Диссертация (1149233), страница 4
Текст из файла (страница 4)
(1.21)= +1Покажем, что при выборе достаточно большого выражение справа можносделать сколь угодно малым. Оценим его норму:∞⃦⃦ ∑︁⃦⃦−1(−1) (π ) (− ) − (−1) (π ) − ⃦⃦(1.22)= +16∞∑︁−1‖π ‖⃦⃦⃦⃦‖(− )‖ + ⃦(π ) − ⃦(1.23)= +16∞∑︁= +1−1|λ+1 ||λ+1 |0 + |λ+1 | 0 = 0+ 0 |λ+1 | ,1−Λгде 0 – некоторое число, ограничивающее ‖(·)‖ на , 0 – некоторое число,ограничивающее ‖·‖ на . Заметим, что данная оценка не зависит от 0 . Далее,оценим разность между и ,, :∑︁(−1) (π )−1 Δ (0 ),(1.24)˜ ˜ − (0 , 1 , ), 2 , ) − ( − (0 )).Δ (0 ) = ((1.25),, (0 ) − (0 ) ==0где˜ 2 , ) – непрерывная функция, − в силу аналитичности при доста(·,точно большом может быть сколь угодно близка (по норме) к ˜ − (0 , 1 , ),т.е. для любого ε0 существует такое, что⃦⃦⃦ −⃦−(1.26)⃦ (0 ) − ˜ (0 , 1 , )⃦ < ε0 .˜ ˜ − (0 , 1 , ), 2 , ) может быть сколь угодно близкаСледовательно, (˜ − (0 ), 2 , ), аналогичным образом, при достаточно большом ,к (˜ − (0 ), 2 , ) может быть сколь угодно близка к ( (0 )).
Следова(тельно, Δ (0 ) может быть сколь угодно мала, для любого , следовательно,,, (0 ) − (0 ) может быть сколь угодно мала. Поскольку ,, − —непрерывная функция, на компакте ее норма оценена черезmax0 ∈ ‖,, (0 ) − (0 )‖.21Эта величина, как мы только что показали, может быть сделана сколь угодномалой.
Таким образом, получаем, что для любого ∈ N и для любого ε > 0 существуют , , такие, что для любого 0 ∈ имеем ‖,, (0 ) − (0 )‖ < 2ε .Кроме того, как было показано ранее, для произвольного ε > 0 найдетсянатуральное такое, что ‖0 − (0 )‖ < 2ε ∀0 ∈ .Значит, для произвольного ε > 0 найдутся такие натуральные , , ,что для любого 0 ∈ верно, что ‖0 − (0 )‖ = ‖0 − ,, (0 ) − ( (0 ) −,, (0 ))‖ 6 ‖0 − ,, (0 )‖ + ‖ (0 ) − ,, (0 )‖ 6 2ε + 2ε = ε.Поскольку ,, является комбинацией полиномиальных отображений,множество{ ∈ R |π − ,, () = 0}(1.27)явялется алгебраическим.Рассмотрим хорошо известную систему, заданную отображением Хенона(см.
[19], [5]):{︃1+1 = 1 − (1 )2 + 2 ,2+1 = 1 ,(1.28), ∈ R, = 0,1,... Положим = 1.4 и = 0.3. Для этих значений параметров доказано существование глобального ℬ-аттрактора динамической системы,заданной отображением Хенона. Чтобы выделить в правой части линейный положительно определенный оператор, перепишем систему в следующем виде:⎧1⎪⎨ 1+1 = 1 −2⎪⎩ 2 = 1 2 −+12 1 1 + 1 − (1 )2 + 2 ,21 2 + 1 .2(1.29)22Тогда матрицалинейного оператора из формулировки теоремы 1.3 выглядит(︃)︃10как = 2 1 , а отображения , , −1 так:0 2)︃(︃1 11 221 − ( ) + − 2 ,(1 ,2 ) =1 − 12 2(︃)︃1 221 − ( ) + (1 ,2 ) =,1(︃)︃2/ −1 (1 ,2 ) =1 + (2 /)2 − 1для любых (1 , 2 ) ∈ R2 .
Поскольку отображения , , −1 являются полиномиальными, то условия теоремы 1.3 выполняются для системы (1.4). На рисунках1.2а-1.2д красным цветом обозначены точки, которые получены последовательным применением отображения Хенона к начальным точкам (1,1)(0.5, 0.5).Выведены только точки, полученные после 100 и более итераций. Синим цветомобозначена аппроксимация, полученная в результате пременения теоремы 1.3.Рассмотрим систему, задаваемую дифференцианльм уравнением (деталимогут быть найдены в [13])˙ = + ().(1.30)Пусть система (1.30) обладает свойствами (A1), (A2), (A6). Дискретизируемэту систему с помощью одношагового метода Эйлера (см. [3]).
