Диссертация (Структура и электрооптические свойства холестерических и нематических жидких кристаллов с неоднородным распределением директора), страница 4

Для ячейки, исследуемой в настоящей работе, сцепление на границе можно считать жестким. Это означает, что поверхностная энергия (1.7)велика по сравнению с объемной упругой энергией искажения жидкого кристалла (2.2) и вкладом от внешнего электрического поля (2.7). Заметим, чтоприменяемый нами метод прямой минимизации позволяет учитывать конечную энергию сцепления с подложками. Влияние поверхностного сцепления сподложками на распределение директора изучено в работе [35]. Предложен-24ный в этой работе подход позволяет учитывать разные формы потенциалаповерхностного сцепления.В случае жесткого сцепления директор на границе строго совпадает с направлением оси легкого ориентирования n( ) = n0() , = 1, 2.

Посколькувнутри твист-ячейки директор поворачивается на 90∘ , то шаг спирали равен4.Из первой вариации полной энергии =⊥2∫︁(︃0 ˜ ˜ ′ ˜ ′ ˜ + + +′′)︃(2.12)после интегрирования по частям получаем уравнения Эйлера-Лагранжа′ ()(′ )2 + 2()′′ = ()(′ )2 − 2 ′ ()′ + ˜′ (),(2.13)(()′ − ()) = 0.(2.14)Используя второе уравнение (2.14), получаем:′ =1 + (),()(2.15)где 1 = .Интегрируя выражение (2.15), получим: = 1 1 + 2 ,где 1 =∫︀ 0 −1 (), 2 =∫︀ 0(2.16)() −1 (), а = () − (0). Свободнаяэнергия Франка принимает вид: 22 0 ⊥+ =22∫︁0 (︂)︂2()⊥ ( − 2 )2′ 2()( ) − +.()21(2.17)25Используя уравнение (2.15), равновесное распределение угла (), выраженное через (), имеет вид:1() = − +2∫︁0()( − 2 ) +()1∫︁0.()(2.18)Здесь граничные условия выбраны следующим образом: (0) = − /2,() = /2.Для полной энергии, описывающей состояние кирального ЖК в ячейке сжестким сцеплением на подложках, получаем∫︁⊥= 22 02 +220 (︂)︂ 2 ()⊥ ( − 2 )2˜()( ) −+ () +.()21(2.19)′ 2Для нахождения минимума свободной энергии (2.19) мы разложим угол ()в ряд Фурье.

С учетом граничных условий разложение будет представлено ввиде ряда по синусам:∞ ∑︁() = + sin (2 − 1).2 =1(2.20)Задача минимизации состоит в поиске коэффициентов ряда .Для решения этой задачи была написана программа в Microsoft OfficeExcel. Возможности работы в Excel были ограничены количеством параметров минимизации (не более 200 параметров). В случае поиска конфигурациив планарной твист-ячейке использование программы в Excel удобно вследствие сравнительно небольшого количества переменных, по которым быланеобходима минимизация. Здесь можно было использовать встроенный пакетдля поиска минимума функционала. В частности, для поиска конфигурациидиректора использовался метод сопряженных градиентов.

При расчетах мыучитывали первые 40 членов ряда (2.20). Коэффициенты ряда достаточно26Рисунок 2.2: На рисунке представлены зависимости углов () и () − (0 − /4) для90∘ твист-ячейки кирального ЖК с жесткой планарной ориентацией директора награницах: (0) = () = /2, (0) = −/4, () = /4. Кривые построены для различныхнапряжений : 1 – 1 В, 2 – 1.15 В, 3 – 1.6 В, 4 – 3 В. Толщина ячейки = 13 мкм;площадь поверхности подложки ⊥ = 11 см2 ; диэлектрические проницаемости ⊥ = 6.95,‖ = 19.23; значения модулей Франка для ЖК-1466: 11 = 1.1 · 10−6 дин,22 = 0.38 · 10−6 дин, 33 = 0.9911 .27быстро убывают c ростом : 1 /5 ≈ 104 , 5 /10 ≈ 103 , 10 /15 ≈ 103 .

В этомслучае можно было бы рассматривать и меньшее количество членов ряда.Для твист-ячейки также была написана программа на языке С, позволяющая использовать метод конечных разностей и проводить минимизацию побольшему количеству параметров. В программе используется метод минимизации, предложенный в [57].На рисунке (Рис. 2.2) приведены профили углов () и () при различных величинах внешнего электрического поля.

Значение напряжения = 1 Вне превышает пороговое значение перехода Фредерикса и конфигурациядиректора совпадает с конфигурацей в отсутствие поля. При = 1.15 Вуже наблюдается отличие от недеформированного состояния. = 1.6 В соответствует напряжению значительно выше порога Фредерикса. Ориентациядиректора существенно отличается от недеформированной. = 3 В показывает сильную переориентацию, которая с дальнейшим увеличением полязаметно не меняется. При значениях напряжения больших 6 В предложенный метод расчета не позволял определить конфигурацию директора. Этосвязанно с тем, что угол становится близким к нулю во всей ячейке (кромеграниц) и возникает неопределенность в определении значения угла .Используемая для расчетов ячейка кирального ЖК представляла собойячейку, у которой на нижней грани (0) = −/4, а на верхней — () =/4.

