Диссертация (Алгебраическая аппроксимация глобальных аттракторов динамических систем на многообразии и некоторые вопросы ее стратификации), страница 2

Диссертация состоит из введения, трёхглав и заключения. Полный объём диссертации составляет 78 страниц, включая9 рисунков. Список литературы содержит 47 наименований.7Глава 1. Аппроксимация глобальных ℬ-аттракторов динамическихсистем в конечномерном линейном пространствеВ начале главы мы напомним вкратце некоторые основные понятия тео­рии динамических систем. Более подробно об объектах, описанных здесь,можно почитать, например, в работах [9,11].

Затем введем понятие алгебраиче­ских множеств, после чего приведем две аппроксимационные теоремы: теоремуФояша-Темама об аппроксимации для систем с непрерывным временем, приве­денную в статье [13], а также полученную нами модификацию этой теоремыдля случая систем с дискретным временем. Теорему Фояша-Темама мы приво­дим с доказательством для того, чтобы в дальнейшем было удобно ссылатьсяна данное доказательство в наших собственных модификациях этой теоремы.1.1Основные понятия теории динамических системВведем в соответствии с [9, 11] понятие динамической системы на метри­ческом пространстве, которое будем использовать на протяжении всей работы.Определение 1.1.

Пусть (ℳ, ρ) – полное метрическое пространство.Пусть T ∈ {R, R+ , Z, Z+ } и задано семейство отображений {ϕ }∈T , длякоторых выполняются следующие условия:1. ϕ : ℳ → ℳ для любых ∈ T и ϕ0 = idℳ ;2. ϕ+ = ϕ ∘ ϕ для любых , ∈ T;3. При T ∈ {R, R+ } отображение ϕ : T × ℳ → ℳ является непре­рывным по обоим своим аргументам; при T ∈ {Z, Z+ } отображениеϕ : ℳ → ℳ непрерывно для любого ∈ T.Тогда пара ({ϕ }∈T , (ℳ, ρ)) называется динамической системой. Простран­ство (ℳ, ρ) называется фазовым пространством. Динамические системы,у которых T ∈ {R, R+ }, называются системами с непрерывным временем;системы, у которых T ∈ {Z, Z+ }, называются системами с дискретным вре­менем.8Определение 1.2. Пусть имеется динамическая cиcтема({ϕ }∈T , (ℳ, ρ)).(1.1)Множество ⊂ ℳ называется глобально ℬ-притягивающим для (1.1) если притягивает все ограниченные множества из ℳ, т.е.dist(ϕ (ℬ), ) → 0(1.2)для всех ограниченных множеств ℬ ⊂ ℳ при → ∞, где для любых непустых1 , 2 ⊂ ℳdist(1 , 2 ) = sup inf ρ(, ).(1.3)∈1 ∈2Если множество ограниченно, то система (1.1) называется ℬ-диссипативной.Определение 1.3.

Множество называется инвариантным множествомдля динамической системы (1.1), если для любого ∈ T верно, что ϕ () = .Основными объектами, изучаемыми в данной работе, являются глобаль­ные ℬ-аттракторы, которые мы понимаем в том же смысле, что и в [11].Определение 1.4. Множество ⊂ℳ называется глобальнымℬ-аттрактором для динамической системы (1.1), если выполнено:1. замкнуто и ограничено;2. инвариантно для системы (1.1);3. является глобально ℬ-притягивающим множеством системы (1.1).Также нам понадобится понятие состояния равновесия динамической си­стемы.Определение 1.5. Точка ∈ ℳ является состоянием равновесия для дина­мической системы (1.1) если для любого ∈ T верно, что ϕ () = .Приведем теорему из [4], которая устанавливает связь между состояниямиравновесия и глобальным ℬ-аттрактором.Теорема 1.1.

Пусть у ℬ-диссипативной динамической системы, заданнойуравнением (1.1), где T = R, имеется конечное количество состояний рав­новесия { | = 1,2,...,, ∈ N}. Тогда данная система имеет глобальныйℬ-аттрактор = ∪(1.4)=1 ( ),где () = { ∈ ℳ|ϕ () → , → −∞}.91.2Оригинальная теорема Фояша-ТемамаВведем понятие алгебраического множества. Для описания алгебраиче­ских множеств мы используем представление, основанное на идеалах многочле­нов. Напомним вкратце некоторые понятия из алгебры, которые понадобятсядля введения такого представления. Идеалом над кольцом ℛ называетсяподмножество элементов ℛ, удовлетворяющих условиям:1. ∈ ⇒ ∈ , ∀ ∈ ℛ;2.

