Диссертация (Канонический формализм для описания гравитации в виде теории вложения и для теории поля на световом фронте), страница 42

Эту задачу можно точно решать численно. Найденныесобственные значения будут давать квадраты масс связанных состояний2 . Следует отметить, что размер матрицы mat быстро растет с увеличением параметра , что отражено в табл. 9.1. При расчете максималь10 12 14 16 18 20222426282930mat 43 78 136 232 386 628 1003 1576 2437 3719 4566 5605Таблица 9.1. Связь между параметром и размерностью пространствасостояний mat .ными достигнутыми значениями было = 30 для случаев ˆ = = 0,ˆ = = и = 28 для остальных случаев.Как уже упоминалось выше, снятию регуляризации соответствует предел → ∞.

Поэтому недостаточно просто вычислить спектр масс 2при максимальном доступном значении , а необходимо проанализиро255вать поведение зависимости спектра от величины и найти способ экстраполяции полученных значений в область → ∞. Предлагается следующий метод экстраполяции.

Введем величину = 1/ и рассмотримфункцию 2 (). Необходимо экстраполировать значения этой функции кнулю. Вычисления показывают, что массы связанных состояний чувствительны к четности величины – может наблюдаться резкое изменение2 при изменении четности . Поэтому имеет смысл проводить экстраполяцию функции 2 () к нулю двумя способами – отдельно по четными по нечетным значениям .Для экстраполяции функции 2 () к нулю проведем аппроксимациюбезразмерного отношения 2 ()/2 по методу наименьших квадратов полиномами разных степеней.

Значение в нуле полинома степени обозначим через (). Ясно, что максимальная степень , которую можноиспользовать, на единицу меньше числа точек, в которых известна аппроксимируемая функция. В данном случае это 10 для случаев ˆ = = 0,ˆ = = и 9 для остальных случаев (при вычислениях в качестве минимального значения принимается = 9).При разных значениях отношения / и параметра ˆ возникают различные варианты поведения функции () в зависимости от . В частислучаев возникает ситуация, когда при увеличении функция () стремится выйти на насыщение, меняется медленно, см. рис.

9.1a. В этихслучаях значение, на котором происходит насыщение, будем считать результатом экстраполяции функции 2 ()/2 к нулю.Иногда возникает ситуация, когда на фоне происходящего насыщенияимеются колебания, см. рис. 9.1b. Так происходит, когда погрешность, скоторой вычисляются значения 2 (), становится заметной, в результатечего оказывается, что мы аппроксимируем полиномом высокой степенифункцию, на которую наложен значительный случайный шум. Это обычно имеет место при больших значениях отношения /, когда коэффициенты перед разными слагаемыми гамильтониана (9.53) во много разотличаются друг от друга.

Принципиально такая ситуация не отличаетсяот предыдущей; результатом экстраполяции функции 2 ()/2 к нулю вэтом случае будем считать значение, полученное путем усреднения колебаний в области насыщения. Понятно, что найденное таким образомзначение будет иметь погрешность, бо́льшую, чем в предыдущей ситуации.2564a)6.056.766.65P1(n)6.6P1(n)5.955.9b)x 106.5505nc)6.5100510nd)00−5−50P1(n)−100−10M21/e2−15−150−2005n10101520N2530Рисунок 9.1.

Примеры зависимости экстраполяционного значения 1 ()от степени аппроксимирующего полинома , а также массы низшего связанного состояния от величины при следующих значениях параметров:a) ˆ = = 0, / = 1; b) ˆ = = 0, / = 27 ; c,d) ˆ = = , / = 0.5.Символы ∘ показывают результат экстраполяции по четным значениям ,а * – по нечетным.В оставшихся случаях возникает ситуация, при которой насыщение незаметно, функция () сильно изменяется с увеличением , см.

рис. 9.1c.Чтобы провести разграничение между этим и двумя предыдущими вариантами поведения функции (), введем величину ее относительногоизменения при значительном изменении степени полинома (в областидоступных ее значений), например, в виде√︃( (4) − (9))2.(9.68)=( (4)2 + (9)2 ) /2Эта величина характеризует погрешность, с которой вычисленные значения спектра масс 2 описывают его предельное значение.

Будем считать,что если < 0.1, то насыщение для функции () имеет место и ее257значения, полученные при доступных , хорошо описывают предельноезначение массы связанного состояния. Если же погрешность > 0.1 товычисленные значения () мало говорят о поведении 2 при → ∞.Более того, в этом случае чаще всего встречается такой вид зависимости (), который позволяет предположить, что она имеет линейно убывающий характер, см. рис.

