Диссертация (1149233), страница 9

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 9)

Здесь мы следуемв некоторых деталях представлению, данному в [15].Напомним, что ,,, (, ∈ N, 6 ) – это набор всех -мерных под­пространств R . Хорошо известно, что , имеет структуру вещественногоаналитического многообразия размерности ( − ) и называется грассмани­аном.Пусть , – подмногообразия , dim = . Если для любых последо­∞вательностей точек { }∞=1 и { }=1 , принадлежащих и соответственно,сходящихся к точке ∈ с последовательностью касательных пространств{ }∞=1 , сходящейся к ℒ в топологии грассманиана , , верно, что последо­→вательность линий {−− }, содержащих 0 и − , сходится к прямой ⊂ R59в топологии ,1 и ⊂ ℒ, говорят, что , удовлетворяют условию Уитнив точке .

В оригинальной работе Уитни (см. [45]) описанное выше условиеназывается условием (b), поскольку также вводится более слабое условие (a).Стратификация, в которой каждая пара страт удовлетворяет условиюУитни, называется стратификацией Уитни. Дополнительно к этому мы по­требуем выполнения следующего свойства: если ∩ ̸= ∅ , тогда ⊂ (граничное условие) .Теорема Уитни (см. [47]) утверждает, что при довольно общих условияхстратификация Уитни существует. В частности, она существует для алгеб­раических множеств. В каждой точке алгебраического множества = (1 , ..., ), заданного системой из полиномов { }=1 , мы рассматриваем × матрицу ( ), = 1,2,...,, = 1,2,...,. Пусть κ – максимальный рангданной матрицы на . Точка ∈ называется регулярной, если ранг матри­цы ( ) в ней равен κ.

В противном случае точка называется сингулярной.Множество регулярных точек множества обозначается . В работе [26] мыопределили множества сингулярных точек и их топологическую размерностьдля некоторых аппроксимирующих алгебраических и полуалгебраических мно­жеств глабального ℬ-аттрактора системы Лоренца (1.14). Из общей теории(см.

[35]) следует, что множество регулярных точек алгебраического множестваявляется аналитическим многообразием размерности − κ. Множество сингу­лярных точек имеет структуру алгебраического множества. В частности, дляданного множества существует стратификация Уитни.Пример 3.1. Рассмотрим алгебраическое множество = 2 (1 , (1 − (2 )2 )(3.1)= {(1 , 2 ) ∈ R2 |1 = 0} ∪ {(1 , 2 ) ∈ R2 |1 = (2 )2 }.Запишем в форме =5⋃︀ , где=11 = {(0,2 ) ∈ R2 | 2 > 0} ,2 = {(0,2 ) ∈ R2 | 2 < 0} ,3 = {(1 ,2 ) ∈ R2 | 2 = (1 )1/2 , 1 > 0} ,4 = {(1 ,2 ) ∈ R2 | 2 = −(1 )1/2 , 1 > 0} ,5 = {(0,0)} .(3.2)60Рисунок 3.1 — Стратификация Уитни множества (3.1)Легко видеть, что множества { } взаимнодизъюнктны и выполняютсяследующие свойства:1 = 1 ∪ 5 , 2 = 2 ∪ 5 , 3 = 3 ∪ 5 ,4 = 4 ∪ 5 , 5 = 5 .Все пары ( , ) ( ̸= ) удовлетворяют условию Уитни.

Покажем это,например, для пары (5 , 1 ). Поскольку 5 ⊂ 1 , нам нужно доказать, что(5 , 1 ) удовлетворяет условию Уитни. Пусть ∈ 1 , = 1,2, . . . — произволь­ная последовательность точек, стремящаяся к (0,0): = (0, ′ ) ̸= (0,0). Пусть — произвольная последовательность точек из 5 , стремящаяся к (0,0), ясно,что такая последовательность может быть только одна: = (0,0), = 1,2, .