, ∈ ⇒ + ∈ .Пусть ℛ – кольцо. Кольцом многочленов над ℛ от переменных называет­ся множество{︁ ∑︁}︁αℛ[1 ,..., ] :=α |α ∈ ℛ, ∈ N ∪ {0} ,|α|6гдеαα = (α1 ,α2 , ..., α ); α1 ,α2 ,...,α ∈ N ∪ {0}; =α1α1 2α2 ,...,;|α| =∑︁α .=1Пусть имеется идеал в кольце многочленов над R . Алгебраическим множе­ством ( ) называется множество { ∈ R | () = 0 ∀ ∈ }. Далее, идеал в кольце ℛ называется конечнопорожденным, если он представим в виде = ℛ1 + ℛ2 + ... + ℛ ,где ∈ N; 1 ,..., ∈ ℛ. Под ℛ, где ∈ ℛ, подразумевается множество{ ∈ ℛ|∃* ∈ ℛ : = * }, а под ℛ + ℛ, где , ∈ ℛ, подразумеваетсямножество { ∈ ℛ|∃* ∈ ℛ, ∃* ∈ ℛ : = * + * }.

Кольца, в которыхвсе идеалы конечнопорожденные, называются нетеровыми. Хорошо известнаятеорема Гильберта о базисе (см. [15]) утверждает, что кольцо многочленов наднетеровым кольцом нетерово. R — нетерово кольцо, поэтому, в соответствии стеоремой Гильберта, алгебраическое множество может быть переписано как ( ) = (R []1 + R []2 + ... + R [] )= { ∈ R | () = 0, = 1,2, . . . ,} =: (1 , . .

. , ),где R [] — кольцо многочленов переменных над R , а , = 1,.., —многочлены переменных над R . Преимуществом алгебраических множеств10является, в частности, легкость их моделирования на компьютере, а также воз­можность производить стратификацию Уитни для них, о чем более подробнонаписано в гл. 3.Теперь перейдем непосредственно к описанию схемы доказательства тео­ремы Фояша-Темама. Рассмотрим дифференциальное уравнение˙ = (),(1.5)где – вещественно аналитическое отображение, : R → R .Теорема Пикара-Линделефа утверждает, что уравнение (1.5) имеет локальноеаналитическое решение для любых начальных данных(0) = 0 .Понятно, что динамическая система, порожденная таким дифференциальнымуравнением, является частным случаем (1.1).Будем рассматривать уравнения следующего вида (это позволит не загро­мождать доказательство техническими деталями и сосредоточиться на общейсхеме):˙ + + () = 0,(1.6)где – симметричная положительно определенная × матрица, а() = 0 + 1 () + 2 (, ),где 0 – вектор из R , 1 : R → R – линейный оператор, а 2 – билинейнаяформа на R .

В описанный выше класс уравнений входят уравнения Лоренца иРесслера, а также многие другие классические дифференциальные уравнения,задающие ℬ-диссипативные динамические системы и динамические системы синвариантным множеством.Ценой некоторого технического усложнения доказательства можно рас­сматривать в качестве вещественно аналитическое отображение (см. [13]).Для 1 и 2 существуют положительные константы 1 и 2 такие, что:‖1 ()‖ 6 1 ‖‖ ∀ ∈ R , ‖2 (, )‖ 6 2 ‖‖‖‖ ∀, ∈ R .Из вещественной аналитичности отображения по переменной следуетсуществование решения (ζ) для любых начальных данных (0) = 0 , областьюопределения которого является некоторая полоска Ω:Ω := {ζ ∈ C| max{−δ0 , − Re ζ} 6 Im ζ 6 min{δ0 , Re ζ}},(1.7)11где δ0 > 0 — некая константа.

