Диссертация (Канонический формализм для описания гравитации в виде теории вложения и для теории поля на световом фронте), страница 43

ф. бозонной теории (9.3) (т. е.,как легко заметить, выражению (9.53) с вычеркнутым третьим слагаемыми заменой ˆ на ). Из рисунка видно, что наивное каноническое квантование на с. ф. фермионной формулировки теории дает хорошие результатыпри больших значениях отношения /, т. е. в области слабой связи, ааналогичное квантование бозонной формулировки теории – при малыхзначениях этого отношения, т. е. в области сильной связи. Найденный жевыше "исправленный" гамильтониан на с. ф. (9.53) дает хорошие результаты при любых значениях отношения /.На рис.

9.4 для массы 2 скалярного связанного состояния показаныкривые, аналогичные изображенным на рис. 9.2a для массы 1 векторного связанного состояния. Поведение кривых такое же, как для случая векторного состояния: значения, соответствующие = 30, дают хорошийрезультат только при малых значениях /, экстраполяционные значения дают очень хороший результат вплоть до / = 4, а при / > 4воспроизводят правильный результат в пределах погрешности.2611.351.31.251.2Mnorm11.151.11.0510.95−10 −8−6−4−20log2(M/e)2468Рисунок 9.3. Результаты вычисления массы 1 "векторного" связанногосостояния при ˆ = = 0; * – полученные с помощью "исправленного" гамильтониана на с. ф.

(9.53), ∘ и ▽ – полученные "наивным" квантованиемна с. ф. фермионной и бозонной формулировок теории.1.81.61.4(M2–−2M)/e1.210.80.60.40.2−10−8−6−4−20log (M/e)2462Рисунок 9.4. Результаты вычисления массы 2 "скалярного" связанногосостояния при ˆ = = 0; * – полученные экстраполяцией в область → ∞, △ – соответствующие = 30, – полученные в статье [170].2629.9.2Случай ^ = = Значение = является для теории особенным. В работе [176] было предсказано, что для = при некотором значении отношения /в теории происходит фазовый переход, причем в области, лежащей ниже фазового перехода, появляются так называемые полуасимптотическиефермионы. В области же, лежащей выше фазового перехода, равно как ив случае, когда ̸= , имеет место конфайнмент.

Последующие вычисления, проведенные для = , показали (см., например, [169]), что фазовыйпереход происходит при / = 0.33.В статье [169] путем вычислений на решетке была исследованазависимость массы низшего состояния в электрон-позитронном ("2частичном") секторе от / при = . Эта масса соответствует 1в используемых здесь обозначениях. На рис. 9.5 изображено сравнениеэкстраполяционных значений 1 / с результатами статьи [169].

Видно,0.50.4M /e 0.310.20.1000.050.10.150.20.25M/e0.30.350.4Рисунок 9.5. Результаты вычисления массы 1 низшего связанного состояния при ˆ = = ; * – найденные экстраполяцией в область → ∞, – приведенные в статье [169].что при малых значениях отношения / имеет место хорошее совпадение, которое ухудшается при росте /. При / > 0.14 погрешностьэкстраполяции (см. формулу (9.68)) начинает превышать 0.1, поэтомусоответствующие точки на графике нельзя считать в достаточной степенинадежными. При / > 0.21 резко появляются очень большие колебания263в поведении соответствующих функций 1 (), дающих зависимость экстраполяционных значений от степени аппроксимирующего полинома, см.раздел 9.8, перед формулой (9.68). Начиная же с / = 0.4 колебанияпрактически исчезают, зависимость приобретает явный линейно убывающий характер. Эта зависимость для / = 0.5 в качестве характерногопримера была изображена на рис.

