Диссертация (1149233), страница 7
Текст из файла (страница 7)
В этом параграфе мы укажем представление для точки,находящейся на глобальном ℬ-аттракторе динамической системы определенного класса, заданной на R .Для начала приведем пример динамической системы, заданной на R 2 ,имеющей глобальный ℬ-аттрактор. Цель этого примера – показать, как можетвыглядеть глобальный ℬ-аттрактор на R 2 , кроме того, в рассматриваемом42примере глобальный ℬ-аттрактор не лежит в области определения какой-либоодной карты, тем самым мы проиллюстрируем необходимость переходов из одной карты в другую при его аппроксимации. В необходимости данных переходовзаключается основное отличие построения интегрального представления точкина аттракторе системы, заданной на R , от представления точки на аттракторе системы, заданной на R .Пример 2.1.
Рассмотрим модифицированное дифференциальное уравнениеЛотки-Вольтерра из [38] (исходное уравнение может быть найдено в [32, 44]):˙ 1 = −1 + 22 + (1 )2 + 1 2 + (2 )2 ,˙ 2 = −21 − (1 )2 .(2.27)Подробный анализ динамической системы, порождаемой этим уравнением,может быть найден в [38], а описание проективного подхода к анализу динамических систем можно найти в [2]. Ниже мы используем некоторые фрагменты [38].Рассмотрим, как можно доопределить (2.27) до уравнения на R 2 и после этогорассмотреть задаваемую доопределенным уравнением динамическую систему.Будем рассматривать уравнение (2.27) как уравнение в карте 1 . Уравнение(2.27) имеет два состояния равновесия:√* = (0, −1 − 2),√(2.28)** = (0, −1 + 2).Обозначим через 1 , 2 точки R 2 , которые имеют представление * , ** соответственно в карте 1 .
Кроме того, уравнение имеет предельный цикл инеустойчивые многообразия, выходящие из состояний равновесия и стремящиеся к предельному циклу. Рассмотрим, как это уравнение выглядит в карте 2в области (1 ) ∩ (2 ). Для этого используем отображение перехода (2.21),которое в случае R 2 выглядит следующим образом:ψ1,2 (1 , 2 ) = (1 2, 1 ) = ( 1 , 2 ).1 (2.29)Как мы видим, (ψ1,2 ) = {(1 , 2 ) ∈ R2 |1 ̸= 0}. Таким образом, производныев карте 2 имеют вид1 1˙ ,(1 )2−2 ˙ 1 + ˙ 2 1˙ 2 =.(1 )2˙ 1 = −43Откуда, используя (2.27) и (2.29), получаем представление уравнения (2.27) вкарте 2 :˙ 1 = −1 + ( 1 )2 − 2 − 2 1 2 − ( 2 )2 ,)︁1 (︁121 2 22 21 2 22 32˙ = − 1 1 + 2 + − ( ) + ( ) + 2 ( ) + ( ) .(2.30)Сделаем замену переменных при условии 1 ̸= 0τ = 1 (2.31)и получим 1= 1 (−1 + ( 1 )2 − 2 − 2 1 2 − ( 2 )2 ) =: 1 ( 1 , 2 ),τ(2.32) 2= −(1 + 2 1 + 2 − ( 1 )2 2 + ( 2 )2 + 2 1 ( 2 )2 + ( 2 )3 ) =: 2 ( 1 , 2 ).τЗамена (2.31) оставляет траектории системы (2.30) неизменными, но меняетих направления в области {( 1 , 2 ) ∈ R2 | 1 < 0}.
Теперь можно доопределитьправые части (2.30) на множестве {( 1 , 2 ) ∈ R2 | 1 = 0}: 1 (0, 2 ) = 0, 2 (0, 2 ) = −(1 + 2 + ( 2 )2 + ( 2 )3 ).Уравнение (2.32) имеет состояние равновесия * = (0, − 1).(2.33)Обозначим через точку R 2 , имеющую представление * в карте 2 . Такимобразом, в дополнение к состояниям равновесия 1 , 2 мы получили дополнительное состояние равновесия, которое находится на экваторе R 2 .