Можно доказать, что существует такое δ0 , чторешение аналитично в Ω и ограничено:‖(ζ)‖ 6 0 , ∀ζ ∈ Ω.Получаем следующую оценку:‖((ζ))‖ 6 0 ,где0 := ‖0 ‖ + 1 0 + 2 02 , ∀ζ ∈ Ω.Пусть также динамическая система, порожденная (1.5), имеет глобаль­ный ℬ-аттрактор . Рассмотрим произвольную точку * на . Поскольку *принадлежит некоторой орбите = (), ∈ R, не умаляя общности можносчитать, что* = (0).Как показано выше, функция → () может быть расширена на часть ком­плексной плоскости по аналитичности.

Проинтегрировав (1.6), имеем:∫︁ 0−() = (0) +(τ−) ((τ))τ.(1.8)Нас интересует интегральное представление точки (0), поэтому перепишем(1.8) так:∫︁ 0(0) = () −τ ((τ))τ.Рассмотрим теперь следующее предельное соотношение:∫︁ 0lim (0) = lim ( () −τ ((τ))τ).→−∞→−∞Поскольку ограничена, а матрица положительно определена, имеем∫︁ 0τ ((τ))τ.(1.9)(0) = −−∞Пусть Λ — некоторое собственное значение матрицы .

Поскольку матрица положительно определена, любое ее собственное число вещественно. Обозначим12через π проектор в R на подпространство, натянутое на собственные вектораматрицы , соответствующие собственным числам, превышающим Λ.Введем следующее обозначение: := π ∀ ∈ R .Применив проектор π к уравнению (1.6) и, учитывая, что π является линейнымоператором, а значит коммутативен с , получим:˙ + + π() = 0.Введем в уравнение коэффициент .

Данный коэффициент мы будем изменятьв дальнейшем для того, чтобы получить некоторые оценки.˙ + ( + ) − + π() = 0.Проинтегрировав полученное уравнение и перейдя к пределу аналогично тому,как мы это делали для того, чтобы получить уравнение (1.9), получим сле­дующую формулу:∫︁ 0(0) = −τ(+) (π((τ)) − (τ))τ.−∞Для того, чтобы получить аппроксимацию аттрактора алгебраическиммножеством, достаточно приблизить правую часть неким полиномиальнымотображением с аргументом (0), причем коэффициенты данного отображе­ния не должны зависеть от (0).Начнем с разбиения интеграла справа на два других: один по интерва­лу (−∞, −δ), а другой по оставшемуся (−δ, 0).

Рассмотрим и оценим первыйиз них.⃦ ∫︁ −δ⃦ ⃦ ∫︁ −δ⃦⃦⃦ ⃦⃦τ(+)πτ(Λ+)(π((τ)) − (τ))τ⃦ 6 ⃦(0 + 0 )τ⃦ 6⃦−−∞6 (Λ + )−1 (0 + 0 )−∞−δ(Λ+)Мы использовали операторную оценку⃦⃦⃦ τ(+)π ⃦⃦⃦ 6 (Λ+)τ ,а также оценку функции на множестве Ω..13Таким образом, для любого ε > 0 надется такое , что∫︁ 0⃦⃦⃦⃦τ(+)π(π((τ)) − (τ))τ)⃦ < ε.⃦(0) − (−(1.10)−δПреобразуем интеграл в (1.10). Разобъем его на два: один, зависящий полиноми­ально от (0), и второй, который можно сделать сколь угодно малым по нормепри помощи выбора и . Для этого сначала воспользуемся аналитичностьюотображения и разложим его в ряд:(τ) =∞∑︁τ=0!() (0),данное равенство верно в окрестности |τ| < δ0 , поэтому возьмем δ < δ0 .

Рас­смотрим теперь частичные суммы: (τ) =∑︁τ=0!() (0).Можно заметить, что величины := () (0), = 0,..., являютсязначениями полиномиальных отображений от 0 = (0). Действительно, по­следовательно дифференцируя исходное уравнение, мы каждый раз получаем,что выражается через полиномиальное отображение от −1 , −2 ,...,0 , такимобразом, зависит полиномиально от 0 .Аналогичные рассуждения верны для величин = () (0) = ( ∘ )() (0),кроме того, заметим, что 0 полиномиально выражается через 0 с помощьюисходного уравнения, следовательно величины также полиномиально зависятот 0 .Таким образом, мы теперь научились приближать функции (τ) и (τ) величи­нами, которые полиномиально выражаются через 0 .