Вопросы и задачи к экзамену по МА, страница 3

Докажите достаточность.x →+∞⎧⎪0, x −иррац.5.10. Докажите, что функция Дирихле D(x ) = ⎪не имеет предела ни в одной точке.⎨1, x −рац.⎪⎪⎩5.11. Пусть функция f (x ) определена на [a;b ] , f (a ) ⋅ f (b) < 0 и уравнение f (x ) = 0 не имеет корнейна (a, b ) . Докажите, что функция f (x ) не является непрерывной на [a;b ]5.12. Пусть функция f (x ) определена на [a;b ] и ∃c ∈ ( f (a ); f (b)) такое, что уравнение f (x ) = c неимеет корней на (a, b ) . Докажите, что функция f (x ) не является непрерывной на [a;b ] .5.13.

Докажите, что если функция f (x ) непрерывна в точке x = a , и в любой окрестности точки aнайдутся точки x 1 и x 2 такие, что f (x 1 ) ⋅ f (x 2 ) < 0 , то f (a ) = 0 .5.14. Докажите, что если f (a ) > 0 и ∀δ > 0 ∃x такое, что 0 < x − a < δ и f (x ) < 0 , то функция f (x )разрывна в точке x = a .5.15.

Приведите пример функций∃ lim ( fx →af (x ) и g (x ) , для которых∃ lim f (x ) и ∃ lim g (x ) , ноx →ax →a(x ) + g (x )) .5.16. Пусть функция y = f (x ) определена и монотонна на некотором промежутке и пусть для любойточки c из этого промежутка ∃ lim f (x ), ∃ lim f (x ) , причем эти пределы равны друг другу. Докажите,x →c −0x →c +0что функция f (x ) непрерывна на указанном промежутке.Тема 3. Производные и дифференциалы функции.1.

Определения.Сформулируйте определение:1.1. производной функции f (x ) в данной точке;81.2. правой производной функции f (x ) в данной точке;1.3. левой производной функции f (x ) в данной точке;1.4. производной вектор-функции в данной точке;1.5. дифференцируемой в данной точке функции;1.6. функции f (x ) , дифференцируемой на множестве;1.7. касательной к графику функции y = f (x ) в точке (x 0 , f (x 0 )) и запишите уравнение касательной;1.8. дифференциала функции в данной точке;1.9. n -ной производной функции f (x ) в данной точке;1.10. n раз дифференцируемой функции f (x ) в данной точке;1.11. бесконечно дифференцируемой функции f (x ) в данной точке;1.12. n -ной производной вектор-функции в данной точке;1.13.

n -ного дифференциала функции в данной точке.2. Основные теоремы и формулы (без доказательства)Сформулируйте:2.1. достаточное условие существования касательной к графику функции y = f (x ) в точке (x 0 , f (x 0 )) ;2.2. теорему о производных суммы, разности, произведения и частного двух функций;2.3. теорему о производной сложной функции;2.4. теорему о производной обратной функции.Запишите:2.5. формулы дифференциалов суммы, разности, произведения и частного двух функций;2.6.

формулу для производной функции, заданной параметрически;2.7. формулу n -ной производной произведения двух функций.3. Теоремы с доказательством.Докажите теорему3.1. о производных суммы, разности, произведения и частного двух функций;3.2. о производной сложной функции;3.3. о производной обратной функции.3.4. Выведите формулу производной функции, заданной параметрически.4. Вопросы и задачи.4.1. Докажите, что если ∃f ′ ( x 0 ) , то f ( x 0 + Δx ) = f ( x 0 ) + f ′ ( x 0 ) Δx + o ( Δx ) при Δx → 0 .4.2. Докажите, что если существует число A такое, что f ( x 0 + Δx ) = f ( x 0 ) + A ⋅ Δx + o ( Δx ) приΔx → 0 , то ∃f ′ ( x 0 ) и f ′ ( x 0 ) = A .4.3.

