Диссертация (Скачки уплотнения в потоках углекислого газа), страница 7

В случае, когда дефект резонанса равен нулю, распределение (1.5.26) приобретает вид Больцмановского распределения по поступательным и вращательным степеням свободы с температурой T и по колебательным степеням свободы с температурой T1,2,3 .5. Состояние термодинамического равновесия. Наконец, на стадии V RT релаксации, когда учитываются столкновения всех типов, сохраняется толькополная энергия и число частиц. Равновесная функция распределения имеет видfv(0)1 v2 v3 r( ( 2))m3mc= (v2 + 1)sr 3 exp γ0+ εr + εv1 + εv2 + εv3 + γ .h2(1.5.28)Функция распределения (1.5.28) нормирована на полную энергию e и общее число частиц n.

Параметры γ0 и γ определяются из условий нормировки.Учитывая (1.5.7), (1.5.14) и выражение для равновесной колебательнойстатистической суммы()εv1 + εv2 + εv3(v2 + 1) exp −,kT=0v1max v2max v3maxZvibr (T ) =∑∑∑v1 =0 v2 =0 v3(1.5.29)перепишем функцию (1.5.28) в виде распределения()( m )3/2mc2 /2 + εr + εv1 + εv2 + εv3nexp −.=Zrot (T ) Zvibr (T ) 2πkTkT(1.5.30)Данное распределение имеет вид локально равновесного однотемпературного Максвелл-Больцмановского распределения [55, 66].fv(0)1 v2 v3 r39§1.6 Система уравнений релаксационной газодинамики.Приближение идеальной жидкостиДля исследования газодинамических явлений нужно перейти от микроскопического описания движения газа с помощью функций распределения кменее детальному описанию с помощью макроскопических величин.Любые макроскопические параметры газа, как и те параметры, на которые нормированы функции распределения, выражаются через функции распределения.

В §1.3 были выписаны выражения для основных макропараметров газа: массовой ρ и числовой n плотностей и газодинамической скорости ⃗v .Кроме того, для суммарных значений Φ (⃗r, t) (1.3.18) молекулярного признакаφvr (⃗r, ⃗c, t) были записаны макроскопические уравнения (1.3.17).Уравнения переноса молекулярного признака (1.3.17) позволяют получитьуравнения релаксационной газодинамики на каждой стадии релаксации.При выводе уравнений релаксационной газодинамики важным аспектомявляется выбор определяющих макропараметров.

Если выбрать макропараметры в соответствии с аддитивными инвариантами всех молекулярных столк(λ)новений ψvr , то правая часть в уравнении переноса молекулярного признака(1.3.17), согласно интегральной лемме (1.2.6), будет равна нулю:n⟨∆φ⟩ = ∆Ψλ = 0.(1.6.1)Здесь Ψλ определяются выражением (1.5.7).(λ)Если же ψvr являются инвариантами ведущего столкновительного операrapтора Jvr, то (снова используя интегральную лемму)n⟨∆φ⟩ = ∆Ψλ =∑∫(λ) slψvrJvr d⃗c.(1.6.2)vrВ дальнейшем в качестве определяющих макропараметров будем испольrapзовать суммарные значения (1.5.7) аддитивных инвариантов оператора Jvr.Система аддитивных инвариантов столкновений быстрого процесса содержит величины, сохраняющиеся при любом столкновении (таким инвариантом⃗ = m⃗c), а также инварианты наиболее частых столкноявляется импульс p⃗ = ψ(0)вений: ψvr = mc2 /2 + ε̃vr (за ε̃vr обозначена та часть внутренней энергии, которая обменивается с поступательной энергией при столкновениях, описываемых40rapоператорами Jvrна данной стадии релаксации) и не зависящие от скорости(λ)инварианты ψvr , λ = 1, ..., Λ.Согласно (1.3.17), уравнения для среднемассовой скорости ⃗v , энергетической плотности ẽ, включающей наряду с тепловой энергией суммарное значениетех видов энергии, которые обмениваются с поступательной на данной стадии(λ)релаксации, и суммарных значений Ψλ инвариантов ψvr в единице объема имеют общий видd⃗v− ρF⃗ + ∇P = 0;dt(1.6.3)dẽ+ ẽdiv⃗v + div⃗q0 + P : ∇⃗v = ∆ẽ;dt(1.6.4)ρdΨλ+ Ψλ div⃗v + div⃗qλ = ∆Ψλ , λ = 1, ..., Λ.dtУравнения (1.6.5) содержат уравнение:dn+ ndiv⃗v = 0,dtкоторому соответствует уравнение неразрывности(1.6.5)(1.6.6)dρ+ ρdiv⃗v = 0.(1.6.7)dtПараметры Ψλ , λ = 1, ..., Λ являются суммарными значениями дополнительrapных инвариантов оператора Jvr; ∆Ψλ , λ = 0, 1, ..., Λ – изменение суммарногозначения аддитивных инвариантов за счет медленных процессов:∆Ψ0 = ∆ẽ =∆Ψλ =∑∫∑∫(0) slψvrJvr d⃗c,(1.6.8)vr(λ) slψvrJvr d⃗c, λ = 1, ..., Λ.(1.6.9)vrКроме этого, в уравнениях (1.6.3)-(1.6.5) введены следующие обозначения: ⃗qλ – потоки аддитивных инвариантов столкновений (⃗q0 – поток энергии ẽ(тепловой поток)) и P – тензор давлений:41⃗q0 =⃗qλ =∑∫vrP=∑∫(0)d⃗c;⃗cfvr ψvr(1.6.10)(λ)⃗cfvr ψvrd⃗c, λ = 1, ..., Λ;(1.6.11)vr∑∫m⃗c⃗cfvr d⃗c.(1.6.12)vrДля замыкания систем макроскопических уравнений (1.6.3)-(1.6.5) нужнознать потоковые и релаксационные члены (1.6.10), (1.6.11) и (1.6.12) на каждойстадии релаксации.