. . .Таким образом, мы имеем→222{(−− )} = {(0, ) ∈ R | ∈ R} =: .Далее, легко видеть, что lim→∞ =: ℒ = , следовательно, верно ⊂ ℒ.Граничные условия выполнены: рассмотрим, например, 5 ∩ 3 ̸= ∅. Ясно,что 5 ⊂ 3 .В заключении параграфа укажем некоторые возможные применения стра­тификации. Первый пример применения стратификации заключается в том, чтоона позволяет получить верхние оценки размерностей некоторых подмножествстратифицируемого множества. Например, если точно известно, что некотороемножество полностью лежит внутри некоторой страты , ∈ N, то ясно, чтоdim 6 dim .Второе возможное применение стратификации – вопросы, связанные сшестнадцатой проблемой Гильберта, в которой необходимо найти верхнюю61оценку количества предельных циклов динамической системы, порожденнойдифференциальным уравнением с полиномиальной правой частью в зависимо­сти от степени полинома в правой части. Один из подходов для получениячастичных результатов в этом направлении – использование стратификации,т.к.

внутри страты можно более точно давать оценку предельных циклов. По­дробнее об этом можно почитать в работе [22].Третье возможное применение стратификации – вопросы достигаемостии наблюдаемости в теории управления, об этом написано в статье [42].Последнее применение стратификации, которое мы здесь упомянем –применение в теории временных рядов. Пусть есть некоторая динамическаясистема-«черный ящик», о которой мы можем судить только по несколькимнаблюдениям. Относительно системы мы делаем некоторые предположения,например, мы считаем, что изучаемая система лежит в некотором семействесистем, и что в данном семействе данная система типична. Именно для опре­деления типичности и используется стратификация. Множество динамическихсистем стратифицируется, и системы, которые лежат в стратах, размерностькоторых максимальна среди всех страт, считаются типичными. Этот подходиспользуется в [17].

Кроме того, важность именно стратификации Уитни заклю­чается в следующем: пусть есть некоторая система-«черный ящик», и нужнореконструировать ее глобальный ℬ-аттрактор ⊂ ℳ, где ℳ–-мерное мно­гообразие. Пусть при этомdim < ,(3.3)где dim —фрактальная размерность. Пусть ℎ : ℳ → R — типичная функция(см. [43]). В терминологии, принятой при применении метода Такенса, ℎ назы­вают функцией наблюдения. Рассмотрим функцию ψ : R → R2+1 такую, чтоψ() = (ℎ(ϕ()),ℎ(ϕ( − τ)),...,ℎ(ϕ( − 2τ))),где ϕ — интегральная кривая изучаемой системы.

Метод Такенса (см. [43]) припомощи ψ позволяет реконструировать при определенных условиях, налага­емых на изучаемую систему. Часто на практике все из этих условий проверитьсложно, но если известно, что допускает стратификацию Уитни, задача про­верки этих условий, как правило, упрощается. Подробнее о применении методаТакенса можно прочесть в [16, 39, 41].623.2Алгоритм стратификации Уитни алгебраического множества вдвумерном случаеВ этом разделе приведен исходный текст программы, реализующей ал­горитм стратификации Уитни алгебраического множества, содержащегося вR2 .

В работе [36] приведен общий алгоритм, в результате которого полу­чается стратификация алгебраического множества в C . Мы представляемальтернативный подход к получению стратификации Уитни для R2 , исполь­зующий цилиндрическую алгебраическую декомпозицию (Cylindrical AlgebraicDecomposition), далее CAD (см. [10]).

Преимущество данного подхода заклю­чается в том, что для получения хотя бы какой-то стратификации Уитни бездополнительных ограничений достаточно применить CAD к набору полиномов,определяющих алгебраическое множество, при этом CAD эффективно реали­зован в популярных математических пакетах, поддерживающих символьноесчисление (например, Wolfram Mathematica).

