Диссертация (Алгебраическая аппроксимация глобальных аттракторов динамических систем на многообразии и некоторые вопросы ее стратификации), страница 3

Запишем это следующимобразом:∫︁ 0∫︁ 0−τ(+)π (π((τ)) − (τ))τ = −τ(+)π π( (τ) − (τ))τ =−δ−δ∫︁ 0−τ(+)π π( (τ) − (τ))τ−δ∫︁ 0−τ(+)π π( (τ) − (τ) + (τ) − (τ))τ.−δ14Используя формулу Коши и аналитичность на Ω, можно показать, что ин­теграл∫︁ 0−τ(+)π π( (τ) − (τ) + (τ) − (τ))τ−δможно сделать сколь угодно малым по норме, выбрав и достаточно боль­шими, причем верхняя граница нормы данного интеграла зависит только от, δ, , 0 , 0 , Λ (подробнее об этом написано в [13]).Перейдем к интегралу∫︁ 0−τ(+)π π( (τ) − (τ))τ.−δЗапишем его в следующем виде:∫︁ 0∑︁τ(+)π π( () (0) − () (0)),−π( (τ) − (τ))τ =−δ(1.11)=0где0ττ(+)π τ.!−δИнтегрируем его по частям и получаем:∫︁ = − = (−1)+1−−1(( + )π)−δ(+)π+∑︁δ−(−1)(( + )π)−−1 .( − )!=0Заметим, что первое из этих слагаемых легко можно сделать сколь угодно ма­лым по норме, выбрав подходящее , второе является линейным оператором илегко вычисляется с помощью символьных вычислений на компьютере.Покажем, как вычисляется полиномиальная зависимость и от величины0 .

Последовательными дифференцированиями уравнения (1.6) получаем:1 = −0 − (0 ),2 = −1 − 1 (1 ) − 2 (1 , 0 ) − 2 (0 , 1 ),3 = −2 − 1 (2 ) − 2 (2 , 0 ) − 22 (1 , 1 ) − 2 (0 , 2 ) и т.д..Далее зависимость ясна: при вычислении аргументом 1 является −1 , суммаиндексов аргументов 2 в выражении для равна − 1, а коэффициенты при2 – биномиальные. Точно так же для имеем0 = (0 ),1 = 1 (1 ) + 2 (1 , 0 ) + 2 (0 , 1 ),2 = 1 (2 ) + 2 (2 , 0 ) + 22 (1 , 1 ) + 2 (0 , 2 ) и т.д..15Теперь введем обозначение, (0 ) = π( − ).В силу (1.11) получим, что для любого ε > 0 найдутся , такие, что‖π0 −∑︁, (0 )‖ < ε.(1.12)=0Таким образом, каждая точка аттрактора 0 может быть приближена корнемнекоторого полинома.

Корректность и сходимость вышеуказанных допущенийи процедур устанавливает теорема.Теорема 1.2. Пусть у системы, порожденной дифференциальным уравнени­ем (1.6), есть глобальный ℬ-аттрактор ⊂ R . Тогда для любого ε > 0существуют > 0 и ∈ N такие, что⃦⃦∑︁⃦⃦, (* )⃦ 6 ε, ∀* ∈ .⃦π* −=0Полное доказательство теоремы приведено в [13]. Таким образом, мы по­лучили аппроксимацию алгебраическим множеством⃒⃒{ ∈ R π −∑︁, () = 0}.(1.13)=0Заметим, что доказательство не использует свойства притяжения аттрак­тором траекторий вблизи себя, а только его компактность и инвариантность,поэтому теорема верна и для систем, обладающих инвариантным компактныммножеством.1.3Система ЛоренцаВ качестве практического примера применения теоремы Фояша-Темамарассмотрим аппроксимацию аттрактора системы Лоренца (см.

[31]). Эта систе­ма описывается следующими уравнениями:⎧112⎪⎪⎨ ˙ + σ − σ = 0,(1.14)˙ 2 + 2 + 1 3 = 0,⎪⎪⎩ ˙ 3 + 3 − 1 2 + = 0,16где σ > 0, > 0 и > 0 – константы. Обозначим через {ϕ }∈R глобаль­ный поток, порожденный системой (1.14) в R3 . Тогда для каждого ˜0 =(1 (0), 2 (0), 3 (0)) ∈ R3 решение ˜(, ˜0 ) уравнения (1.14), начинающееся вточке ˜0 при = 0, задано как ˜(, ˜0 ) = ϕ (˜0 ), ∈ R. Хорошо известно(см. [11]), что эта динамическая система имеет глобальный ℬ-аттрактор . Длянекоторых положительных параметров σ, и этот аттрактор – фрактальноемножество, т.е. его размерность Хаусдорфа больше, чем топологическая раз­мерность.