Пользуясь определением производной, выведите формулы производных функций:а) x n , n ∈ ; б) sin x ; в) cos x ; г) loga x ; д) a x .4.4. Пользуясь теоремой о производных суммы, разности, произведения и частного двух функцийвыведите формулы для производных функций:а) tg x ; б) ctg x ; в) sh x ; г) ch x ; д) th x ; е) cth x .4.5. Пользуясь теоремой о производной сложной функции, выведите формулу для производнойфункции x α , α ∈ .4.6. Пользуясь определением производной, найдите производную функции в данной точке:а) y = x в точке x = 4 ; б) y = x x в точке x = 0 .4.7.

Найдите односторонние производные f ′ (x 0 + 0) и f ′ (x 0 − 0) функции:а) f (x ) = x , x 0 = 0; x 0 = 1 ;б) f (x ) = x sgn x , x 0 = 0 ;в) f (x ) = x 2 sgn x , x 0 = 0 ;г) f (x ) = x − 1 e x , x 0 = 1 .4.8. Найдите первые производные и первые дифференциалы функций:б) y = sin2 (cos x ) + cos2 (sin x )а) y = x + x + x ;92в) y = e x cos 2x ;г) y = x sin x ;xxд) y = ee + x e ;е) y = ln 3 (ln2 (ln x )) ;(з) y =1 1−x;+ ln2 1+x1−xarcsin x2()и) y = ln e x + 1 + e 2x ;к) y = sin x cos x .)ж) y = arctg x + 1 + x 2 ;⎧ f (x ), x ≤ x 0⎪4.9.

Пусть F, где функция f (x ) дифференцируема слева в точке x = x 0 . При=⎪⎨⎪axb,xx+>0⎪⎩каком выборе коэффициентов a и b функция F (x ) будет дифференцируемой в точке x 0 ?⎧ 1 , x > 2,⎪4.10. При каких значениях a и b функция f ( x ) = ⎨ xявляется дифференцируемой на⎪a + bx 2 , x < 2⎩всей числовой прямой?(x )4.11. Докажите, что если существует дифференциал функции f (x ) в точке x 0 , тоf (x 0 + Δx ) − f (x 0 )= f ′ (x 0 ) + α (Δx ) при Δx ≠ 0 , где α (Δx ) - бесконечно малая функция приΔxΔx → 0 .4.12.

Докажите, что если существует дифференциал функции f (x ) в точке x = x 0 , то существуетf (x 0 + Δx ) − f (x 0 )число А такое, что= A + α (Δx ) при Δx ≠ 0 , где α (Δx ) - бесконечно малаяΔxфункция при Δx → 0 .4.13. Найдите дифференциалы n-го порядка функции f (x ) :в) f (x ) = xe 5x , n = 11 ;а) f (x ) = ln(x 2 + x ) ;x −1б) f (x ) = x 2 sin 2x , n = 20 ;г) f (x ) =, n = 8.x +14.14.

Используя теорему о производной обратной функции, выведите формулу для производнойфункции f (x ) :а) f (x ) = arcsin x ;б) f (x ) = arctg x ;в) f (x ) = ln x .4.15. Найдите производную n-го порядка функции f (x ) :а) f (x ) = x ln x , n = 20 ;е) f (x ) = x 2e x , n = 100 ;б) f (x ) = x , n = 30 ;ж) f (x ) = x 2 sin x , n = 200 ;в) f (x ) = xe x , n = 30 ;з) f (x ) = x cos x , n = 60 ;г) f (x ) = 1/ x , n = 40 ;и) f (x ) = x 2 cos x , n = 71 .д) f (x ) = x sin x , n = 12 ;5. Задачи повышенной трудности.5.1.

Используя теорему о производной сложной функции и тождество f ( f −1(x )) = x , выведитеформулу производной обратной функции.1⎧⎪⎪⎪x ⋅ (1 + x )x , x ≠ 0,5.2. Докажите, что функция f (x ) = ⎨имеет производную в точке x = 0 и⎪⎪0,x =0⎪⎩найдите её значение.⎪⎧⎪x x +1, x > 0,5.3. Докажите, что функция f (x ) = ⎨имеет правую производную в точке x = 0 и⎪⎪0,x =0⎪⎩найдите её значение.105.4.

