Вопросы и задачи к экзамену по МА, страница 2

f (x ) → −∞ при x → −∞ "по Коши";1.25. f (x ) → −∞ при x → a "по Коши";1.26. f (x ) → −∞ при x → a + 0 "по Коши";1.27. f (x ) → −∞ при x → +∞ "по Коши";1.28. "Функция f (x ) называется бесконечно малой при x → a "по Коши";1.29. "Функция f (x ) называется бесконечно малой при x → +∞ "по Коши";1.30. f (x ) → +∞ при x → a "по Гейне";1.31. f (x ) → +∞ при x → +∞ "по Гейне";1.32.1.33.1.34.1.35.1.36.1.37.1.38.1.39.f (x ) → +∞ при x → −∞ "по Гейне";функции, непрерывной в точке;непрерывной на промежутке функции;точки разрыва функции f (x ) ;точки устранимого разрыва функции f (x ) ;точки разрыва первого рода функции f (x ) ;точки разрыва второго рода функции f (x ) ;обратной функции.2.

Основные теоремы (без доказательства).2.1. Сформулируйте критерий Коши существования предела функции при x → a .2.2. Сформулируйте критерий Коши существования предела функции при x → +∞ .4Сформулируйте теорему:2.3. о пределах суммы, разности, произведения и частного двух функций;2.4.

о связи предела функции в данной точке с односторонними пределами в этой точке;2.5. о первом замечательном пределе;2.6. о втором замечательном пределе;2.7. о непрерывности суммы, разности, произведения и частного двух непрерывных функций;2.8. Сформулируйте теорему о непрерывности сложной функции;2.9. Сформулируйте теорему о существовании, монотонности и непрерывности обратной функции.3. Теоремы с доказательством.3.1.

Докажите, что сумма двух бесконечно малых функций в точке a является бесконечно малойфункцией в точке a .3.2. Докажите, что произведение бесконечно малой в точке a функции на ограниченную функциюявляется бесконечно малой функцией в точке a .Докажите теорему3.3. о пределах суммы, разности, произведения и частного двух функций;3.4.

о связи предела функции в данной точке с односторонними пределами в этой точке;3.5. о пределе монотонной ограниченной функции.3.6. Докажите эквивалентность определений по Гейне и по Коши предела функции f ( x ) при x → a .3.7. Сформулируйте критерий Коши существования lim f (x ) . Докажите необходимость.x →a3.8. Сформулируйте критерий Коши существования lim f (x ) .

Докажите достаточность.x →aДокажите теорему:3.9. о непрерывности суммы, разности, произведения и частного двух непрерывных функций;3.10. о непрерывности сложной функции;3.11. о прохождении непрерывной на сегменте функции через любое промежуточное значение;3.12. о существовании, монотонности и непрерывности обратной функции;3.13. о первом замечательном пределе;3.14. о втором замечательном пределе.4. Вопросы и задачи.4.1. Сформулируйте определение “по Коши” того, что функция f (x ) не имеет предела в точке x = a .Сформулируйте "по Коши" отрицание к утверждению4.2. " f (x ) → b при x → a ".4.3. " f (x ) → b при x → ∞ ";4.4.

" f (x ) → b при x → −∞ ";4.5. " f (x ) → +∞ при x → a ";4.6. " f (x ) → −∞ при x → +∞ ";4.7. " f (x ) → −∞ при x → a − 0 ";4.8. " f (x ) → +∞ при x → a + 0 ".4.9. Докажите, что сумма бесконечно малой в точке a функции и ограниченной в окрестности точкиa функции является ограниченной функцией в некоторой окрестности точки a .4.10. Пусть функция f (x ) имеет предел в точке a , а g (x ) не имеет предела в этой точке.

Что можносказать о существовании пределов суммы f (x ) + g (x ) и разности f (x ) − g (x ) в точке a ? Ответобоснуйте.4.11. Дайте определение функции, не являющейся непрерывной в точке a . Приведите примерразрывной функции.4.12. Пусть функции f (x ) и g (x ) разрывны в точке a . Что можно сказать о непрерывности суммыf (x ) + g (x ) в этой точке? Ответ обоснуйте.4.13. Пусть функции f (x ) и g (x ) разрывны в точке a . Что можно сказать о непрерывностипроизведения f (x ) ⋅ g (x ) в этой точке? Ответ обоснуйте.4.14. Пусть существует предел f (x ) в точке a и не существует предел g (x ) в точке a . Что можносказать о пределе отношения f (x ) g (x ) в этой точке? Ответ обоснуйте.54.15. Докажите, что если f (x ) непрерывна в точке a , то и f (x ) – непрерывная функция в точке a .4.16.

