Диссертация (Алгебраическая аппроксимация глобальных аттракторов динамических систем на многообразии и некоторые вопросы ее стратификации), страница 10

Теперь докажем, что со­стоит из одной точки. Предположим противное, тогда также не может бытьодноточечным, иначе ∩ = ∩ = ∅. Также не может быть интерваломпрямой, параллельной оси 2 , иначе ∩ — сингулярная точка , при этом содержит эту точку, что противоречит свойству (C3). Значит, по свойству(С3) остается только вариант, когда , – графики некоторых непрерывныхфункций , соответственно, заданных на открытых интервалах. Но тогда ∩ снова является сингулярной точкой, при этом эта точка входит в ,чего не может быть по условию (C3).

Итак, может быть только одноточеч­ным множеством, откуда очевидно следует, что ⊂ . Кроме того, очевидно,что не может быть изолированной точкой , значит это либо сингулярнаяточка, либо точка (1 , 2 ) ∈ , такая, что существует точка (1 , * ), в которойкасательная к параллельна оси 2 .Осталось показать, что для любых , выполняется условие Уитни. Рас­смотрим две страты , , , = 1,2,..., такие, что ∩ ̸= ∅.

Согласноутверждению 3.1 имеем, что является одноточечным множеством = {* },и все последовательности точек, принадлежащих , являются стационарнымипоследовательностями { }∞=1 вида = * , , = 1,2,...Следовательно, проверка выполнения условия Уитни для , сводитсяк проверке того, что для любой последовательности { }∞=1 ⊂ , сходящейся к→* , предел последовательности {−−* } в ,1 будет содержаться в пределе после­довательности . Но ясно, что эти пределы совпадают. Итак, { } являетсястратификацией Уитни.Однако, такая стратификация не является максимальной. Назовем стра­тификацию Уитни множества { ′ }=1 максимальной, если для любой другойстратификации Уитни множества { }=1 верно, что любая страта является подмножеством некоторой страты ′ . Для того, чтобы сделать страти­фикацию { }=1 максимальной для каждой страты, состоящей из регулярной65точки, будем "склеивать" в этой точке те страты, замыкания которых пе­ресекаются в ней.

Для каждого множества , = 1,...,, которое являетсяпересечением замыканий некоторых множеств , , ̸= , , = 1,2,...,, ал­горитм указывает все страты, замыкания которых пересекаются с данныммножеством, назовем их входящими в . Далее, чтобы получить стратифи­кацию алгоритм должен "склеить" те множества, которые пересекаются порегулярной точке в данной точке в одну страту. Например, если в качествеалгебраического множества выступает единичная окружность, то CAD будетвыглядеть как { }4=1 , где1 = {(−1,0)};√︀2 = {(1 ,2 )|2 = − 1 − (1 )2 , − 1 < 1 < 1};√︀3 = {(1 ,2 )|2 = 1 − (1 )2 , − 1 < 1 < 1};4 = {(1,0)}.Множества 2 и 3 пересекаются по множеству 1 , поэтому нужно их склеитьв данной точке, получим множество1 = 1 ∪ 2 ∪ 3 .Аналогично 2 и 3 пересекаются по множеству 4 , которое также являетсярегулярной точкой, поэтому склеиваем их и в ней и получаем финальную стра­тификацию, которая состоит из одной страты2 = 1 ∪ 2 ∪ 3 ∪ 4 .Теперь рассмотрим общий случай.

Для начала сформулируем и докажем вспо­могательное утверждение.Утверждение 3.2. Пусть ⊂ R2 , = ( ), где – некий полином. Пусть{ }, = 1,2,..., — CAD множества . Если * ∈ { }, = 1,2,..., — регу­лярная точка, то у нее ноль или две входящих страт.Доказательство. Рассмотрим случай, когда)() = 0.∈В таком случае, очевидно, состоит из изолированных точек, и каждая из нихимеет ноль входящих страт.

