôîðìà ãðàíèöû çàäàíà ñïåöèàëüíîé ôóíêöèåé (13.1),è íà òåëî íå äåéñòâóåò âíåøíÿÿ íàãðóçêà.oia h n πxf (x, y) =Im ctg− iy−1 ,dad = Im {ctg (iy)} .(13.1)1,00,5f (x1 )0,0y = 0, 2y = 0, 6y=2-0,5-1,0-0,50-0,250,000,250,50x/aÐèñ.

2.10. Ôîðìû ïîâåðõíîñòè â ïðåäåëàõ îäíîãî ïåðèîäàÂûáîð òàêîé ôóíêöèè îáóñëîâëåí âîçìîæíîñòüþ îïèñàòü ñ ïîìîùüþ íå¼ðàçëè÷íûå ôîðìû ïîâåðõíîñòè: âàðüèðóÿ çíà÷åíèÿ ïàðàìåòðà y , ìîæíî ïîëó÷èòü ðàçëè÷íûå ôîðìû êðèâûõ îò ëîêàëèçîâàííûõ âûñòóïîâ è âûåìîê äîïîâåðõíîñòåé, îïèñûâàåìûõ êîñèíóñîèäàëüíîé ôóíêöèåé.Ïðè äîñòàòî÷íî áîëüøèõ çíà÷åíèÿõ ïàðàìåòðà y ôóíêöèÿ f (x, y) îïèñû- 50 âàåò âîëíèñòóþ ïîâåðõíîñòülim f (x1 ) = −a cosy→+∞2πx1,a(13.2)à ïðè ìàëûõ çíà÷åíèÿõ y ñ å¼ ïîìîùüþ ìîæíî îïèñàòü ïåðèîäè÷åñêè ðàñïîëîæåííûå äîñòàòî÷íî îñòðûå ëîêàëüíûå âûñòóïû èëè âûåìêè. Ôóíêöèÿ f (x, y)ÿâëÿåòñÿ ÷¼òíîé. Íà ðèñ.

2.10 ïðèâåäåíû ôîðìû ïîâåðõíîñòè ïðè ðàçëè÷íûõçíà÷åíèÿõ ïàðàìåòðà y , êîòîðûé îïðåäåëÿåò ôîðìó êðèâûõ.Àíàëîãè÷íî ãëàâå 1, ôóíêöèÿ f (x, y) àïïðîêñèìèðóåòñÿ îòðåçêîì ðÿäà Ôóðüå. Êðèòåðèé òî÷íîñòè îïðåäåëÿåòñÿ ïî ôîðìóëå (6.4).Äëÿ âû÷èñëåíèÿ íàïðÿæåíèé è ïîëó÷åíèÿ ãðàôè÷åñêèõ ðåçóëüòàòîâ èñïîëüçîâàëàñü ñèñòåìà êîìïüþòåðíîé àëãåáðû MAPLE. Íà ðèñ. 2.11, 2.12 èçîáðàæåíû ãðàôèêè ðàñïðåäåëåíèÿ îêðóæíûõ, êàñàòåëüíûõ è íîðìàëüíûõ íàïðÿæåíèé â äèàïàçîíå îäíîãî ïåðèîäà, ðàâíîãî 5 íì. Äëÿ ïðîâåäåíèÿ ðàñ÷¼òîâáûëè âçÿòû ñëåäóþùèå çíà÷åíèÿ ïîñòîÿííûõ: êîýôôèöèåíò M = 0, 113 íì; êîýôôèöèåíò Ïóàññîíà ν = 0, 3; ìàëûé ïàðàìåòð ε = 0, 1; îñòàòî÷íîå íàïðÿæåíèåγ0 ïðèíÿòî ðàâíûì íóëþ.