Их можно найти, например, с помощью модифицированногометода Энскога–Чепмена [12, 53, 55].Подставляя предельные решения (1.5.6) в формулы для потоковых членов(1.6.10)-(1.6.12), можно показать, что в нулевом приближении метода ЭнскогаЧепмена тензор напряжений имеет диагональный вид P = P(0) = pI, как ив идеальной жидкости, а потоки аддитивных инвариантов равны нулю ⃗qλ =(0)⃗qλ = 0, λ = 1, ..., Λ. Здесь I — единичный тензор, а p = nkT — давление.Тогда система уравнений релаксационной газодинамики (1.6.3)-(1.6.5) вобщем виде может быть переписана следующим образомd⃗v1= − ∇p + F⃗ ;dtρ(1.6.13)dẽ+ (ẽ + p)div⃗v = ∆ẽ;dt(1.6.14)dΨλ+ Ψλ div⃗v = ∆Ψλ , λ = 1, ..., Λ.(1.6.15)dtСледует отметить, что на каждой стадии релаксации будет справедливоуравнение (1.6.6).

На стадии RT -релаксации оно является следствием уравнений для nv1 v2 v3 , а на всех последующих стадиях соответствует одному из инва(λ)риантов ψvr = 1.Правые части в уравнениях (1.6.14) и (1.6.15) в нулевом приближенииимеют вид∆ΨΛ =∑∫vr(λ) sl(0)ψvrJvr d⃗c, λ = 0, 1, ..., Λ(1.6.16)42sl(0)Jvr=slJvr(f(0))(1.6.17).Система уравнений (1.6.13)-(1.6.15) описывает течение невязкого нетеплопроводного релаксирующего газа [64, 66].Система уравнений (1.6.13)-(1.6.15) представляет собой замкнутую систему уравнений для скорости ⃗v и плотностей экстенсивных параметров ẽ, n, Ψλ ,λ = 1, ..., Λ.

Для всех этих параметров справедливы соотношения()()∑ ( 2πm )3/2∑3(λ)ẽ = Ψ0 =−(v2 + 1)sr exp γ0 ε̃vr +γλ ψvr−+ ε̃vr ,2γh2γ00vrλ(1.6.18)()∑∑ ( 2πm )3/2(λ)(v2 + 1)sr exp γ0 ε̃vr +γλ ψvr,n=−2γh0vr(1.6.19)λ()∑ ( 2πm )3/2∑(λ)(ν)Ψν =−(v2 + 1)sr exp γ0 ε̃vr +γλ ψvrψvr, ν = 1, ..., Λ.2γh0vrλ(1.6.20)§1.7 Скорость звука на разных стадиях релаксацииСкорость звука является одной из важнейших характеристик при исследованиях потоков газа. В аэродинамике к числу наиболее часто наблюдаемыхявлений относится распространение звука, заключающееся в распространениив газе волн слабого сжатия и разрежения [34]. В изотропных средах скоростьзвука часто отождествляют со скоростью распространения малых возмущений.Скорость звука также является важной величиной при изучении ударноволновых процессов в газах. Ударная волна (скачок уплотнения) — узкий (посравнению с характерными размерами течения) переходный слой, в котором43происходит резкое изменение газодинамических параметров.

Поэтому при изучении релаксационных процессов в ударных волнах важно знать как при этомизменяется скорость звука, и как на ее величину влияют происходящие в газеэнергетические переходы.В данном параграфе мы рассмотрим скорость звука в потоках углекислого газа с физическими процессами, часть которых идет в равновесном режиме, а часть заморожена. Течения углекислого газа будем рассматривать внулевом приближении модифицированного метода Энскога–Чепмена (приближении идеальной жидкости), когда движение происходит с малыми возмущениями скорости, давления и плотности.Если рассмотреть одномерное баротропное движение газа вдоль оси Ox,то из уравнений (1.6.13) и (1.6.7), повторяя известный вывод формулы для скорости звука [34,47,62,69,75], можно получить уравнение для малого возмущенияскорости v ′ :∂ 2v′−∂t2(dpdρ)∂ 2v′= 0,20 ∂x(1.7.1)где (dp/dρ)0 – обыкновенная производная, вычисленная в невозмущенном состоянии газа.Уравнение (1.7.1) представляет собой линейное гиперболическое уравнение.