9.1c. То же можно сказать об исходной зависимости величины 2 от параметра , см. рис. 9.1d. Это заставляет предположить, что при данных значениях отношения / и параметра ˆ впределе → ∞ величина 2 стремится к −∞. Возможные причинытакого эффекта обсуждаются в следующем разделе.Следует признать, что выбор значения 0.1 в качестве граничного дляпогрешности , равно как и конкретный выбор формулы (9.68) в достаточной степени произвольны, но, к сожалению, на основании проведенных вычислений нет возможности более строго провести границу междуситуациями, когда предел величины 2 при → ∞ существует, и когда2 в этом пределе стремится к −∞.9.9Результаты вычислений9.9.1Случай ^ = = 0Спектр масс массивной модели Швингера в лоренцевых координатахв случае = 0 достаточно хорошо изучен, см.

[169, 172] и цитируемуютам литературу. Обычно изучаются массы двух первых связанных состояний 1 ,2 , которые называют векторным и скалярным состояниями.Наиболее точные результаты получены в статье [170] с помощью вычислений на решетке. В табл. 9.2 приведены значения величин (1 − 2 )/и (2 −2 )/ (значения именно таких величин даны в [170]), найденныепредложенным в настоящей работе методом (с использованием экстраполяции в область → ∞), и значения тех же величин, полученные встатье [170]. Отметим, что в случае = 0 при любых исследованных значениях отношения / величина погрешности не превышает порога0.1 (точнее, < 0.01 для 1 и < 0.03 для 2 ), т.

е. описанная в предыдущем разделе процедура проведения экстраполяции в область → ∞дает достаточно надежные результаты.258a)0.60.50.4(M1–−2M)/e0.30.20.1−10−8−6−4−20log2(M/e)24668b)1.351.31.251.2Mnorm11.151.11.0510.95−10 −8−6−4−20log2(M/e)24Рисунок 9.2. Результаты вычисления массы 1 "векторного" связанногосостояния при ˆ = = 0; * – полученные экстраполяцией в область → ∞, △ – соответствующие = 30, – полученные в статье [170].259/2−102−92−82−72−62−52−42−32−22−1202122232425262728(1 − 2 )/(2 − 2 )/данная работа статья [170] данная работа статья [170]0.5641.130.5641.130.5631.130.5631.140.5611.150.5591.170.5541.200.5450.5431.231.220.5240.5191.241.240.4890.4851.201.200.4450.4481.121.120.3930.3940.991.000.3390.3450.840.850.2950.2950.750.680.2790.2430.740.560.3020.1980.840.450.3681.080.4971.410.619Таблица 9.2.

Результаты вычисления масс "векторного" (1 ) и "скалярного" (2 ) связанных состояний, полученные в данной работе и в статье [170], при ˆ = = 0 и разных значениях отношения /.На рис. 9.2a изображено сравнение экстраполяционных значений(1 − 2 )/ с результатами статьи [170]. Показанная величина погрешности найдена из соответствующих значений относительной погрешности . На этом рисунке также показаны значения, соответствующие максимальному достигнутому значению = 30, т. е. без проведения экстраполяции.

Видно, что эти значения дают хороший результат только прималых значениях /, в то время как экстраполяционные значения даюточень хороший результат вплоть до / = 8. При / > 8 последниевоспроизводят правильный результат в пределах погрешности, котораяв этой области начинает быстро расти. Это связано с тем, что в такойобласти / становится велико, из-за чего даже для остающейся малойотносительной погрешности вычисляемой величины 12 /2 абсолютнаяпогрешность разности (1 − 2 )/ оказывается велика. Для изображе260ния полученных результатов во всей широкой области изменения /удобно откладывать на графике нормированные значенияnorm = √︀,2 + (2 )2(9.69)как это было предложено в работе [172].

Такие нормированные значения обладают тем свойством, что 1norm → 1 при → 0, равно как ипри → 0. На рис. 9.2b изображены кривые для 1norm , аналогичныеизображенным на рис. 9.2a. Видно, что совпадение экстраполяционныхзначений с результатами статьи [170] выполняется с большой точностьюво всем диапазоне изменения /.На рис. 9.3 показано сравнение экстраполяционных значений величины 1norm , вычисленных на основе "исправленного" гамильтониана нас. ф.

(9.53), с аналогичными значениями, соответствующими гамильтониану, полученному в результате наивного канонического квантования нас. ф. фермионной теории (9.1) (т. е. выражению (9.53) с вычеркнутымвторым слагаемым, см. замечание в конце раздела 9.7), а также со значениями, соответствующими гамильтониану, полученному в результатенаивного канонического квантования на с.