В карте 3в области (1 ) ∩ (3 ), используя отображение перехода1 1ψ1,3 ( , ) = ( 2 , 2 ) = (1 , 2 ), (ψ1,3 ) = {(1 , 2 ) ∈ R2 |2 ≠ 0} 12и выкладки, аналогичные тем, что мы использовали для карты 2 , мы имеем˙ 1 = 21 2 + (2 )2 ,)︁1 (︁211 222 212 22 3˙ = 1 − 1 − 2 + ( ) − ( ) − ( ) − 2 ( ) − ( ) .(2.34)44Сделав замену переменных при условии 1 ̸= 0τ = 1 ,получим1= 1 (21 2 + (2 )2 ) =: 1 (1 , 2 ),τ2= (−1 − 21 + (1 )2 − (2 ) − (2 )2 − 21 (2 )2 − (2 )3 ) =: 2 (1 , 2 ).τ(2.35)Теперь можно определить правые части (2.35) на множестве {(1 , 2 ) ∈R2 |1 = 0}: 1 (0, 2 ) = 0, 2 (0, 2 ) = (−1 − (2 ) − (2 )2 − (2 )3 ).Уравнение (2.35) имеет состояние равновесия* = (0, −1).(2.36)Обозначим через точку на R 2 , представлением которой в R 2 является * .Используя отображение перехода1 1̸ 0},ψ3,2 ( , ) = ( 2 , 2 ) = ( 1 , 2 ), (ψ3,2 ) = {(1 , 2 ) ∈ R2 |2 = 12легко убедиться, что = .Итак, с точностью до домножения на некоторое скалярное поле, уравнениями (2.27), (2.32), (2.35) мы определили некоторое векторное поле ˜ , заданноена R 2 .
Кроме того, мы можем домножить ˜ на некоторое скалярное поле σ,заданное на R 2 , таким образом, что = σ˜ будет задавать поток.Для наглядности приведем рисунок 2.2, на котором изображена структураглобального ℬ-аттрактора динамической системы, задаваемой . Через ′1 , ′2 , ′обозначены проекции на диск Пуанкаре точек 1 , 2 , соответственно. Такжена 2.2 изображена проекция . Проекция глобального ℬ-аттрактора выделеначерным.По теореме 1.1 получившаяся динамическая система имеет глобальныйℬ-аттрактор, состоящий из состояний равновесия (2.28), (2.33), (2.36) и из45Рисунок 2.2 — Схематичная структура глобального ℬ-аттракторадоопределенной системы на диске Пуанкаренеустойчивых траекторий, исходящих из точек 1 , 2 , .
Точки 1 , 2 лежат внутри области определения карты 1 , а точка – нет. С другой стороны, точки 1и 2 не лежат в области определения карты 3 . Также верно, что не все точки1 , 2 , лежат в области определения карты 2 . Таким образом, мы видим, чтоаттрактор не покрывается областью определения какой-либо одной карты.Теперь перейдем к описанию интегрального представления для точки, лежащей на глобальном ℬ-аттракторе динамической системы, заданной на R ,подобного тому, которое мы использовали в оригинальной теореме Фояша-Темама.Пусть имеется векторное поле , задающее дифференциальное уравнениеϕ̇() = (ϕ()),(2.37)где : R → R .