Íà ãðàôèêàõ êðàñíûì öâåòîì îáîçíà÷åíû íàïðÿæåíèÿ, ðàññ÷èòàííûå áåç ó÷¼òà ïîâåðõíîñòíûõ íàïðÿæåíèé, ÷¼ðíûì ñ ó÷¼òîì.Âî âñåõ ñëó÷àÿõ ãðàôèêè íàïðÿæåíèé ñãëàæèâàþòñÿ ïðè ó÷¼òå ïîâåðõíîñòíûõ íàïðÿæåíèé. Ïðè ýòîì, ÷åì áîëåå îñòðûå âïàäèíû èìååò ïîëóïëîñêîñòü,òåì çíà÷èòåëüíåå ñòàíîâèòñÿ óìåíüøåíèå àìïëèòóäû íàïðÿæåíèé ñ ó÷¼òîì ïîâåðõíîñòíûõ íàïðÿæåíèé òåì ñèëüíåå ïðîÿâëÿåòñÿ ýôôåêò ïîâåðõíîñòíûõíàïðÿæåíèé.Íà ðèñ. 2.13 ïðèâåäåíû ãðàôèêè çàâèñèìîñòåé ìàêñèìàëüíûõ çíà÷åíèéìîäóëåé îêðóæíûõ (à á) è íîðìàëüíûõ (â ã) íàïðÿæåíèé îò ïåðèîäà a èñêðèâëåíèÿ ïîâåðõíîñòè. Íà ðèñ.

2.13à è 2.13â ãðàôèêè ïîñòðîåíû äëÿ ðàçëè÷íûõ ïàðàìåòðîâ ôîðìû ðåëüåôà ïîâåðõíîñòè y . Êðàñíûå, ÷¼ðíûå è ñèíèå ëèíèèîáîçíà÷àþò ñîîòâåòñòâåííî íàïðàæåíèÿ, ðàññ÷èòàííûå ïðè y = 0, 2; 0, 6; 2.Ýòè çàâèñèìîñòè äåìîíñòðèðóþò ðàçìåðíûé ýôôåêò, êîòîðûé â äàííîì ñëó÷àå ïðîÿâëÿåòñÿ â çàâèñèìîñòè íàïðÿæåíèé îò ïåðèîäà èñêðèâëåíèÿ ïîâåðõíîñòè. Èç ðèñóíêà 2.13 âèäíî, ÷òî íàèáîëåå çàìåòíîå âëèÿíèå ïåðèîäà èñêðèâëåíèÿ íà íàïðÿæåíèÿ íàõîäèòñÿ â ïðåäåëàõ èçìåíåíèÿ a äî 100 íì. Ïðèa > 100 íì ýôôåêò ïîâåðõíîñòíûõ íàïðÿæåíèé ñòàíîâèòñÿ íåçíà÷èòåëüíûì è 51 M = 0, 113íìM =0(à)(ã)y = 0, 2y = 0, 21,30,080,041,2σttσ1σntσ11,10,00-0,041,0-0,080,9-0,50-0,250,000,250,50x/a(á)-0,501,150,000,250,500,250,500,250,50x/a0,06y = 0, 6y = 0, 60,041,10σttσ1-0,25(ä)0,02σntσ11,050,00-0,021,00-0,040,95-0,06-0,50-0,250,000,250,50x/a(â)1,15-0,500,06y=20,00x/a(å)y=20,041,10σttσ1-0,250,021,05σntσ11,000,00-0,020,95-0,040,90-0,06-0,50-0,250,00x/a0,250,50-0,50-0,250,00x/aÐèñ.

2.11. Ðàñïðåäåëåíèå îêðóæíûõ (à â) è êàñàòåëüíûõ (ã å) íàïðÿæåíèé â ïðåäåëàõîäíîãî ïåðèîäà 52 M = 0, 113íìM =0(à)0,15y = 0, 20,10σnnσ10,050,00-0,05-0,50-0,250,000,250,500,250,500,250,50x/a(á)y = 0, 60,04σnnσ10,020,00-0,02-0,50-0,250,00x/a(â)0,03y=20,020,01σnnσ10,00-0,01-0,02-0,03-0,50-0,250,00x/aÐèñ. 2.12. Ðàñïðåäåëåíèå íîðìàëüíûõ íàïðÿæåíèé â ïðåäåëàõ îäíîãî ïåðèîäà 53 (à)(â)1,35M = 0, 113íìy = 0, 20,16M = 0, 113íìy = 0, 2y = 0, 6y=21,301,20y = 0, 61,15max σnn /σ1max σtt /σ10,121,250,080,04y=21,1010íì100a,1000íì100a,(á)1000(ã)1,0y = 0, 2MMMM1,501,45= 0 íì= 0, 1 íì= 0, 5 íì= 1 íìy = 0, 2MMMM0,8max σnn /σ11,55max σtt /σ1101,401,350,6= 0 íì= 0, 1 íì= 0, 5 íì= 1 íì0,40,21,300,01,2510100a,íì100010100a,íì1000Ðèñ.