Диссертация (Скачки уплотнения в потоках углекислого газа), страница 10

Однако, на этот раз правые части в уравнениях (2.2.3)-(2.2.5),(2.2.7)-(2.2.9) и (2.2.11) вычисляются с помощью (2.2.12).3. Энергетическая накачка на 3 моду. Наконец рассмотрим ситуацию, когда за счет энергетической накачки распределение энергии третьеймоды стало соответствовать температуре T ∗ .После завершения накачки на третью моду функция распределения имеетвид:fv(0)1 v2 v3 r(( 2))m3(0) mc= (v2 + 1)sr 3 exp γ0+ εr + εv1 + εv2 + γ ∗ εv3 + γ1 .

(2.2.13)h2Легко видеть, что переход к состоянию равновесия после накачки на третьюмоду включает только 2 стадии: 1) релаксацию за счет V V ′(2−3) и V V ′(1−2−3)переходов и 2) процесс перехода к состоянию термодинамического равновесия.Функция распределения и условия нормировки на стадиях V V ′(2−3) иV V ′(1−2−3) определяются, соответственно, формулами (2.2.6) и (2.2.7)-(2.2.9),а на стадии V RT – (2.2.10) и (2.2.11). В отличие от двух предыдущих случаевправые части в уравнениях (2.2.7)-(2.2.9) и (2.2.11) выражаются через функцию(2.2.13).§2.3 Метод НьютонаВ предыдущем параграфе были выписаны условия нормировки, справедливые на этапах завершения релаксационных стадий после энергетической накачки на первую, вторую и третью колебательные моды.

Эти условия соответствуют алгебраическим уравнениям. Задача определения интенсивных параметров γλ , λ = 0, 1, ..., Λ после завершения каждой стадии релаксации сводится60к решению систем алгебраических уравнений относительно некоторого наборанеизвестных величин. Этих неизвестных ровно столько, сколько уравнений.Для решения подобных систем используется численный метод – методНьютона (метод касательных) [5].Метод Ньютона - итерационный метод.

Суть этого метода заключается впостроении приближенного решения с нужной степенью точности.По методу Ньютона система уравнений, которую необходимо решить,представляется в видеFi (x1 , ..., xI ) = 0, i = 1, ..., I.(2.3.1)Для начала выбираем начальное приближение {x01 , ..., x0I }. Следующееприближение {x11 , ..., x1I } представляется следующим образом:x1i = x0i + ∆x1i , i = 1, ..., I.(2.3.2)Приращение ∆x находится при решении системы уравнений, получаемойпутем разложения функций (2.3.1) в ряд Тейлора [73] в окрестности нулевогоприближения и отбрасывания членов, содержащих ∆xni при n ≥ 2:I∑∂Fi· ∆xl = 0, i = 1, ..., I.Fi (x01 , ..., x0I ) +∂xl {x01 ,...,x0 }l=1(2.3.3)IСоотношения (2.3.3) можно переписать в видеI∑( 0)∂Fi 10·∆x=−Fx,...,xil1I , i = 1, ..., I,∂xl {x01 ,...,x0 }l=1(2.3.4)Iи рассматривать как систему I линейных уравнений относительно I неизвестных ∆x1l .При этом∆x1l =det, l = 1, ..., I,detl(2.3.5)гдеD (F1 , ..., FI ) det ==JD (x1 , ..., xI ) {x01 ,...,x0 }I(2.3.6)61— Якобиан перехода от функций Fi (i = 1, ..., I) к неизвестным xl (l =1, ..., I), вычисленный при значениях {x01 , ..., x0I }; detl соответствует определителю (2.3.6), в котором l-й столбец (столбец производных по xl ) заменен столбцомсвободных членов (столбцом значений функций Fi (x01 , ..., x0I )).Подставляя (2.3.5) в (2.3.2), получим первое приближение x11 , ..., x1I .(1)(1)После вычислений функций Fi (x1 , ..., xI ) можно определить, удовлетворяют ли эти функции системе (2.3.1) с нужной степенью точности ε.

Если всеэти функции удовлетворяют соотношениям(1)(1) Fi (x1 , ..., xI ) ≤ ε, i = 1, ..., I,(2.3.7)то можно считать, что решение найдено.Если приближение {x11 , ..., x1J } не удовлетворяет исходной системе уравнений (2.3.1) с нужной степенью точности, то вся процедура решения повторяется с новым начальным приближением (2.3.2).

Действуя таким образом, можнонайти решение системы трансцендентных уравнений (2.3.1) с любой степеньюточности.Корректность применения этого метода зависит от значения Якобианасистемы уравнений (2.3.1) в любом приближении.В [67] было показано, что Якобианы систем, левые части которых содержат макропараметры, выраженные через функции распределения вида (1.5.6),являются якобианами перехода от экстенсивных к сопряженным интенсивнымпараметрам. Такие Якобианы отличны от нуля [67]. Следовательно, метод Ньютона может быть применен для решения этих уравнений.В настоящей работе решение систем (2.3.1) определялось с точностью доε ≈ 10−4 .Скорость сходимости метода Ньютона зависит от удачного выбора начального приближения.

При решении выписанных ранее уравнений начальноеприближение выбиралось с учетом физического смысла искомых параметров.Это позволило получить решения, за 5 − 9 итераций.62§2.4 РезультатыВ данной главе рассматриваются разные стадии релаксационных процессов, в начале которых наблюдаются различные нарушения равновесия за счетэнергетической накачки на одну из колебательных мод молекул CO2 .Исследуется влияние начальной температуры газа и температуры накачки на распределения колебательной энергии, которые формируются на промежуточных и завершающей (равновесной) стадиях релаксации.