Пусть (2.37) задает динамическую систему({ϕ }∈R+ , (R , ρ)).(2.38)Потребуем также, чтобы динамическая система (2.38) имела глобальныйℬ-аттрактор . Пусть также в любой карте { }, = 1,..., + 1 атласа, описанного в утверждении 2.2, представление векторного поля является неким46полиномиальным отображением. Рассмотрим некоторую точку ∈ и рассмотрим последовательность (ϕ(·) ()) = { }∈β ⊂ R− ∪ {−∞},(2.39)где ∈ , β = { ∈ Z+ | 6 * }, где * ∈ Z+ , либо * = ∞. При этомпотребуем, чтобы:(B1) 0 = 0;(B2) −1 > , где , − 1 ∈ β;(B3) для любых , −1 существует карта −1 такая, что для любых таких, что 6 6 −1 , , − 1 ∈ β, точка ϕ () остается в областиопределения −1 ;(B4) для любых − 1, + 1 ∈ β существует такое, что +1 < < −1 иϕ () ∈/ (−1 );(B5) верно, что⋃︁( ,−1 ] = R− ;,−1∈β(B6) верно, что любое множество вида [˜, 0], ˜ < 0 покрыто конечным количеством отрезков [ , −1 ], , − 1 ∈ β;(B7) для любого : − 1 ∈ β верно, что ‖−1 (ϕ ())‖ 6 1 , 1 > 0.Утверждение 2.6.
Для системы (2.38) и точки ∈ существует (ϕ(·) ()).Доказательство. Рассмотрим отрезок ℐ = [, 0], < 0 длины и фрагменттраектории решения ϕ, который обозначим как Γ = {ϕ()| ∈ ℐ}. Легко увидеть, что Γ покрыта множествами = { ()| ∈ ℛ( ), | | < , > 1}, = 1,..., + 1.Поскольку Γ компактно, то из этого покрытия можно извлечь конечноеподпокрытие. Данное подпокрытие индуцирует конечное покрытие отрезка ℐинтервалами. Обозначим его через = {(−1 , )}, = 1,..., ∈ N. Поскольку индуцировано покрытием Γ областями определения карт, для негобудет верно, что для любого < < −1 точка ϕ () лежит в области определения некоторой карты −1 .
Из этого покрытия можно извлечь покрытиеинтервалами 1 = {[ + δ, −1 − δ]}, = 1,...,, ∈ N, где δ достаточномало. Множество R− может быть покрыто счетным числом отрезков длины47 , для каждого из которых существует покрытие, обладающее свойствами,описанными выше. Объединение этих покрытий будет счетным покрытием множества R− . Обозначим его через 2 = {[ , −1 ]}−1,∈Z+ . Множество 3 ={[ , −1 ] ∩ R− }−1,∈Z+ сохраняет все свойства 2 .
Теперь рассмотрим множество 4 = {˜ } ∈Z+ , такое, что ˜ −1 > ˜ и для любого ∈ Z+ верно, чтосуществует [ , −1 ] ∈ 3 , такое, что ˜ = −1 или ˜ = , а также верно, что для любого [ , −1 ] ∈ 3 существуют ˜−1 , ˜ ∈ 4 . Иными словами,4 –это набор левых и правых концов отрезков из 3 , упорядоченных по убыванию. Этот набор порождает естественное покрытие R− отрезками, обозначимэто покрытие 5 = {[ , −1 ]}−1,∈Z+ , где для любых − 1, ∈ Z+ верно, что−1 = ˜ −1 , = ˜ для некоторого . Докажем, что для любого [ , −1 ] ∈ 5верно, что для любого 6 6 −1 точка ϕ () остается в одной карте.Это следует из того, что для любых [˜ , ˜−1 ] ∈ 5 , [ , −1 ] ∈ 3 верно, что[˜ , ˜−1 ] ⊂ [ , −1 ].
Теперь для всех ∈ N последовательно применим следующую операцию: если для любых < 6 −1 и для любых +1 < 6 точка ϕ () принадлежит одной карте, то в множество 6 включим отрезок[+1 , −1 ], иначе – включим отрезки [ , −1 ], [+1 , ]. Эта процедура гарантирует свойство (B4). Множество 6 и будет искомым множеством .В дальнейшем для краткости будем обозначать через ϕ() выражениеϕ (), где – некоторая точка из . Заметим, что из свойства (B4) следует,что для любых − 1, ∈ β верно, что −1 ̸= . Последовательность (2.39) конечна тогда и только тогда, когда существует < 0 такое, что для всех < точка () лежит в области определения одной карты.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
