Вопросы и задачи к экзамену по МА, страница 4

Запишите формулу интегрирования по частям для определенного интеграла и сформулируйтедостаточные условия ее применимости.3. Теоремы с доказательством.3.1. Докажите теорему об интегрировании методом замены переменной для неопределенногоинтеграла.3.2. Докажите теорему об интегрировании по частям для неопределенного интеграла.3.3. Докажите, что для данного разбиения отрезка нижняя (верхняя) сумма является точной нижней(верхней) гранью множества интегральных сумм.3.4. Пусть разбиение T ′ отрезка [a;b ] получено из разбиения T путем добавления к нему новыхточек. Докажите, что нижняя сумма функции f (x ) для разбиения T ′ не меньше, чем нижняя сумма дляразбиения T. Получите оценку разности нижних сумм этих разбиений.3.5.

Пусть разбиение T ′ отрезка [a;b ] получено из разбиения T путем добавления к нему новых точек.Докажите, что верхняя сумма функции f (x ) для разбиения T ′ не больше, чем верхняя сумма дляразбиения T . Получите оценку разности верхних сумм этих разбиений.3.6. Докажите, что нижняя сумма функции f (x ) для любого разбиения отрезка [a;b ] не превосходитверхней суммы той же функции f(x) для любого другого разбиения T’ отрезка [a;b ] .3.7. Докажите, что множество нижних сумм функции f (x ) для всевозможных разбиений отрезка [a;b ]ограничено сверху.3.8. Докажите, что множество верхних сумм функции f (x ) для всевозможных разбиений отрезка [a;b ]ограничено снизу.3.9. Докажите, что нижний интеграл Дарбу не превосходит верхнего интеграла.3.10.Докажите лемму Дарбу.3.11.Докажите теорему о необходимом и достаточном условии интегрируемости функции f (x ) насегменте [a;b ] в терминах нижнего и верхнего интегралов Дарбу.3.12.Докажите теорему о необходимом и достаточном условии интегрируемости функции f (x ) насегменте [a;b ] в терминах нижних и верхних сумм.3.13.Докажите теорему об интегрируемости непрерывной на сегменте функции.3.14.Докажите теорему об интегрируемости некоторых разрывных на сегменте функций.3.15.Докажите теорему об интегрируемости монотонной на сегменте функции.3.16.Докажите теорему об интегрируемости суммы и разности двух интегрируемых функций.3.17.Пусть функция f (x ) интегрируема на сегменте [a;b ] .

Докажите, что cf (x ) , где c = const. , тожеbинтегрируема на [a;b ] , причемb∫ cf (x )dx = c ∫ f (x )dx .aa3.18.Пусть функция f (x ) интегрируема на сегменте [a;b ] . Докажите, что эта функция интегрируемана любом сегменте [c, d ] , содержащемся в сегменте [a;b ] .12Пусть функция f (x ) интегрируема на сегментах [a; c ] и [c;b ] , a < c < b . Докажите, что эта3.19.bфункция интегрируема на сегменте [a, b ] , причем∫fc(x )dx=ab∫f(x ) dxa+ ∫ f (x )dx .cПусть f (x ) интегрируема на [a, b ] .

Докажите, что f (x ) тоже интегрируема на [a, b ] .3.20.bПусть f (x ) интегрируема на [a, b ] , a < b . Докажите, что3.21.b∫ f (x )dxa≤ ∫ f (x ) dx .a3.22.Докажите теорему о формуле среднего значения для определенного интеграла.3.23.Докажите теорему о существовании первообразной непрерывной функции.3.24.Докажите теорему о формуле Ньютона – Лейбница.3.25. Докажите теорему об интегрировании методом замены переменной для определенногоинтеграла.3.26. Докажите теорему об интегрировании по частям для определенного интеграла.4. Вопросы и задачи.4.1.

Вычислите интегралы:32∫ (x + 1)x dx ;∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫ sin xdx ;∫ (x + 1)cos 2xdx ;∫ xe dx ;∫ x e dx ;∫ arctg xdx ;∫ e cos xdx ;∫ x ln xdx ;∫ x ln xdx ;∫ sin (ln x )dx ;∫ ln ( x − 1 − x )dx ;∫ ln (x + x − 1)dx ;3dx;2 − 5xx 2dx;1 + x2dx−x5 x3;3 + 8x 2exdx ;1 + exxdx;(x + 1)(x + 2)(x + 3)(x − 1)dx;x2 + x − 2x 2dx;x2 + x − 2x2 + 1dx ;(x + 1)2 (x − 1)a +xdx ;a −xdx∫ (a23/2+ x2)x22dx∫ (2 + cos x ) sin x ;dx∫ 2 sin x − cos x + 5 .;4.2.

Вычислите интегралы:1dx∫ 3 + x2 ;012∫ (x011∫ x (1 − x )10dx ;2dx;+ x + 1) (x − 1)dx;−8∫x3∫dx;xe −1∫1 − x 2 dx ;∫xdx;2x +x +1∫dx02110−11013x2 − x + 1;12π /2dx∫ (1 − x )0∫;2 3/20π6e∫e∫ ln xdx ;dx−x 2 − x2xcos 3xdx ;0π21∫sin5 xdx ;;∫ cos3x ⋅ sin2 xdx ;02∫ ln (x +0e2)1 + x dx ;sin(ln x )dx ;x∫1πdx∫2x + 4x + 3−1∫x−2∫ cos02π4dxx2 + 1xdx ;π8∫dx∫ 2 − sin x ;0;;dx;sin x + cos4 x404.3. Следует ли из интегрируемости суммы двух функций f (x ) + g(x ) (разности двух функцийf (x ) − g(x ) ) интегрируемость f (x ) и g (x ) ? Ответ обоснуйте.4.4. Следует ли из интегрируемости произведения двух функций f (x ) ⋅ g(x ) интегрируемость f (x ) иОтвет обоснуйте.g (x ) ?4.5.