Значения азимутального угла на нижней и верхней гранях сами посебе не важны. Для данной задачи важна лишь полная закрутка директора . Равновесному состоянию в отсутствие поля тогда отвечает значение =0 − /4. Отклонение от этого значение невелико и для наглядности нарис. 2.2(b) построено именно отклонение.282.2.2Гомеопланарная ячейка НЖКНаправим ось как и ранее, а ось — вдоль большей стороны прямоугольника, образованного нижней поверхностью ячейки.

В гомеопланарнойячейке мы будем считать, что на нижней грани ( = 0) директор ориентирован поверхностным веществом по нормали к ней. Это сцепление в общемслучае является не жестким. На верхней грани ( = ) сцепление жесткое,директор лежит в плоскости поверхности и параллелен оси .zL0Рисунок 2.3: Жидкокристаллическая ячейка с гомеопланарной конфигурацией.В рассматриваемом жидком кристалле не присутствует никаких киральных добавок, то есть будем считать, что постепенный переход конфигурациивектора директора из ориентации на нижней грани в ориентацию на верхней грани происходит в плоскостях параллельных -плоскости.

Для такойячейки угол фиксирован ( = 0) и представление директора в сферическихкоординатах принимает видn = (sin (),0, cos ()).(2.21)Для начала рассмотрим случай жесткого сцепления на обеих гранях, тогдадля угла на границах строго выполняются равенства:(0) = 0,() =.2(2.22)29Свободная энергия ЖК для этой системы в отсутствие внешнего поля перепишется следующим образом:⊥=2∫︁()(′ )2 .(2.23)0Соответствующее уравнение Эйлера-Лагранжа имеет вид′ ()(′ )2 + 2()′′ = 0.(2.24)Домножая на ′ ̸= 0, можно выделить полную производную)︀)︀ (︀ (︀()(′ )2 =11 sin2 + 33 cos2 (′ )2 = 0.(2.25)Отсюда можно получить выражение для угла в следующем виде:∫︁ √︀11 sin2 + 33 cos2 = 1 + 2 .(2.26)Константы 1 и 2 определяются из граничных условий (2.22):2 = 0,21 =/2 √︀∫︁11 sin2 + 33 cos2 .(2.27)0Выражение (2.26) представляет собой зависимость () и неудобно для определения конфигурации директора ().В случае одноконстантного приближения выражение (2.26) упрощается ипозволяет определить зависимость () в явном виде.

В этом приближении¯ учитывая граничные условия (2.22), для угла легко нахо11 = 33 = ,дится решение () = /2.Далее будем считать, что на верхней поверхности сцепление остается жестким, а на нижней – нежесткое. Перепишем поверхностную энергию сцепления, используя аналог потенциала Рапини-Популара (1.10), выраженного че-30рез угол . Простейшее приближение в гауссовой форме для поверхностнойэнергии на нижней грани имеет вид:(1)(1)1 (n(0),n0(1) ) = ( − 0 )2 ,(1)где (2.28)– энергия сцепления; верхний индекс как и ранее показывает отно(1)шение этой константы к нижней грани ячейки, 0 – задает направление оси(1)легкого ориентирования на нижней поверхности, 0 = 0.Заметим, что существуют различные представления для потенциалаповерхностного сцепления.

Кроме широко используемого представленияРапини-Популара, также применяется B-потенциал [55]. Эти потенциалы ведут себя по-разному при больших отклонениях от оси легкого ориентирования. В нашей же работе отклонение от вертикальной оси мало и с ростомвнешнего поля лишь уменьшается. Тогда выбор вида потенциала в гауссовойформе Рапини-Популара или B-потенциала не играет важной роли.

В случае использования B-потенциала значение электрической емкости будет отличаться от значения, рассчитанного с помощью потенциала Рапини-Популара,в пределах одного процента. Это отличие связано с незначительной разницейвлияния вида потенциала на распределение директора вблизи поверхности.При включении внешнего поля конфигурация директора изменяется и таким простым аналитическим способом её не найти. Для определения нового распределения вектора директора в зависимости от -координаты, путемминимизации полной энергии ЖК во внешнем поле, использовался метод конечных разностей.

Полная энергия для этой системы выражается следующимобразом:⊥=2∫︁0 [︁]︁⊥ (1) 2˜(())( ()) + (()) + (0).2 ′2(2.29)31Рисунок 2.4: Зависимость угла () для ячейки НЖК с гомеопланарной ориентацией награницах. На нижней грани ячейки ( = 0) директор ориентирован по нормали кповерхности, сцепление считается нежестким, энергия сцепления(1) = 1.6 · 10−2 эрг/см2 . На верхней грани ( = ) ориентация директора планарная,сцепление считается жестким. Кривые построены для различных напряжений : 1 – 0 В,2 – 0.5 В, 3 – 1 В, 4 – 2.5 В.