Диссертация (Алгебраическая аппроксимация глобальных аттракторов динамических систем на многообразии и некоторые вопросы ее стратификации)

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТНа правах рукописиМалых Артем ЕвгеньевичАлгебраическая аппроксимация глобальныхаттракторов динамических систем на многообразиии некоторые вопросы ее стратификацииСпециальность 01.01.02 — Дифференциальные уравнения,динамические системы и оптимальное управлениеДиссертация на соискание учёной степеникандидата физико-математических наукНаучный руководитель — докторфизико-математических наук,профессор Ф.РайтманнСанкт-Петербург — 20182ОглавлениеСтр.Введение .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Глава 1. Аппроксимация глобальных ℬ-аттракторовдинамических систем в конечномерном линейномпространстве . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.1 Основные понятия теории динамических систем . . . . . .1.2 Оригинальная теорема Фояша-Темама . . . . . . .

. . . .1.3 Система Лоренца . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.4 Метод Фояша-Темама для дискретных систем . . . . . . ................3.....7791517.....2727333741.52..5858.62.71Заключение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .73Список литературы74Глава 2. Аппроксимация глобальных ℬ-аттракторов длясистем на многообразиях . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.1 Основные понятия, связанные с многообразиями . . . . . . . . .2.2 Существование глобального ℬ-аттрактора на плоском цилиндре2.3 Определение проективного многообразия . . . . . . . .

. . . . .2.4 Динамические сиcтемы на проективном многообразии . . . . . .2.5 Об аппроксимации для аттрактора, расположенного внутрикарты с нормальными координатами . . . . . . . . . . . . . . .Глава 3. Некоторые вопросы стратификации алгебраическихмножеств . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3.1 Стратификация Уитни в пространстве R2 . . . . . . . . . . . . .3.2 Алгоритм стратификации Уитни алгебраического множества вдвумерном случае . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3.3 Стратификация Уитни полуаналитических множеств намногообразиях . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3ВведениеАктуальность темы. Данная работа посвящена изучению аппроксима­ций глобальных ℬ-аттракторов динамических систем с помощью алгебраиче­ских множеств.Динамические системы являются распространенной математической мо­делью в различных областях науки и техники, в том числе в физике,промышленности, метеорологии.

При этом важную роль играет существованиеглобальных аттракторов и их аппроксимация. В данной работе рассматрива­ется аппроксимация алгебраическими множествами. Важным преимуществомалгебраических множеств является легкость их представления для компьютер­ных вычислений (как символьных, так и численных).Часто встречается ситуация, когда динамическую систему, моделиру­ющую, например, механический процесс или систему управления, удобнорассматривать не в евклидовом пространстве R , а на общем многообразии.Среди многообразий, на которых заданы такие системы, часто встречаютсяплоский цилиндр и проективное многообразие.

Рассмотрение систем на многооб­разии, в частности, позволяет получить локализацию глобального аттрактора.Кроме аппроксимации глобального аттрактора часто возникает необхо­димость получить дополнительную информацию о его структуре.

Одним изинструментов для этого является стратификация Уитни.Степень разработанности темы. Для аппроксимации глобальных ат­тракторов динамических систем имеются разные подходы. Один из них —применение функций Ляпунова и поверхностей без контакта с векторным полем(см. [6, 27]). Этот метод в применении к динамическим системам на цилин­дре изложен в [29]. При использовании такой аппроксимации и локализацииаттрактора можно получить оценки различных размерностных характеристикданного аттрактора (см. [9,11]). Для аттракторов диссипативных динамическихсистем в бесконечномерном фазовом пространстве можно построить конечно­мерные проекторы на конечномерные пространства (см.

[37]). Нередко такимиаттракторами являются глобально устойчивые периодические или почти пери­одические решения системы (см. [7, 21]).Второй подход при аппроксимации аттракторов заключается в построе­нии инерциальных многообразий (см. [12]). Для некоторых классов аттракторов4существование инерциальных многообразий доказано.

Недостаток данного под­хода заключается в том, что аппроксимирующие множества являются гладкимимногообразиями, тогда как аттракторы могут быть фрактальнымии множе­ствами. Поэтому в работах [13, 14, 30] изложен новый подход аппроксимацииалгебраическими и аналитическими множествами. Такие множества в общемслучае уже не являются гладкими многообразиями и могут содержать сингу­лярные точки.В работах [13, 14] и в других работах тех же авторов рассмотреныэволюционные системы в линейных (конечномерных и бесконечномерных) про­странствах.Первые результаты распространения этих результатов на системы, за­данные на многообразиях, изложены в [28, 34].