Докажите, что функция2⎧⎪2 ctg x,⎪⎪x ⋅ (1 − x )f (x ) = ⎨⎪⎪0,⎪⎩x ≠ 0,x =0имеет производную в точке x = 0 инайдите её значение.5.5. Докажите, что функция⎧x 1−2x ,⎪f (x ) = ⎪⎨⎪0,⎪⎪⎩найдите её значение.5.6. Докажите, что функцияf(x )1+⎧⎪⎪x=⎨⎪0,⎪⎪⎩2xx > 0,x =0,x > 0,x =0имеет правую производную в точке x = 0 иимеет правую производную в точке x = 0 инайдите её значение.⎧1⎪⎪x 2 sin , x ≠ 0,⎪x5.7.

Пусть f (x ) = ⎨. Докажите, что ∃ f ′ (x ) при x ≠ 0 , ∃ f ′ (0) , но ∃ lim f ′ (x ) .x →0⎪⎪0,x0.=⎪⎩1⎧⎪ 2⎪⎪x cos , x ≠ 0,x5.8. Пусть f (x ) = ⎨. Докажите, что ∃ f ′ (x ) при x ≠ 0 , ∃ f ′ (0) , но ∃ lim f ′ (x ) .x →0⎪⎪0,=x0.⎪⎩⎧⎪ 31⎪⎪x cos 2 , x ≠ 0,x5.9. Пусть f (x ) = ⎨. Докажите, что ∃ f ′ (x ) при x ≠ 0 , ∃ f ′ (0) , но ∃ lim f ′ (x ) .x →0⎪⎪0,=x0.⎪⎩1⎧⎪ 3⎪⎪x sin 2 , x ≠ 0,x5.10. Пусть f (x ) = ⎨. Докажите, что ∃ f ′ (x ) при x ≠ 0 , ∃ f ′ (0) , но ∃ lim f ′ (x ) .x →0⎪⎪0,=x0.⎪⎩⎛ − 1 ⎞⎟⎪⎧⎪ 2xsin⎪⎜⎜⎜e x ⎟⎟⎟, x ≠ 0,⎪⎝ ⎠5.11.

Пусть f (x ) = ⎨. Докажите, что ∀x ∃ f ′ (x ) , ∃ lim f ′ (x ) . Найдите f ′ (0) .x →0⎪⎪x =00,⎪⎪⎩⎧⎪ − 12⎪e x , x ≠ 0,5.12. Пусть f (x ) = ⎪. Найдите f ′ (0) .⎨⎪⎪0,x = 0.⎪⎩⎧⎪ − 13⎪e x , x ≠ 0,5.13. Пусть f (x ) = ⎪. Найдите f ′ (0) .⎨⎪⎪0,x =0⎪⎩Тема 4. Неопределенный и определенный интегралы.1. Определения.Сформулируйте определение:1.1. первообразной данной функции;1.2. неопределенного интеграла данной функции;1.3. интегральной суммы для данной функции f (x ) на сегменте [a, b ] ;1.4. предела интегральных сумм при стремлении диаметра разбиения к нулю;1.5.

определенного интеграла от функции f (x ) по сегменту [a, b ] ;1.6. нижней суммы (Дарбу);1.7. верхней суммы (Дарбу);1.8. предела верхних (нижних) сумм при стремлении диаметра разбиения к нулю;1.9. верхнего (нижнего) интеграла Дарбу.2. Основные теоремы и формулы (без доказательства)2.1. Сформулируйте теорему об интегрировании по частям для неопределенного интеграла.2.2. Сформулируйте теорему об интегрировании методом замены переменной для неопределенного11интеграла.2.3. Перечислите свойства сумм Дарбу.2.4. Сформулируйте теорему о необходимом и достаточном условии интегрируемости функции f (x )на сегменте [a,b] в терминах нижнего и верхнего интегралов Дарбу.2.5. Сформулируйте теорему о необходимом и достаточном условии интегрируемости функции f (x )на сегменте [a,b] в терминах нижних и верхних сумм.2.6. Перечислите известные Вам классы интегрируемых функций.2.7.

Перечислите свойства определенного интеграла.2.8. Запишите формулу среднего значения для определенного интеграла и сформулируйтедостаточные условия ее применимости.2.9. Запишите формулу Ньютона – Лейбница и сформулируйте достаточные условия ееприменимости.2.10. Запишите формулу замены переменной для определенного интеграла и сформулируйтедостаточные условия ее применимости.2.11.