Вопросы и задачи к экзамену по МА, страница 5

Докажите,чтоеслифункцииf (x )x0 ,x0 ,5.7. Объясните, в каком месте нарушится ход доказательства первой теоремы Вейерштрасса, если вусловии теоремы заменить "сегмент" на "интервал".5.8. Приведите пример функции f (x ) , непрерывной и ограниченной на промежутке [a; +∞) , котораяне достигает своей точной верхней грани на этом промежутке.5.9. Докажите, что функция f (x ) = x равномерно непрерывна на полупрямой (0;+∞) .5.10. Докажите, что функция f (x ) = arctg 3 x равномерно непрерывна на полупрямой (0;+∞) .5.11. Докажите, что если функция f (x ) определена и непрерывна на полупрямой [ 0;+∞) иlim f (x ) = 0 , то f (x ) равномерно непрерывна на этой полупрямой.x →∞5.12. Пусть функция f (x ) непрерывна на полупрямой [a; +∞) , ∃ lim f (x ) = b и f (a ) = b .

Докажите,x →+∞что функция достигает своих точных граней на этой полупрямой.Тема 6. Исследование поведения функций и построение их графиков.1. Определения.Сформулируйте определение:1.1. точки локального максимума (минимума) функции f (x ) ;1.2. направления выпуклости графика функции y = f (x ) ;1.3. точки перегиба графика функции y = f (x ) ;1.4. наклонной асимптоты графика функции y = f (x ) ;1.5. вертикальной асимптоты графика функции y = f (x ) .2. Основные теоремы (без доказательства)Сформулируйте теорему:2.1. о необходимом условии локального экстремума дифференцируемой функции в данной точке;2.2.

о достаточных условиях локального экстремума дифференцируемой функции в окрестностиданной точки;2.3. о достаточных условиях локального экстремума дважды дифференцируемой функции в даннойточке;172.4. о необходимых и достаточных условиях существования наклонной асимптоты графика функцииy = f (x ) при x → +∞ ;2.5. о необходимом условии перегиба графика дважды непрерывно дифференцируемой функции вданной точке;2.6.

о достаточных условиях перегиба графика функции в данной точке, использующих вторуюпроизводную функции;2.7. о достаточных условиях перегиба графика функции в данной точке, использующих третьюпроизводную функции.3. Теоремы с доказательством.Докажите теорему:3.1. о необходимом условии локального экстремума дифференцируемой функции в данной точке;3.2.

о достаточных условиях локального экстремума дифференцируемой функции в окрестностиданной точки;3.3. о достаточных условиях локального экстремума дважды дифференцируемой функции в даннойточке.3.4. Докажите, что если f ′′ (x ) < 0 на интервале (a;b ) , то график функции y = f (x ) на этом интерваленаправлен выпуклостью вверх.3.5.

Докажите, что если f ′′ (x ) > 0 на интервале (a;b ) , то график функции y = f (x ) на этом интерваленаправлен выпуклостью вниз.Докажите теорему:3.6. о необходимом условии перегиба графика дважды непрерывно дифференцируемой функции вданной точке;3.7. о достаточных условиях перегиба графика функции в данной точке, использующих вторуюпроизводную функции;3.8. о достаточных условиях перегиба графика функции в данной точке, использующих третьюпроизводную функции;.4. Вопросы и задачи.4.1.

Найдите промежутки возрастания и убывания функции,точки локального экстремума,промежутки сохранения направления выпуклости, точки перегиба графика функции f ( x ) , а такженарисуйте эскиз графика функции f ( x ) :в) f (x ) = xe −x ;а) f (x ) = x 3 − 6x 2 + 9 ;б) f (x ) = x ln x ;г) f (x ) = x /(1 − x 2 ) .4.2. Найдите наклонные асимптоты графика функции f ( x ) :а) f (x ) = x arctg x ;г) f (x ) = x 2 + x ;x +1sin xб) f (x ) = x ln;(x ) =д).fxxx +1в) f (x ) = x 2 ln;x4.3.

Для функции y = f (x ) , заданной параметрически уравнениями x = a cos t, y = b sin t , 0 ≤ t ≤ π ,πзапишите уравнения касательной и нормали к графику функции в точке, соответствующей: а) t = ;4πб) t = .24.4. Для функции y = f (x ) , заданной параметрически уравнениями x = t − sin t, y = 1 − cos t ,π0 ≤ t ≤ 2π , запишите уравнения касательной и нормали к графику функции при: а) t = ; б) t = π .45.

Задачи повышенной трудности.185.1.Докажите, что если функция f (x ) определена и непрерывна на полупрямой [ 0;+∞) и еёграфик имеет наклонную асимптоту при x → +∞ , то f (x ) равномерно непрерывна на этой полупрямой.19.