Если жеmax (max (∈)() = 1,66то для любой регулярной точки * согласно теореме о неявной функции суще­ствует некоторая окрестность * такая, что ∩ * является или графикомгладкой функции от 1 , или графиком гладкой функции от 2 . Рассмотримпервый случай, второй рассматривается точно также. Итак, пусть существу­ет ε > 0 такое, что ∩ * = {(1 , (1 )||1 − 1* | < ε)}.Тогда входящими в страту * = {* } стратами будут множества *1 , *2 , где*1 : {(1 , (1 )|1 < 1* , |1 − 1* | < ε)} ⊂ *1 ,*2 : {(1 , (1 )|1 > 1* , |1 − 1* | < ε)} ⊂ *1 ,где : R → R — некоторая гладкая функция. Очевидно, больше страт, входя­щих в * , быть не может, поскольку иначе данная страта в окрестности * немогла бы представляться в виде графика функции.Теперь опишем непосредственно сам алгоритм.Алгоритм построения максимальной стратификации Уитни в R2 .Пусть { }, = 1,2,..., — CAD алгебраического множества .

Будем собиратьстратификацию пошагово. Заведем множества 0 , 1 , 2 , ..., , где 0 = ∅.Для = 1,2,..., последовательно выполняется следующая процедура: если мно­жество имеет входящие множества, то это обязательно точка. Если даннаяточка сингулярна, то := −1 ∪ { } (она добавляется в результирующуюстратификацию как отдельная страта), если же это регулярная точка, то вхо­дящих страт будет ноль или две.

Если их две (обозначим их 1 , 2 ), то если в−1 есть множество * , которое включает в себя одно из входящих множеств(пусть, не умаляя общности это 1 ), то := −1 ∖ {* } ∪ {* ∪ 2 ∪ }(второе множество добавляется к этому множеству вместе с точкой), иначе := −1 ∪ {1 ∪ 2 ∪ } (в результирующей стратификации заводится новоемножество, которое является объединением двух входящих множеств и точки).Если же входящих множеств у нет, то := −1 ∪ { }.

Множество является итоговой стратификацией.Утверждение 3.3. Множество , описанное выше, является максималь­ной стратификацией Уитни множества .Доказательство. Ясно, что на каждом шаге алгоритма условия Уитнине нарушаются. Докажем максимальность . Очевидно, что каждая страта67* , входящая в , является либо сингулярной точкой , либо максимальнымпо включению связным подмножеством среди всех подмножеств , содержа­щих * и не содержащих сингулярных точек . Таким образом, * являетсямаксимальным по включению гладким связным подмногообразием R2 , содер­жащимся в и содержащим * . Ясно, что для любой другой стратификации{ }, ∈ , каждая страта ** ∈ { } является либо точкой , и тогдадля нее, очевидно, найдется страта * из такая, что ** ⊂ * , либо одно­мерным гладким связным подмногообразием R2 , не содержащим сингулярныхточек .

Ясно, что ** пересекается с хотя бы одной стратой * из . Но тогда** ⊂ * . Предположим противное, тогда множество * ∪ ** строго больше повключению, чем множество * , и при этом не содержит сингулярных точек ,а значит является связным гладким подмногообразием R2 , содержащимся в и содержащим * . Получили противоречие.Приведем пример работы алгоритма.Пример 3.1.