9.1c, а соответствующая ей, также явнолинейно убывающая зависимость величины 12 /2 от – на рис. 9.1d.Погрешность экстраполяции при / > 0.2 превышает значение 0.5.Линейное убывание 12 /2 при увеличении позволяет предположить, что эта величина стремится к −∞ при → ∞. Это означает,что при данных значениях отношения / и параметра ˆ в пределе снятия регуляризации спектр гамильтониана (9.53) оказывается неограничен снизу, и следовательно, определяемая этим гамильтонианом теориянекорректна. Такая ситуация возможна в случае возникновения какихлибо чисто непертурбативных с точки зрения т.

в. по массе фермиона эффектов, поскольку гамильтониан (9.53) строился путем анализа такой т. в. (во всех ее порядках). Указанным непертурбативным эффектом вданном случае, очевидно, является наличие фазового перехода, о которомговорилось выше. Можно заключить, что выше точки фазового перехода(/ = 0.33) теория, порождаемая гамильтонианом на с. ф. (9.53), становится некорректной, в то время как исходная теория (9.1) в лоренцевыхкоординатах остается корректной, что подтверждается результатами статьи [169] для области выше точки фазового перехода.Появление упомянутых выше сильных колебаний функций 1 () в области 0.2 < / < 0.4 скорее всего обусловлено близостью точки фазового перехода, где регуляризация, параметризуемая числом , может искажать теорию сильнее обычного.

С этим же, возможно, связано наличиезаметного отклонения экстраполяционных значений 1 / от результатовстатьи [169] в верхней части области / < 0.2.9.9.3Случай промежуточных значений ^Как уже указывалось выше, величина ˆ является функцией отношения/ и параметра , заданной в виде бесконечного ряда по , см.

конецраздела 9.6. Поэтому связь между ˆ и заранее неизвестна (за исключением особых случаев = 0, , см. там же). Эту связь, в принципе, можноискать, сравнивая спектр масс теории, вычисленный на основе гамиль264ˆ и спектр, вычисленный втониана на с. ф. (9.53), который зависит от ,лоренцевых координатах при определенном вакуумном угле .Можно показать, что спектр масс теории инвариантен относительнозамены знака величин ˆ и (напомним, что ˆ является нечетной функцией ). Проще всего это увидеть в бозонной форме теории (9.3), гдеизменение знака эквивалентно замене на −, которая не изменяетспектра масс.

Но можно указанную инвариантность увидеть и прямо вгамильтониане (9.53). Можно показать, что он не изменяется, если одновременно с изменением знака ˆ поменять местами операторы и +1(при этом заменяется на −), что является унитарным преобразованием и не изменяет спектра масс. Таким образом, достаточно проводитьвычисление спектра масс при изменении параметра ˆ от 0 до .На рис. 9.6 показаны результаты такого вычисления для массы 1 низшего связанного состояния, нормированной по формуле (9.69).

Каждаяˆ которая принимает знакривая соответствует фиксированной величине ,ˆчения 0, 0.05, 0.1, . . . , . Каждая следующая кривая (при увеличении )ˆ = 0, /ˆ = 0.05 (первая и втораялежит ниже предыдущей. В случаях /кривые сверху) погрешность экстраполяции (см. (9.68)) не превышаетвеличины 0.1 при любых значениях /.ˆ = 0.1 при значениях / в области от 2 до 24 оказываВ случае /ется > 0.1, поэтому соответствующие точки не имеет смысла наноситьна график, и кривая распадается на две части. В этой области поведение соответствующих функций 1 () (используемых в процессе экстраполяции) приобретает явно линейно убывающий характер. Такая ситуация аналогична рассмотренной в разделе 9.9.2 для случая = .

Следуетзаключить, что в указанной области теория, определяемая гамильтонианом (9.53), в пределе снятия регуляризации становится некорректной,и можно предположить, что в окрестности точки / = 2 имеет место какой-то непертурбативный эффект, как происходит в случае = (см. раздел 9.9.2).Предположение о наличии непертурбативного эффекта можно, впринципе, высказать и для точки / = 24 , выше которой погрешность опять становится меньше 0.1. Однако кажется более вероятным, что вобласти больших значений / гамильтониан в пределе снятия регуляризации все-таки остается неограниченным снизу, но уменьшение массынизшего состояния с ростом параметра регуляризации происходит настолько медленно, что оказывается < 0.1.