Как известно [8], общим решением этого уравнения является функция:v ′ = f1 (x − a0 t) + f2 (x + a0 t).(1.7.2)Здесь введено обозначение a20 = (dp/dρ)0 , где a0 – скорость распространениямалых возмущений.Решение (1.7.2) уравнения (1.7.1) складывается из решений, которые соответствуют двум распространяющимся со скоростью a0 в противоположныестороны вдоль оси Ox волнам x − a0 t = c1 = const и x + a0 t = c2 = const.Уравнение (1.7.1) является одномерным волновым уравнением.

Распространение звука является волновым процессом. Поэтому скорость распространениямалых возмущений отождествляется со скоростью звука, и считается, что скорость звука в сжимаемой баротропной среде определяется формулой44√a = a0 =dp.dρ(1.7.3)Индекс ноль опускается, так как формула (1.7.3) верна и в случае как угоднодвижущегося газа, если под величиной a понимать местную скорость распространения малых возмущений.Для адиабатических течений простого баротропного газа, в котором справедлива адиабата Пуассона [10]p= const,ρk(1.7.4)где k – константа (показатель адиабаты), согласно формуле (1.7.3) будем иметь:pa2 = k .ρ(1.7.5)В газе с физико-химическими процессами баротропность часто нарушается, однако, в работах [15, 64] было показано, что формула (1.7.5) сохраняется ив этом случае, но выражение для скорости звука имеет более сложный вид, иdp/dρ – не обыкновенная производная, а отношение полных дифференциаловдавления dp и плотности dρ.

Так как давление и плотность выражаются черезфункции распределения (1.5.6), зависимость этих параметров от координат ивремени осуществляется через γλ (λ = 0, ..., Λ). Поэтому можно записать∑Λdp∂p/∂γλ · dγλa2 == ∑Λλ=0.dρ∂ρ/∂γ·dγλλλ=0(1.7.6)Соответствующие производные были вычислены в [64]. В результате ряда преобразований и использования соотношений p = nkT = −n/γ0 и ρ = nm, где m– масса микрочастиц, формула (1.7.6) была приведена к виду (1.7.5). Однако,коэффициент k при этом не является постоянной величиной, а определяетсявыражением [15, 64]:k=1det(Ψ0 + pdet0 +nΛ∑Ψλλ=1n)detλ ,(1.7.7)где определитель det состоит из элементов ∂Ψν /∂γλ и соответствует якобиануперехода от экстенсивных параметров Ψ0 , Ψ1 , ..., ΨΛ к сопряженным интенсив-45ным параметрам γ0 , γ1 , ..., γΛ : ∂Ψν ;det = ∂γλ (1.7.8)определитель detλ соответствует определителю (1.7.8), в котором столбец производных по γλ заменен столбцом коэффициентов при div⃗v в уравнениях(1.6.14), (1.6.15).Аналитическое выражение (1.7.5) для скорости звука в газе с внутренними степенями свободы имеет такой же вид как и в случае простого газа, нокоэффициент k не является константой, а зависит от интенсивных параметровγλ (λ = 0, 1, ..., Λ) и вычисляется по формуле (1.7.7).Формулы (1.7.5) и (1.7.7) позволяют оценить влияние различных видоввнутренней энергии на коэффициент k и скорость звука a.

Далее на основанииэтих формул будут исследованы значения коэффициента k и зависимость скорости звука от температуры в углекислом газе на разных стадиях релаксации.1. Стадия поступательно-вращательной релаксации. На этапе завершения этой стадии релаксации функции распределения имеют вид (1.5.11) или(1.5.12).Система аддитивных инвариантов будет состоять из поступательновращательной энергии (1.5.8) и заселенностей колебательных уровней (1.5.9).Макропараметрами, соответствующими аддитивным инвариантам столкновений на данной стадии, будут Ψ0 = eRT и Ψv1 v2 v3 = nv1 v2 v3 .Учитывая выражение (1.6.18) для энергии и (1.6.19) для числа частиц,можем записать:5ẽ = nkT.(1.7.9)2Здесь учтено, что вращательная энергия рассматривается классически:∑r( ε )rεr exp −= kT Zrot (T ) .kT(1.7.10)Используя эти формулы и проводя простые математические вычисленияпо формуле (1.7.7) получим, что k не зависит от температуры и равен 7/5 или1, 4.Это значение совпадает с известным результатом, полученным ранее по46формуле (см.