В качестве узловдискретизации выберем последовательность 0, ℎ, 2ℎ, ..., где шаг дискретизацииℎ — некоторое положительное число. Заменим ˙ первой разностью(ℎ)˙≈(( + 1)ℎ) − (ℎ)ℎи, введя обозначение обозначение := (ℎ), получим+1 ≈ + ℎ( + ( )), = 0,1,2,...,после чего рассмотрим систему+1 = + ℎ( + ( )), = 0,1,2,...или+1 − ( + ℎ) − ℎ( ) = 0, = 0,1,2,...(1.31)23Покажем, какими свойствами должна обладать система (1.31), чтобы к нейможно было применить теорему 1.3. Напомним, что, в соответствии со свойством (А6), λ1 ,..., λ — собственные числа , упорядоченные таким образом,что |λ1 | > |λ2 | > ... > |λ |.
Как и ранее под (·, , ) подразумевается начальнаячасть длины ряда Тейлора для в окрестности точки , задаваемая формулой (1.16). Введем также обозначение (ℎ,) := + ℎ( + ()), ∈ R , ℎ > 0.(1.32)Теперь сформулируем теорему, связывающую аппроксимацию глобального аттрактора дискретизированной системы (1.31) и глобальный аттрактор системыс непрерывным временем (1.30).Теорема 1.4. Пусть существует положительное число ℎ0 такое, что длявсех ℎ ∈ (0, ℎ0 ) выполняются следующие условия:1. отображение (ℎ,·) : R → R является обратимым;2. отображение −1 (ℎ,·) : R → R является вещественно аналитическим вшаре с центром в точке 1 и радиусом сходимости 1 , при этом ⊂ ℬ1 (1 )( — глобальный ℬ-аттрактор системы (1.30));3.
выполняется неравенство |ℎλ + 1| < 1;4. отображение является вещественно аналитическим в шаре ℬ2 (2 ), приэтом − (ℎ, ·)(ℬ1 (1 )) ⊂ ℬ2 (2 ), ∈ N.Пусть — минимальное натуральное число, такое что |ℎλ+1 +1| < 1. Пусть π (ℎ,) — проектор на линейное подпространство R ,порожденное собственными векторами (ℎ + ), соответствующими собственным числам (ℎλ+1 + 1), ..., (ℎλ + 1).
Определим для любых , , ∈∑︀N, ∈ R , и для ℎ ∈ (0, ℎ0 ) сумму ,, (ℎ,) ==1 (−1) (π (ℎ,)(ℎ +))−1 ℎ( − (ℎ, , , 1 ), 2 , ).Тогда для любого ε > 0, найдутся такие ,, ∈ N, а также ℎ* ∈ (0, ℎ0 ),что для любого 0 , лежащего на аттракторе , и для любых ℎ ∈ (0, ℎ* ) выпол0няется неравенство ||π (ℎ,0 )−,, (ℎ, 0 )|| < ε, и множество ,,(ℎ) ={ ∈ R |,, (ℎ,) − π (ℎ,) = 0} является алгебраическим.Доказательство. Очевидно, что для произвольного ℎ ∈ R, операторℎ + будет симметричным, значит, система (1.31) обладает свойством (A2).В работах [20], [23] показано, что существует ℎ1 > 0 такое, что при ℎ ∈(0, ℎ1 ) у системы (1.31) существует глобальный ℬ-аттрактор. Обозначим его24через ℎ .
Таким образом, при ℎ ∈ (0, ℎ1 ) система (1.31) обладает свойством(A1). Кроме того, в этой же работе показано, чтоdist(ℎ , ) → 0(1.33)при ℎ → 0. Из (1.33) следует, что для произвольного ε > 0 существуетℎ2 ∈ (0, ℎ1 ) : ℎ ⊂ ε () для всех ℎ ∈ (0, ℎ2 ), где ε – ε-окрестность .При выборе достаточно малого ℎ2 , ℎ ⊂ ℬ () для всех ℎ ∈ (0, ℎ2 ). Крометого, если является аналитическим отображением, то ℎ также обладаетэтим свойством. Значит, при ℎ ∈ (0, ℎ2 ) отображение ℎ является аналитическим в некоторой области , содержащей шар с центром в точке и радиусомсходимости 1 , при этом ⊂ ℬ1 () ⊂ , т.е.