Вычисляютсязначения промежуточных и завершающих параметров в процессах релаксации.Определяются зависимости этих параметров от начальной температуры газа T0и температуры накачки T ∗ на разные колебательные моды.Параметры газа на этапах завершения соответствующих стадий релаксации после энергетической накачки на каждую из мод определяются из условий нормировки, выписанных в §2.2. Для каждой из стадии соответствующиеусловия представляют собой системы алгебраических уравнений, причем числонеизвестных равно числу уравнений в этих системах.Для каждой стадии релаксации при накачке на каждую из мод соответствующие системы уравнений были решены с использованием метода Ньютона,описанного в предыдущем параграфе. В результате были получены значенияпараметров газа на всех стадиях релаксации.При вычислениях использовались постоянные из таблиц 1 и 2.

Начальнаятемпература газа T0 и температура накачки T ∗ изменялись от 300 до 1500K.Результаты расчетов для последовательности релаксационных процессов,которые осуществляются условиях энергетического воздействия на отдельныевиды колебательной энергии, продемонстрированы на рис. 5-10.На рис.

5 представлена зависимость температуры газа T от температурынакачки T ∗ на первую моду на этапах завершения разных стадий релаксациипри различных значениях температуры T0 : кривые с номером 1 при T0 = 300K;с номером 2 – T0 = 600K; с номером 3 – T0 = 900K; с номером 4 – T0 = 1200K.63140041200441200310003800T, KT, K4310002380026002600214001400120020040060080010001200140012002001600400600T*, K8001000120014001600T*, KНакачка на 1 модуНакачка на 2 моду41200410003T, K380026002400112002004006008001000120014001600T*, KНакачка на 3 модуРис.

5. Температура газа T в зависимости от температуры накачки T ∗ на разные моды приразных температурах T0 : кривые с номером 1 соответствуют T0 = 300K; с номером 2 –T0 = 600K; с номером 3 – T0 = 900K; с номером 4 – T0 = 1200K. Кривые а) соответствуютзавершению стадий V V ′ -релаксации; кривые б) – состоянию термодинамического равновесия.На этапах завершения стадий V V ′ -релаксации температура T не зависитот температуры накачки (см. кривые а) и, как следовало ожидать, практически равна начальной температуре газа.

В случае энергетической накачки напервую и вторую моду изменения начальной температуры не превосходят 1%.В случае накачки на третью моду при значениях T ∗ ≥ 1200K температура газавозрастает на величину до 8%. Таким образом, поскольку околорезонансныемежмодовые колебательные обмены практически изолированы, они не оказывают влияния на температуру газа.В состоянии термодинамического равновесия во всех случаях температурагаза сильно зависит как от температуры накачки, так и от начальной темпера-64туры газа.На рис.

6 представлена зависимость температуры газа T от начальнойтемпературы T0 после энергетической накачки с T ∗ = 1500K на разные колебательные моды на этапе завершения стадии V RT -релаксации16001400T, K120010008006004002002134006008001000120014001600T , K0Рис. 6. Температура газа T в зависимости от начальной температуры T0 после энергетическойнакачки с T ∗ = 1500K на разные колебательные моды в состоянии термодинамическогоравновесия. Кривая 1 соответствует накачке на первую моду; кривая 2 – на вторую моду;кривая 3 – на третью моду.После завершения накачки газ приходит к новому состоянию равновесияс температура газа выше начальной температуры T0 , причем разница междуними увеличивается с ростом температуры накачки T ∗ . V RT -переходы оказывают сильное влияние на температуру.В случае накачки на вторую моду наблюдаются наибольшие изменениятемпературы, она возрастает более чем в два раза при T0 = 300K И T ∗ =1500K.

Влияние V RT -обменов снижает при уменьшении разницы между этимитемпературами.В случае энергетического воздействия на третью моду изменения температуры не превосходят 35%. Изменения температуры самые слабые, они значительно меньше по сравнению с накачкой во вторую моду.На рис. 7 представлена зависимость колебательной температуры T1,2 оттемпературы накачки T ∗ на разные колебательные моды (рис. 7а – накачка напервую моду; рис. 7б – накачка на вторую моду) для различных начальныхтемператур газа T0 .651600160014001400441000800800600400400120020040032260010001,23TT, K12001,2, K120060080010001200140020020016001400600800T*, K1000120014001600T*, Kа) Накачка на 1 модуа) Накачка на 2 модуРис.

7. Температура T1,2 в зависимости от температуры накачки T ∗ на разные колебательныемоды при разных начальных температурах газа T0 . Кривые 1 соответствуют T0 = 300K; 2 –T0 = 600K; 3 – T0 = 900K; 4 – T0 = 1200K.Значения температуры T1,2 монотонно возрастают как с ростом начальнойтемпературы газа, так и с ростом температуры накачки. В случае воздействияна вторую моду температура T1,2 выше, разница между ними может достигать40%.На рис. 8 представлена зависимость T1,2 от температуры T0 при различныхтемпературах накачки T ∗ на первую (рис. 8а) и вторую (рис. 8б) колебательнуюмоду.160016004414001400280060010002800600140020020031,2, K1000TT120031,2, K1200140040060080010001200T , K0б) Накачка на 1 моду140016002002004006008001000120014001600T , K0б) Накачка на 2 модуРис.