Можно ли утверждать, что квадрат разрывной в некоторой точке функции есть функция,разрывная в этой точке? Ответ обоснуйте.4.17. Пусть функция f (x ) непрерывна в точке a , g (x ) – разрывна в точке a . Что можно сказать онепрерывности суммы f (x ) + g (x ) и разности f (x ) − g (x ) в этой точке? Ответ обоснуйте.4.18. Пусть функция f (x ) непрерывна в точке a , g (x ) – разрывна в точке a . Что можно сказать онепрерывности произведения f (x ) ⋅ g (x ) в точке a ? Ответ обоснуйте.a x n + a1x n −1 + ... + an4.19.

ПустьДокажите,чтоR (x ) = 0 m, a 0 ≠ 0, b0 ≠ 0 .b0x + b1x m −1 + ... + bm⎧⎪n > m,∞,⎪⎪⎪lim R (x ) = ⎨a 0 b0 , n = m,x →∞⎪⎪⎪0,n < m.⎪⎪⎩4.20. Докажите, что lim cos x не существует.x →∞4.21. Существует ли lim x sgn(x − 1) ?. Обоснуйте ответ.x →1sin 5xsin x; б) lim.x →0x →∞xxln(1 + x )ax − 1= 1; б) lim= ln a, если a > 0 .4.23.

Докажите, что: а) limx →0x →0xx4.24. Пусть α(x ) и β(x ) – бесконечно малые при x → a функции. Докажите справедливостьследующих равенств при x → a :o (β n )o (β ) + o (β ) = o (β ) ;= o (β n −1 ), ∀ n ∈;βo (β ) − o ( β ) = o ( β ) ;o (o (β )) = o (β ) ;o (c β ) = o (β ), ∀c ≠ 0, c = const ;4.22. Вычислите: а) limo (β + o (β )) = o (β ) ;co (β ) = o (β ), ∀c ≠ 0, c = const. ;n(o (β )) = o (β n ), ∀n ∈αβ = o (α), αβ = o (β ) ;;если α ∼ β , то α − β = o (α)и α − β = o (β ) .4.25. Пользуясь свойствами символа " o − малое" , запишите для функции α(x ) равенство видаα(x ) = o(1) или α(x ) = o ((x − a )k ) при x → a ( k -натуральное число):β no (β ) = o (β n +1 ), ∀n ∈;4.25.1.α(x ) = o(−5x + x 2 − x 3 + o(−5x + x 2 − x 3 )), x → 0 ;4.25.2.α(x ) = (x − 1) ⋅ o((x − 1)2 + o(x − 1)), x → 1 ;1⋅ o(5x + x 2 ), x → 0 .3x14.25.4.α(x ) = 2 ⋅ o (2x 4 + o (x 4 + 2x 2 )), x → 0 ;x3o (2 (x + 2) ) o (4 (x + 2)5 )+4.25.5.α(x ) =, x → −2 .24(x + 2)(x + 2)4.26.

Пользуясь свойствами символа " o − малое" , запишите для функции α(x ) равенство вида⎛1⎞α(x ) = o(1) или α(x ) = o ⎜⎜ k ⎟⎟ при x → ∞ ( k -натуральное число):⎝x ⎠⎛ 11⎛ 1 ⎞⎞4.26.1.α(x ) = o ⎜⎜⎜ 2 − + o ⎜⎜ ⎟⎟⎟⎟⎟ ;⎝ x ⎠⎠⎝ 2xx214.26.2.α(x ) = 3 − 2 ;xx⎛1⎛ 1 ⎞⎞4.26.3.α(x ) = x 2 ⋅ o ⎜⎜⎜ 3 + o ⎜⎜ 3 ⎟⎟⎟⎟⎟ ;⎝ x ⎠⎠⎝x4.25.3.α(x ) =6⎛ ⎛1⎞⎛ 1 ⎞⎞α(x ) = x ⎜⎜⎜o ⎜⎜ 2 ⎟⎟ − o ⎜⎜ 2 ⎟⎟⎟⎟⎟ ;⎝ x ⎠⎠⎝ ⎝x ⎠⎛1⎛ 1 ⎞⎞4.26.5.α(x ) = 5x ⋅ o ⎜⎜ 2 + o ⎜⎜ ⎟⎟⎟⎟⎟ .⎝ x ⎠⎠⎝⎜ x4.27.

