Вопросы и задачи к экзамену по МА

Вопросы и задачи к экзамену по математическому анализуI семестр, 2011-2012 г.Тема 1. Числовые множества и последовательности1. Определения.Сформулируйте определение:1.1. ограниченного множества вещественных чисел;1.2. ограниченного сверху множества вещественных чисел;1.3. ограниченного снизу множества вещественных чисел;1.4. неограниченного множества вещественных чисел;1.5. неограниченного сверху множества вещественных чисел;1.6. неограниченного снизу множества вещественных чисел;1.7. окрестности данной точки;1.8. ε - окрестности данной точки;1.9. проколотой окрестности данной точки;1.10. предельной точки числового множества;1.11.

верхней грани числового множества;1.12. нижней грани числового множества;1.13. точной верхней грани числового множества;1.14. точной нижней грани числового множества;1.15. числовой последовательности1.16. ограниченной последовательности;1.17. неограниченной последовательности;1.18. монотонной последовательности;1.19. предела последовательности;1.20. бесконечно малой последовательности;1.21. бесконечно большой последовательности;1.22. фундаментальной последовательности;1.23. подпоследовательности данной последовательности;1.24.

предельной точки последовательности (два определения);1.25. верхнего предела последовательности;1.26. нижнего предела последовательности.2. Основные теоремы (без доказательства)Сформулируйте2.1. теорему о пределе суммы, разности, произведения и частного двух последовательностей;2.2. теорему о «двух милиционерах»;2.3. теорему о пределе монотонной ограниченной последовательности;2.4. теорему о вложенных отрезках;2.5. теорему Больцано-Вейерштрасса;2.6.

критерий Коши сходимости последовательности.3. Теоремы с доказательством.3.1. Докажите, что сходящаяся последовательность имеет только один предел.3.2. Докажите, что сходящаяся последовательность ограничена.3.3. Сформулируйте и докажите теоремы о пределах суммы, разности, произведения и частного двухпоследовательностей.3.4. Докажите теорему о «двух милиционерах».3.5. Пусть lim an = a . Докажите, что любая подпоследовательность {ank } сходится к a.n →∞3.6.

Докажите, что неубывающая ограниченная сверху последовательность имеет предел.3.7. Докажите, что невозрастающая ограниченная снизу последовательность имеет предел.3.8. Докажите теорему о вложенных отрезках.3.9. Докажите теорему Больцано-Вейерштрасса.3.10. Докажите, что фундаментальная последовательность является ограниченной.3.11.

Докажите, что сходящаяся последовательность является фундаментальной.13.12. Докажите, что фундаментальная последовательность является сходящейся.4. Вопросы и задачи.4.1. Приведите примеры ограниченного и неограниченного множеств вещественных чисел.n4.2. Докажите неравенство Бернулли: (1 + x ) ≥ 1 + nx при x ≥ −1 и n ∈ .4.3. Сформулируйте отрицание к определению ограниченной последовательности.4.4. Сформулируйте отрицание к определению "Число b называется пределом последовательности".4.5. Сформулируйте отрицание к определению бесконечно малой последовательности.4.6. Сформулируйте отрицание к определению бесконечно большой последовательности.4.7.

Сформулируйте отрицание к определению фундаментальной последовательности.n4.8. Докажите, что последовательность x n = (1 + 1/ n ) – возрастающая.n +14.9. Докажите, что последовательность x n = (1 + 1/ n )– убывающая.n4.10. Докажите, что последовательность x n = (1 + 1/ n ) сходится.4.11. Пусть {an }-бесконечномалаяпоследовательность,a n ≠ 0 ∀n ∈.Докажите,что{ }последовательность 1 an - бесконечно большая.{ }4.12. Пусть {an } - бесконечно большая последовательность. Докажите, что последовательность 1 anопределена, начиная с некоторого номера n , и является бесконечно малой.114.13. Пусть lim an = a, a ≠ 0 .

Докажите, что lim= .n →∞ an →∞an4.14. Пусть последовательность {x n } сходится, а последовательность {yn } расходится. Что можносказать о сходимости последовательности {x n + yn } ? Ответ обоснуйте.4.15. Пусть последовательность {x n } расходится и последовательность {yn } расходится. Что можносказать о сходимости последовательности {x n + yn } ? Ответ обоснуйте.4.16. Пусть последовательность {x n } сходится, а последовательность {yn } - расходится. Что можносказать о сходимости последовательности {x n ⋅ yn } ? Ответ обоснуйте.4.17. Пусть последовательность {x n } расходится и последовательность {yn } расходится.

Что можносказать о сходимости последовательности {x n ⋅ yn } ? Ответ обоснуйте.4.18. Пусть последовательность {x n } сходится, а последовательность {yn } расходится. Что можно{}сказать о сходимости последовательности x n yn ? Ответ обоснуйте.4.19. Пусть последовательность {x n } расходится и последовательность {yn } расходится. Что можно{}сказать о сходимости последовательности x n yn ? Ответ обоснуйте.4.20.