Перепишем систему (1.14), используя новую переменную ξ = 1 − 2 .Тогда имеем систему⎧2 3⎪⎪⎨ ξ̇ + σξ − (ξ + ) = 0,˙ 2 + 2 + (ξ + 2 )3 = 0,⎪⎪⎩ ˙ 3 + 3 − (ξ + 2 )2 + = 0с положительно определенной матрицей ⎛⎞σ 0 0⎜⎟ = ⎝ 0 1 0⎠ .0 0 В качестве Λ возьмем σ = 10, соответственно проектор стал проектором напервую координату. Очевидно⎞⎞⎛⎛⎛ ⎞−(ξ + 2 )3−20⎟⎟⎜⎜ ⎟⎜0 = ⎝ 0 ⎠ , 1 () = ⎝ 0 ⎠ , 2 () = ⎝ (ξ + 2 )3 ⎠ ,0−(ξ + 2 )2где = (ξ, 2 , 3 ). Проведем ее аппроксимацию при классических параметрахσ = 10, = 8/3, = 28.

В статье [13] авторы строят первые несколько многочле­нов, аппроксимирующие аттрактор, сделаем это в данной работе с помощьюсимвольных вычислений на Matlab. Тогда, например, 4-й аппроксимирующиймногочлен выглядит следующим образом: 2.88016315393237*1 −2.0010612729*2 −2.001715671*3 +0.000021185*3 *((61*1 )/25−(21289*2 )/1375−(82167*3 )/2750 + (61 * 1 * 3 )/25 + 61/125) − 0.000014919 * (1 * 3 − (57 * 3 )/10 + 1/5) *((61 * 1 )/25 − (21289 * 2 )/1375 − (82167 * 3 )/2750 + (61 * 1 * 3 )/25 + 61/125) +0.0000149194427*((61*2 )/25+(61*3 )/25)*((57*1 *3 )/10−(3249*3 )/100−1 * (1 * 3 − (57 * 3 )/10 + 1/5) + (25 * 3 * ((61 * 2 )/25 + (61 * 3 )/25))/11 +57/50)+0.00010776845*1 *3 +0.0000175098*1 *(1 *3 −(57*3 )/10+1/5)+170.000004973147591 * 3 * ((21289 * 1 )/1375 − (6406586 * 2 )/75625 − (78081769 *3 )/302500 + (82167 * 1 * 3 )/2750 − (61 * 1 * (1 * 3 − (57 * 3 )/10 + 1/5))/25 +(61 * 3 * ((61 * 2 )/25 + (61 * 3 )/25))/11 + 82167/13750) − 0.0000021881849 *1 * ((185193 * 3 )/1000 + (25 * 3 * ((61 * 1 )/25 − (21289 * 2 )/1375 − (82167 *3 )/2750+(61*1 *3 )/25+61/125))/11−(3249*1 *3 )/100+(57*1 *(1 *3 −(57*3 )/10+1/5))/10+1 *((57*1 *3 )/10−(3249*3 )/100−1 *(1 *3 −(57*3 )/10+1/5)+(25*3 *((61*2 )/25+(61*3 )/25))/11+57/50)−(285*3 *((61*2 )/25+(61*3 )/25))/22+(50*((61*2 )/25+(61*3 )/25)*(1 *3 −(57*3 )/10+1/5))/11−3249/500)+0.00000932166784*1 *((57*1 *3 )/10−(3249*3 )/100−1 * (1 * 3 − (57 * 3 )/10 + 1/5) + (25 * 3 * ((61 * 2 )/25 + (61 * 3 )/25))/11 +57/50) − 0.00003979512589 * 3 * ((61 * 2 )/25 + (61 * 3 )/25) + 0.00004237121748 *((61 * 2 )/25 + (61 * 3 )/25) * (1 * 3 − (57 * 3 )/10 + 1/5) + 0.000021553691049.Для аттрактора Лоренца аппроксимации для = 1,...,5, = 10 из тео­ремы 1.2 показаны на рисунках 1.1а-1.1д.1.4Метод Фояша-Темама для дискретных системПусть имеется функция : R → R , совпадающая со своим рядомТейлора в некоторой окрестности ℬ (0 ) точки 0 ∈ R .