Если же необходимо получить внекотором смысле оптимальную стратификацию Уитни (подробнее – далее),нужно дополнительно реализовать относительно простой алгоритм. Способ,предложенный ниже, можно попробовать распространить на R , но некоторыедетали доказательства корректности алгоритма будут сложнее.Начнем с описания свойств CAD.

Пусть имеется алгебраическое множе­ство = ( ), где —некий полином. Мы не умаляем общности здесь,поскольку каждое алгебраическое множество, описанное как (1 , 2 ,..., ),где 1 ,2 ,..., — некие полиномы, заданные на R , может быть описано как∑︀∑︀22),тоестьспомощьюединственногополинома ( =1 .=1Назовем точку ∈ изолированной точкой , если существует такаяокрестность точки , что ∩ {} = {}.Назовем точку (1 , 2 ) ∈ разбивающей для , если она является изо­лированной или сингулярной точкой или такой, что касательная к в этойточке параллельна оси 2 .Назовем точку (1 , 2 ) точкой разбиения для , если существует разби­вающая точка с координатами (1 , 2* ).CAD алгебраического множества является разбиение на набор мно­жеств { }, = 1,2,...,, ∈ N со следующими свойствами:⋃︀(C1) =1 = ;63(C2) для любых , = 1,2,...,, ̸= верно, что ∩ = ∅;(C3) для любого = 1,2,..., верно, что является либо точкой разбиения ,либо графиком некоторой непрерывной функции : ℐ ⊂ R → R от 1 , где ℐ –открытый интервал, при этом график не содержит точек разбиения , либоинтервалом прямой, параллельной оси 2 , не содержащим сингулярных точек;(C4) не существует , = 1,2,..., таких, что ∪ является графиком некото­рой непрерывной функции от 1 , заданной на открытом интервале.В оригинальной работе по CAD (см.

[10]) гарантируется свойство (С3), но егоможно усилить и доказать следующее свойство:(C3’) функция из свойства (C3) является вещественно-аналитической.Свойство (C3’) вытекает из того, что график согласно алгоритму CADявляется подмножеством , для которого 1 ∈ ℐ, то есть задается в виде неяв­ной функции (1 , 2 ) = 0,где 1 ∈ ℐ и : R2 → R – полином. Поскольку график не содержит сингуляр­ных точек, мы можем применить теорему о неявной аналитической функциии получить, что —аналитическая.Уже на этом этапе мы имеем стратификацию Уитни = { }=1 .Докажем этот факт. Во-первых, поскольку набор { }=1 является конечным, онявляется локально конечным.

Каждый элемент данного набора является либоточкой, либо графиком некоторой аналитической функции от 1 , следовательноявляется аналитическим 1-мерным подмногообразием R2 с одной картой (про­екцией на ось 1 ), либо 0-мерным аналитическим подмногообразием R2 . Теперьдокажем небольшое вспомогательное утверждение.Утверждение 3.1. Пусть множества , являются элементами набора{ }=1 , описанного выше. Если ∩ ̸= ∅, ̸= , , = 1,2,...,, то1. ⊂ ;2. является неизолированной точкой разбиения .Доказательство.

Докажем сначала пункт 1. Очевидно, не может бытьинтервалом прямой, параллельной 2 , иначе если – точка, то ∩ ̸= ∅64– противоречие свойству (C2). Если же – интервал прямой, параллельной2 , а – тоже интервал прямой, параллельной 2 , то поскольку ̸= , то ∩ = ∩ = ∅. Последний вариант, при котором может быть ин­тервалом прямой, параллельной 2 – если – график некоторой непрерывнойфункции, заданной на открытом интервале. Но тогда ∩ – сингулярнаяточка, которая согласно свойству (C3) должна быть отдельным компонентомразбиения * , при этом по условию ∩ * = ∅, противоречие. Итак, неможет быть интервалом прямой, параллельной 2 .

Характеристики

Список файлов диссертации