Докажите, что если lim x n = a , то lim x n = a .n →∞n →∞4.21. Известно, что lim x n = a . Докажите, что lim (x n +1 − x n ) = 0 .n →∞n →∞n4.22. Известно, что lim x n = a . Докажите, что lim (x n +1 − x n ) = 0 .n →∞n →∞4.23. Известно, что lim x n = a . Докажите, что lim x n2 = a 2 .n →∞n →∞4.24. Пусть, начиная с некоторого номера, x n ≥ yn и lim yn = +∞ . Докажите, что lim x n = +∞ .n →∞n →∞4.25.

Пользуясь определением предела последовательности, докажите что:n3(−1)n 2 sin n 2n= 0.= 0 ; б) lim (0.8) = 0 ; в) limn →∞n→∞n →∞nn +1а) lim4.26. Исследуйте вопрос о сходимости последовательности x n =nα − 12n 2 + n + 1параметра α.n2 + n − n2 − n4.27. Найдите: а) lim;n →∞nn(−2) + 3nб) lim;n +1n →∞ (−2)+ 3n +123n⎛2⎞в) lim ⎜⎜1 + ⎟⎟ .n →∞ ⎝n⎠в зависимости от4.28. Докажите, что последовательности являются бесконечно большими:nа) an = n ; б) an = (−1) ⋅ n4.29. Докажите, что последовательность{(1 + (−1)n ) n }неограниченная, однако не являетсябесконечно большой.4.30. Сформулируйте отрицание к определению "Число b называется предельной точкойпоследовательности", используя понятие подпоследовательности.4.31.

Сформулируйте отрицание к определению "Число b называется предельной точкойпоследовательности", используя понятие окрестности.4.32. Приведите пример последовательности, у которой есть одна предельная точка, нопоследовательность не является сходящейся.4.33. Приведите пример последовательности, у которой ровно две предельные точки.4.34. Докажите, что монотонная неограниченная последовательность не имеет предельной точки.4.35. Найдите все предельные точки данной последовательности {x n } , а также lim x n , lim x n :n →∞n →∞2πnг) x n = cosn;3д) x n = sin (πn / 2 + 1/ n ) .nа) x n = (−1) ;nn(−1)1 + (−1)б) x n =+;n2n −12πnв) x n =;cosn +135.

Задачи повышенной трудности.5.1. Докажите, что из любой неограниченной последовательности можно выделить бесконечнобольшую подпоследовательность.5.2. Докажите сходимость последовательности {x n } и вычислите ее предел, если1⎛a⎞а) x 1 - произвольное положительное число, x n +1 = ⎜⎜x n + ⎟⎟⎟ ∀n ≥ 1, a > 0 .2 ⎜⎝x n ⎠⎟3, x n +1 = 3x n − 2 .25.3.

Найдите все предельные точки последовательности 1;1/ 2;1;1/ 2;1/ 3;1;1/ 2;1/ 3;1/ 4... (обоснуйтеответ).ln n5.4. Не пользуясь правилом Лопиталя, докажите, что последовательность x n = α при α > 1nявляется бесконечно малой.na5.5. Не пользуясь правилом Лопиталя, докажите, что последовательность x n = n при любом a иbb > 1 является бесконечно малой.б) x 1 =bn5.6. Докажите, что ∀b lim= 0.n →∞ n !n!5.7. Докажите, что lim n = 0 .n →∞ n5.8.

Докажите, что последовательность x n =bnпри любом α и при b > 1 является бесконечноnaбольшой.ln n= 0.n →∞ n5.10. Докажите, что последовательность x n = n n − 1 является бесконечно малой.a + a2 + ... + an5.11. Пусть lim an = a , bn = 1. Докажите, что lim bn = a .n →∞n →∞n5.12. Пусть lim an = a , bn = n a1 ⋅ a2 ⋅ ... ⋅ an . Докажите, что lim bn = a .n →∞n →∞n5.13. Вычислите lim n.n →∞n!5.9. Докажите, что lim31= 0.n!5.15.

Приведите пример последовательности с бесконечным числом предельных точек.5.14. Докажите, что limn →∞ nТема 2. Предел и непрерывность функции.1. Определения.Сформулируйте определение:1.1. ограниченной на множестве X функции;1.2. ограниченной сверху на множестве X функции;1.3. ограниченной снизу на множестве X функции;1.4.неограниченной на множестве X функции;1.5. неограниченной сверху на множестве X функции;1.6. неограниченной снизу на множестве X функции;1.7.

верхней грани функции на множестве X;1.8. нижней грани функции на множестве X;1.9. точной верхней грани функции на множестве X;1.10. точной нижней грани функции на множестве X;1.11. монотонной на промежутке функции;1.12. предела функции f (x ) в точке x = a “по Коши”;1.13. предела функции f (x ) при x → a + 0 “по Коши”;1.14. предела функции f (x ) при x → a − 0 “по Коши”;1.15.

предела функции f (x ) при x → +∞ “по Коши”;1.16. предела функции f (x ) при x → −∞ “по Коши”;1.17. предела функции f (x ) в точке x = a “по Гейне”;1.18. предела функции f (x ) при x → +∞ “по Гейне”;1.19. предела функции f (x ) при x → −∞ “по Гейне”;1.20.f (x ) → +∞ при x → a "по Коши";1.21. f (x ) → +∞ при x → a − 0 "по Коши";1.22. f (x ) → +∞ при x → +∞ "по Коши";1.23. f (x ) → +∞ при x → −∞ ;"по Коши";1.24.