Тогда называетсявещественно аналитической функцией в этой окрестности. Величинаsup{ > 0| вещественно аналитическая в ℬ (0 )}называется радиусом аналитичности в 0 .Рассмотрим дискретную динамическую систему, заданную отображением+1 = ( ), ∈ Z,(1.15)где () = − − (), ∈ R ,и выполнены следующие свойства:(A1) у системы (1.15) существует глобальный ℬ-аттрактор . Пусть этотаттрактор содержится в множестве ℬ1 (1 ), 1 > 0, 1 ∈ R ;(A2) : R → R – линейный симметричный оператор;18(A3) обратимо;(A4) −1 – отображение, которое является вещественно аналитическим вшаре ℬ1 (1 );(A5) : R → R – отображение, которое является вещественно ана­литическим в точке 2 с радиусом сходимости 2 > 0 таким, что − (ℬ1 (1 )) ⊂ ℬ2 (2 ), где ∈ N;(A6) пусть λ1 , λ2 , ..., λ — собственные числа , при этом |λ1 | > |λ2 | > ... >|λ |, тогда |λ | < 1;Наша задача, как и ранее – аппроксимировать этот аттрактор с любойзаданной точностью с помошью алгебраических множеств.Для того, чтобы формулировка нижеприведенной аппроксимационнойтеоремы не была слишком громоздкой, введем предварительно неcколько объ­ектов.

Пусть имеется вещественно аналитическая функция . Обозначим через˜(·, , ), ∈ N функцию, функции-координаты которой определены фрагмен­тами длины разложения в ряд Тейлора в точке соответствующих функцийкоординат (использована нотация Эйнштейна для суммирования, где преде­лы суммирования от 1 до ):1˜ (, , ) = () + 1 ()(1 − 1 ) + 1 2 ()(1 − 1 )(1 − 2 ) + ...+2!(1.16)1+ 1 2 ... ()(1 − 1 )(1 − 2 )...( − ),!где = 1,2,...,, точка = (1 , 2 , ..., ) из шара сходимости ℬ (), > 0, =( 1 , 2 , ..., ) функции . Далее, пусть – минимальное натуральное числотакое, что |λ+1 | < 1, а π — проектор на линейное подпространство R , по­рожденное собственными векторами, соответствующими собственным числамматрицы λ+1 , ..., λ .

Определим для любых , , ∈ N, ∈ R при фик­сированных 1 , 2 ∈ R формальные суммы () := (−1) (π ) − ++∑︁(−1) (π )−1 ( − ()),=1,, () := (−1) (π ) − ++∑︁=1˜ ˜ − (, 1 , ), 2 , ),(−1) (π )−1 ((1.17)19где − = ( −1 ) (). Теперь приведем формулировку аппроксимационной тео­ремы.Теорема 1.3.

Пусть имеется динамическая система (1.15), для которой вы­полняются условия (A1)-(A6).Тогда для любого ε > 0 найдутся натуральные , , ∈ N такие, что длялюбого * ∈ , где —глобальный ℬ-аттрактор системы (1.15), выполняется⃦⃦⃦⃦⃦π * − ,, (* )⃦ < ε.Доказательство. Схема доказательства сходна с той, что мы использова­ли в случае систем с непрерывным временем. Перепишем систему (1.15) в виде+1 = − − ( ), ∈ Z.(1.18)Как и ранее, рассмотрим точку * ∈ . Поскольку она принадлежит некоторойорбите, можно считать, что * = 0 .

Применим проектор π к системе (1.18)+1 + + π ( ) = 0,(1.19)где := π . В силу (1.18) имеем0 = −(π )−1 − π (−1 ) == (π )2 −2 + (π )(−2 ) − π (−1 ) == −(π )3 −3 − (π )2 (−3 ) + (π )(−2 ) − (−1 ) =...= (−1) (π ) − +−1∑︁(−1) (π )−1 (− ),=1где ∈ N ∖ {1}. Итак, имеем0 = (−1) (π ) − +−1∑︁(−1) (π )−1 (− ).=1Поскольку спектр π лежит внутри единичной окружности, а также в силуограниченности − , при → ∞ получаем0 =∞∑︁=1(−1) (π )−1 (− ).(1.20)20Формулу (1.20) можно переписать в виде0 − () =∞∑︁(−1) (π )−1 (− ) − (−1) (π ) − , ∈ N.