В частности, в [26] описанавозможность стратификации алгебраических множеств. В данной работе этиисследования продолжаются.Цель и задачи работы. Целью работы является расширение результа­тов, полученных Фояшем и Темамом (см. [13]), в двух направлениях. Первоенаправление — получение аппроксимационной теоремы для динамическихсистем с дискретным временем на R , второе направление — получение ре­зультатов, позволяющих аппроксимировать динамические системы, заданныена многообразии.Научная новизна. Все результаты, представленные в диссертационнойработе, являются новыми.Теоретическая и практическая ценность.

Работа носит теорети­ческий характер. Полученные аппроксимационные результаты могут бытьиспользованы для изучения аттракторов, возникающих при моделировании раз­личных физических систем.Методология и методы исследования. В работе применяются:– элементы теории аналитических и алгебраических функций и мно­жеств;– аппарат проективной геометрии для аппроксимации аттрактора;– цилиндрическая алгебраическая декомпозиция как метод стратифика­ции;– численные аппроксимации, а также символьные вычисления, выполне­ные в пакете Wolfram Mathematica.5Положения, выносимые на защиту.1. Получена адаптация для систем с дискретным временем аппроксима­ционной теоремы Фояша-Темама (см.

[13]).2. Получено интегральное представление точки, лежащей на глобальноматтракторе динамической системы, заданной на проективном многооб­разии.3. Предложен алгоритм построения стратификации алгебраического мно­жества в двумерном евклидовом пространстве на основе цилиндриче­ской алгебраической аппроксимации.Степень достоверности и апробация результатов. Правильностьадаптации для динамических систем с дискретным временем аппроксима­ционной теоремы Фояша-Темама подтверждается численным экспериментом,проведенным для аппроксимации глобального аттрактора системы Хенона(см. [19]).

Правильность работы алгоритма стратификации алгебраическогомножества подтверждается экспериментом, в ходе которого реализация пред­ложенного алгоритма на языке Wolfram Mathematica применяется к двумалгебраическим множествам, в том числе к алгебраической аппроксимации ат­трактора системы Хенона.Публикации на тему диссертации. Основные результаты диссерта­ции опубликованы в 4 печатных работах (см. [24, 26, 33, 34]), в том числе вдвух статьях.

Статьи [24, 34] опубликованы в изданиях, индексируемых систе­мой Scopus.Вклад диссертанта в совместные работы. В работе [26] соавторампринадлежит постановка задачи, а также текст, диссертанту принадлежаттеоретические результаты. В работе [34] первому соавтору (научному руко­водителю) принадлежит постановка задачи, второму соавтору принадлежитчисленное моделирование, а также изложение оригинальной теоремы Фояша­Темама, диссертанту принадлежат теоретические результаты. В работе [24]первому соавтору (научному руководителю) принадлежит постановка задачи,второму соавтору принадлежат результаты, касающиеся оценки размерности,диссертанту принадлежит алгоритм стратификации.Структура работы.

В первой главе мы даем основные определения изтеории динамических систем в метрических пространствах. Далее в этой главеизложено доказательство теоремы Фояша-Темама для того, чтобы в дальней­ших ее модификациях ссылаться на данное доказательство. Также приведен6пример применения данной теоремы к системе Лоренца. Основным результатомпервой главы является модификация теоремы Фояша-Темама для динамиче­ских систем с дискретным временем, а также применение данной модификациик аппроксимации глобального ℬ-аттрактора системы Хенона (см.

[19]).Вторая глава посвящена рассмотрению динамических систем на много­образиях. В начале главы мы напоминаем вкратце основные определения,связанные с этой темой, после чего рассматриваем один из простейших случаевмногообразия – плоский цилиндр для того, чтобы дать конкретный примермногообразия, которое может выступать в качестве фазового пространства.Далее мы приводим основные определения, связанные с проективным много­образием, а также приводим пример доопределения динамической системы,заданной на R до системы, заданной на проективном многообразии. Основнымрезультатом данной главы является интегральное представление точки, лежа­щей на аттракторе аналогичное тому, что встречается в оригинальной теоремеФояша-Темама.

Также во второй главе мы рассматриваем модификацию тео­ремы Фояша-Темама для случая, когда аттрактор находится на многообразиивнутри области определения единственной карты.В третьей главе мы рассматриваем некоторые вопросы, связанные состратификацией: даем основные определения, рассматриваем примеры страти­фикации. Основной результат данной главы – алгоритм стратификации дляслучая алгебраического множества, лежащего в R2 .Объем и структура работы.