при ℎ ∈ (0, ℎ2 ) система (1.31)обладает свойством (A3).Очевидно, что собственные числа линейной части (1.31) — это множетво{ℎλ +1}, = 1,2,...,. Следовательно, из условия 3 вытекает, что при ℎ ∈ (0,ℎ0 ),система (1.31) обладает свойством (A6).Условия 1, 2, 4 соответствуют свойствам (A3), (A4) и (А5) соответственно.Таким образом, во-первых, мы показали, что при ℎ ∈ (0, min(ℎ0 , ℎ2 )) система (1.31) обладает свойствами (A1)-(A6), следовательно к ней примениматеорема 1.3. Тогда для любого ε > 0 найдутся такие натуральные , , , чтодля любого ′0 , лежащего на аттракторе ℎ , и для любых ℎ ∈ (0, ℎ2 ) выпол0(ℎ) =няется неравенство ||π (ℎ,′0 ) − ,, (ℎ, ′0 )|| < 2ε , и множество ,,{ ∈ R |,, (ℎ,) − π (ℎ,) = 0} является алгебраическим.
Кроме того,найдется ℎ3 такое, что (ℎ , ) < 2ε . Пусть ℎ* = min(ℎ0 ,ℎ2 ,ℎ3 ), тогда длялюбого 0 , лежащего на аттракторе , и для любых ℎ ∈ (0, ℎ* ) выполняется0неравенство ||π (ℎ,0 ) − ,, (ℎ, 0 )|| < 2ε , и множество ,,(ℎ) = { ∈R |,, (ℎ,) − π (ℎ,) = 0} является алгебраическим.2540200-20-4040402002040-2020-40-4000-20-200-40-20-202040-4002040а) =10, =1-40б) =10, =240200-2040-404020200040-2020-20-40-40-400-40-20-200-200202040-4040в) =10, =3г) =10, =440200-204020-40-400-20-2002040-40д) =10, =5Рисунок 1.1 — Аппроксимация глобального ℬ-аттрактора системы Лоренцамножеством вида (1.13) при различных значениях параметров , 260.41.00.20.5-1.00.5-0.51.0-1.0-0.5-0.2-1.0-0.4а) =1, =2, =2-1.00.5-0.5б) =2, =2, =20.40.40.20.20.5-0.51.01.0-1.00.5-0.5-0.2-0.2-0.4-0.4в) =3, =2, =31.0г) =4, =2, =30.40.2-1.00.5-0.51.0-0.2-0.4д) =5, =2, =3Рисунок 1.2 — Аппроксимация глобального ℬ-аттрактора системы Хенонамножеством вида (1.27) с различными параметрами , , 27Глава 2.
Аппроксимация глобальных ℬ-аттракторов для систем намногообразияхВ качестве фазового пространства в этой главе используются многообразия; вкратце дадим определения, которые позволяют рассматриватьдинамические системы на многообразиях. Далее мы рассмотрим в качествепримера многообразия плоский цилиндр. После чего мы рассмотрим динамические системы на проективном многообразии. Будет показано, как доопределитьнекоторые системы, заданные на евклидовом пространстве, до систем напроективном многообразии. Кроме того, будет рассмотрено интегральное представление точки, лежащей на глобальном ℬ-аттракторе такой системы.2.1Основные понятия, связанные с многообразиямиОпределение 2.1.
Пусть ℳ – произвольное множество. Тогда -мернаякарта на ℳ есть биективное отображение : () → ℛ() ⊂ R , где() ⊂ ℳ, а ℛ() — открытое множество.Определение 2.2. Cовокупность -мерных карт A = {} называется-мерным -гладким, > 0, (аналитическим) атласом на множестве ℳ,если A обладает следующими свойствами:⋃︀(AT1): ∈A () = ℳ;(АТ2): (() ∩ ()) — открытое в R множество для любых , ∈ A;(AT3): Для любых , ∈ A отображение ∘ −1 : (() ∩ ()) → (() ∩()) является -гладким (аналитическим) диффеоморфизмом.Пусть A – -мерный -гладкий, > 0, (аналитический) атлас наℳ, и – произвольная -мерная карта на ℳ. Эта карта называется -совместимой (аналитически-совместимой) с A, если A ∪ {} тоже является -гладким (аналитическим) -мерным атласом на ℳ. Два атласаназываются -совместимыми (аналитически совместимыми), если их объединение тоже -гладкий (аналитический) атлас.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