Пусть = 2 (((1 )2 + (2 )2 − 1)((1 )2 − (2 )2 )).Тогда стратификация выглядит следующим образом:11 = {(1 , 2 ) ∈ R2 |1 − 2 = 0, 1 < − √ },212 = {(1 , 2 ) ∈ R2 |(1 )2 + (2 )2 − 1 = 0, −1 < 1 < − √ },213 = {(1 , 2 ) ∈ R2 |1 + 2 = 0, 1 < − √ },2114 = {(1 , 2 ) ∈ R2 |(1 )2 + (2 )2 − 1 = 0, − √ < 1 < √ , 2 < 0},225 = {(0, 0)},116 = {(1 , 2 ) ∈ R2 |(1 )2 + (2 )2 − 1 = 0, − √ < 1 < √ , 2 > 0},22117 = {(− √ , − √ )},221 18 = {(− √ , √ )},2 268Рисунок 3.1 — Стратификация множества 2 (((1 )2 + (2 )2 − 1)((1 )2 − (2 )2 ))119 = {( √ , − √ )},221 110 = {( √ , √ )},2 2111 = {(1 , 2 ) ∈ R2 |1 + 2 = 0, 1 > √ },2112 = {(1 , 2 ) ∈ R2 |(1 )2 + (2 )2 − 1 = 0, √ < 1 < 1},2113 = {(1 , 2 ) ∈ R2 |1 − 2 = 0, 1 > √ },2114 = {(1 , 2 ) ∈ R2 |1 − 2 = 0, − √ < 1 < 0},2115 = {(1 , 2 ) ∈ R2 |1 + 2 = 0, − √ < 1 < 0},2116 = {(1 , 2 ) ∈ R2 |1 + 2 = 0, 0 < 1 < √ },2117 = {(1 , 2 ) ∈ R2 |1 − 2 = 0, 0 < 1 < √ }.269Рисунок 3.2 — Стратификация множества (3.4)Как и в примере 3.1, несложно убедиться в том, что итоговая стратификацияявляется стратификацией Уитни.Перейдем теперь к примеру, непосредственно относящемуся к динами­ческим системам.

Рассмотрим множество, полученное при аппроксимацииглобального ℬ-аттрактора Хенона при значении параметра = 3 в выраже­нии (1.27) и параметрах и равных 10:Пример 3.2. Пусть = 2(︁102 10 (︁102 140 (︁140(2 )2 )︁2 )︁)︁1− 2 +−+−1+−1+ +. (3.4)333991Мы не стали брать аппроксимационное множество более высоких поряд­ков, поскольку, как известно, не существует алгоритма по нахождению корнейпятого и более порядков в радикалах.

Данные корни нужны, например, в ходепроцедуры CAD, которая в свою очередь необходима для обнаружения то­чек самопересечения стратифицируемого множества. Итак, аппроксимационноемножество состоит из двух страт 1 , 2 , которые являются параболами, повер­нутыми на π2 , т.е. имеет достаточно простую структуру, несмотря на это явный70вид страт, генерируемый алгоритмом, весьма громоздок, поскольку в ходе ал­горитма используется представление страт в виде объединения множеств вида2 − (1 ) = 0.(3.5)Вот вид лишь одного из трех множеств, составляющих первую страту:{(1 , 2 ) ∈ R2 |2 − (1 ) = 0}.Здесь для ∈ R√︁ (︀)︀√︀3 223()−5519+26653113 ()17√︀√−−() :=211 3 272/3175 3 ()243√︂+√3 3 27 (11 ()2 −5519+2665)1√10 1 () ++ 35(−3)( − 1)175 3 ())︂1/21+ (−6)( − 1)35√︂111 () + 2 () + (−3)( − 1)−235 √︀√() := 1 ()3 + 3 ()2 + 27 21 2 ()4 + 4 ()3 + 5 ()2 + 6 + 7(︂+ 8 + 9 ;1 := −50176000,2 := −103219200,3 := 148350720,4 := 446169088,5 := −761459200,6 := 594882560,7 := −175178291,8 := −144721920,9 := 46562509,10 := 196000,11 := 2800.√︀3 3 ()√1 () :=11 3 272/3√︁ (︀)︀3 3 27 11 ()2 − 5519 + 2665√︀2 () :=175 3 ()(3.6)713.3Стратификация Уитни полуаналитических множеств намногообразияхВ предыдущих параграфах этой главы мы рассматривали стратификациюУитни алгебраических множеств из R .