В пользу этого говорит за2651.31.21.1Mnorm110.90.80.70.60.5−4−202log2(M/e)468Рисунок 9.6. Зависимости результатов вычисления масс 1 низшего свяˆ Параметр ˆ принизанного состояния от / при разных значениях .мает значения 0, 0.05, 0.1, . . . , ; при увеличении ˆ кривая смещаетсясверху вниз.10.80.6∧θ/π0.40.20−4−202log (M/e)4682Рисунок 9.7. Множество пар значений / и ˆ при которых погрешностьэкстраполяции оказывается меньше значения 0.1.266висимость 1 (), имеющая при больших значениях / вид линейнойфункции с небольшим наклоном, дающим < 0.1. Как уже говорилось вконце раздела 9.8, к сожалению, нет строгого способа провести границумежду ситуациями, когда предел массы низшего состояния при → ∞существует и когда в этом пределе она стремится к −∞.ˆ = 0.15, .

. . , 0.3 ситуация полностью аналогична толькоВ случаях /ˆ = 0.1 (меняется только ширина области,что рассмотренному случаю /ˆ = 0.35, . . . , 1 отличие заключается в том,в которой > 0.1), а при /что область, где при больших значениях / устанавливается < 0.1, недостигается при рассмотренных значениях /.На рис. 9.7 в плоскости параметров /, ˆ показаны точки, в которыхпогрешность экстраполяции оказывается меньше 0.1. Можно предположить, что в области на рисунке, где точки отсутствуют, гамильтониан нас. ф. (9.53) в пределе снятия регуляризации → ∞ неограничен снизу.9.10ОбсуждениеПроведенный в данной главе расчет спектра масс двумерной квантовой электродинамики на основе "исправленного" гамильтониана на с. ф.показывает, что описанный в главе 8 метод "исправления" гамильтонианана с.

ф. путем анализа т. в. для функций Грина во всех порядках, может давать хорошие результаты. Причем результаты оказываются весьматочными в очень широкой области изменение константы связи (в проведенном расчете – от 2−10 до 28 ), несмотря на использование т. в. при исправлении гамильтониана. Это доказывает, что обсуждаемый метод действительно является непертурбативным.Границы применимости метода появляются, если в теории есть непертурбативные эффекты, например – фазовый переход.

Изучая, как меняется спектр гамильтониана при изменении параметров теории, начиная отпертурбативной области их значений, можно определить границы применимости данного гамильтониана на с. ф., т. е. найти область, где необходим дополнительный учет непертурбативных (например, вакуумных)эффектов.Полученные результаты могут быть полезны при изучении более реалистичных четырехмерных калибровочных теорий поля, например при267использовании поперечной решетки в качестве УФ регуляризации, какэто было описано в главе 8.268ЗаключениеОсновные результаты, полученные в диссертации, можно сформулировать в следующем виде.1. При описании гравитации в виде теории вложения достаточно наложить эйнштейновские связи только в начальный момент времени длятого чтобы решения уравнений теории оказались также решениями уравнений Эйнштейна. Это означает, что для того чтобы предсказания теориивложения не противоречили наблюдениям, достаточно предположить, чтов начальный момент времени реализовались ограничения на начальныеданные в виде требования выполнения (точного или приближенного) эйнштейновских связей.

Такое выполнение можно обеспечить как прямымналожением эйнштейновских связей, т. е. путем модификации теории (соответствующий вид действия предложен в разделе 4.4), так и в результатеанализа возможных начальных состояний системы, например при учетепериода инфляции в истории развития вселенной, см. раздел 3.6. На основе не противоречащего наблюдениям варианта теории вложения далееможно пытаться строить квантовую теорию, используя потенциальныепреимущества, возникающие из-за наличия в теории вложения плоскогообъемлющего пространства.2. Найден правильный вид связей, возникающих при каноническомописании теории вложения с дополнительным наложением эйнштейновских связей.