Напишите асимптотическое разложение функции при x → 0 c остаточным членом o(x α ) , гдеα ≥ 0:а) sin2 (5 x + x ) ; б) cos(4x 2 + x ) ; в) ln(1 − x 2 + x ) ; г) ln(cos 2x ) ;д) ln (e x + x ) ; е) cos sin x , x > 0 .4.26.4.4.28. Напишите асимптотическое разложение функции при x → ∞ c остаточным членом o(1/ x α ) , гдеα ≥ 0:⎛2⎞а) x 2 + x − x ; б) 3 x 3 + x − x ; в) ln cos ⎜⎜ ⎟⎟ ; г) e 1/ x − 1, x > 0 .⎝x ⎠4.29. Вычислите пределыx2 − 4ln (x 2 + e x );limlim.x →2 (x − 2)(x + 1)x →+∞ ln x 4 + e 2x()x2 − 4;x →∞ (x − 2)(x + 1)limlim1−x − 3;x →−82+ 3x4010(x − 3) (5x + 1)limx →∞(3x − 2)25sin bxlim (sin x + 1 − sin x )x →0limx →∞x+ x+ x;x →+∞x +1sin(x − π / 3);limx → π / 3 1 − 2 cos xπxlim(1 − x ) tg;x →12m1 + ax − n 1 + bxlim, m, n ∈ Nx →0xlim(ax − xa(a > 0)x →a x − an⎛ n a + n b ⎞⎟lim ⎜⎜⎟⎟ (a > 0, b > 0)n →∞ ⎜2⎝⎠⎟lime αx − e βxlimx → 0 sin αx − sin β xsin2 (π ⋅ 2x )limx →1 ln (cos (π ⋅ 2x )))1 + x + x2 − 1− x + x2 ;ln (1 + 3x )x →−∞ ln (1 + 2x )cos x − 3 cos xlim;x →0sin2 xlim⎛ 2πn ⎞⎟lim sinn ⎜⎜⎜⎟n →∞⎝ 3n + 1⎠⎟x⎛ax + b ⎞⎟⎜lim ⎜⎟ , a, c > 0x →+∞ ⎜⎝cx + d ⎠⎟1 − cos xlimx →0 1 − cos xlim (x − ln (chx ))1− x⎛ 1 + x ⎞⎟ 1−xlim ⎜⎜⎜при x → + 0, x → 1, x → +∞ ;⎟⎝ 2 + x ⎠⎟tgxlim (sin x ) ;x →π / 2limx →0ln ch 2x;ln cos 3x()lim cos π n 2 + n ;n →∞limx →+∞(3322x →+∞)x + 3x − x − 2x ;limx →−∞lim(1 − x )logx 2 ;)a x +h + a x −h − 2a xlim,a > 0h →0h2x⎛ 11⎞lim ⎜sin + cos ⎟⎟ ;x →∞ ⎜⎝ xx⎠x →0x2 + x − xn →∞lim n 2 ( n a − n +1 a ), a > 0 ;lim(lim tgn ( π4 + n1 )x →1n →∞n⎛(a − 1) + n b ⎞⎟⎟⎟lim ⎜⎜n →∞ ⎜a⎝⎠⎟limx →∞ln (tg ( π4 + x ))1⎛ 1 + x 2x ⎞⎟x 2lim ⎜⎜⎜⎟⎟x →0 ⎝ 1 + x 3x ⎠ln(1 + x + 3 x )limx →+∞ ln(1 + 3 x + 4 x )ln (x 2 + e x )ln (x 4 + e 2x )7lim x (ln(x + 1) − ln x )1⎛a x + b x + c x ⎞⎟xlim ⎜⎜⎜⎟ , a > 0, b > 0, c > 0x →0 ⎝⎠⎟3lim n( n x − 1), x > 0x →∞1 − cos x ⋅ cos 2x ⋅ cos 3xx →01 − cos xlimn →∞( )( )2π nchnlim2n →∞π ncosn4.30.

Найдите все точки разрыва функции f1x2 −1f (x ) = x sin ; f (x ) =.xln x(x )и определите их тип: f (x ) = e−1x1x; f (x ) = (1 + x ) ;5. Задачи повышенной трудности.5.1. Докажите, что если lim f (x ) = b "по Гейне", то lim f (x ) = b "по Коши".x →+∞x →+∞5.2. Докажите, что если lim f (x ) = b "по Коши", то lim f (x ) = b "по Гейне".x →+∞x →+∞5.3. Докажите, что если f→ +∞ при x → a "по Гейне", то f (x ) → +∞ при x → a "по Коши".5.4. Докажите, что если lim f (x ) = b "по Гейне", то lim f (x ) = b "по Коши".(x )x →a +0x →a +05.5. Пусть функция y = f (x ) возрастает и ограничена на промежутке x ∈ (a;b ) . Докажите, что∀c ∈ (a;b ) ∃ lim f (x ) .x →c −05.6. Пусть функция f (x ) возрастает и ограничена на промежутке (a; +∞) .

Докажите, что ∃ lim f (x ) .x →∞5.7. Пусть функция f (x ) убывает и ограничена на интервале (a;b ) . Докажите, что ∃ lim f (x ) .x →b −05.8. Сформулируйте критерий Коши существования lim f (x ) . Докажите необходимость.x →+∞5.9. Сформулируйте критерий Коши существования lim f (x ) .