Пусть f (x ) интегрируема, а g (x ) неинтегрируема. Что можно сказать об интегрируемостиf (x ) + g(x ) , f (x ) − g(x ) , f (x ) ⋅ g(x ) ? Ответы обоснуйте.4.6. Пусть f (x ) неинтегрируема и g (x ) неинтегрируема. Что можно сказать об интегрируемостиf (x ) + g(x ) , f (x ) − g(x ) , f (x ) ⋅ g(x ) ? Ответы обоснуйте.4.7. Вычислите производные:xddxsin (t )dt ;∫20bddxsin (x 2 )dx ;∫addxddx1∫arcsin tdt ;xxddxddxddxx2∫0⎛⎞⎟2t 2⎜ln ⎜⎟dt ;⎜⎝1 + arctg2 t + sin 4 t ⎠⎟x3∫x2dt1 + t2;cos x∫2e −t dt .arctg x2∫1 + t 2 dt ;05.Задачи повышенной трудности.2πcos (ln x )dxdxdx5.1.

Вычислите интегралы: ∫;;;244∫∫243xsinx+cosx(x + 1) (x − 1)05.2. Докажите, что если функция f (x ) интегрируема на сегменте [a, b ] , тоинтегрируема на этом сегменте.142πdx∫ 1 + 0, 5 cos x .0функцияf (x ) такжеb5.3. Приведите пример функции f (x ) , такой, что∫bf (x ) dx существует, аa∫ f (x )dxне существует.a5.4. Докажите интегрируемость произведения интегрируемых функций.5.5. Известно, что функция f (x ) интегрируема на [a, b ] , a < b и f (x ) ≥ 0 .Докажите, чтоb∫ f (x )dx ≥ 0 .a5.6.

Пусть f (x ) и g (x ) интегрируемы на [a, b ] , a < b и f (x ) ≥ g(x ) ∀x ∈ [a, b ] . Докажите, чтоb∫abf (x )dx >∫ g(x )dx .ab5.7. Известно, что∫ f (x )dx ≥ 0 и a < b . Следует ли отсюда, что f (x ) ≥ 0 ?Ответ обоснуйте.ab5.8. Известно, что∫abf (x )dx > ∫ g(x )dx и a < b . Следует ли отсюда, что f (x ) ≥ g(x ) ∀x ∈ [a, b ] ? Ответaобоснуйте.5.9. Докажите, что если функция f (x ) интегрируема на сегменте [a, b ] и inf f (x ) > 0 , то функция[a ,b ]1/ f (x ) также интегрируема на этом сегменте.Тема 5. Основные теоремы о непрерывных и дифференцируемых функциях.1.

Определения.Сформулируйте определение:1.1. ограниченной на заданном множестве функции;1.2. точной верхней (точной нижней) грани функции на заданном множестве;1.3. равномерно непрерывной на промежутке X функции;1.4. функции, возрастающей (убывающей) в данной точке.2. Основные теоремы (без доказательства)Сформулируйте:2.1. теорему о локальной ограниченности функции, непрерывной в данной точке;2.2. теорему об устойчивости знака функции, непрерывной в данной точке;2.3.

первую теорему Вейерштрасса;2.4. вторую теорему Вейерштрасса;2.5. теорему Кантора;2.6. достаточное условие возрастания (убывания) дифференцируемой функции в точке;2.7. теорему Ролля;2.8. теорему о формуле конечных приращений Лагранжа;2.9. необходимое и достаточное условие невозрастания (неубывания) дифференцируемой функции наинтервале (a, b ) ;2.10. достаточное условие возрастания (убывания) дифференцируемой функции на интервале (a, b ) ;2.11. теорему о формуле Коши;2.12. теорему о формуле Тейлора с остаточным членом в интегральной форме.2.13.

Запишите формулу Тейлора с остаточным членом в форме Пеано.2.14. Запишите формулу Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа.153.Теоремы с доказательством.Докажите теорему:3.1. о локальной ограниченности функции, имеющей предел в точке;3.2. об устойчивости знака непрерывной функции;3.3. о непрерывной функции, принимающей значения разных знаков на концах отрезка;3.4. первую теорему Вейерштрасса;3.5. вторую теорему Вейерштрасса;3.6. Кантора;3.7. о достаточном условии возрастания (убывания) в точке x 0 функции f (x ) , дифференцируемой вточке x 0 ;3.8. Ролля;3.9.

о формуле конечных приращений Лагранжа;3.10. о необходимом и достаточном условии невозрастания (неубывания) дифференцируемой функциина интервале (a, b ) ;3.11. о достаточном условии возрастания (убывания) дифференцируемой функции на интервале (a, b ) ;3.12. о формуле Коши;3.13. о формуле Тейлора с остаточным членом в интегральной форме.3.14. Выведите формулу Тейлора с остаточным членом в форме Пеано.3.15.

Выведите формулу Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа.f (x )3.16. Докажите теорему о правиле Лопиталя вычисления lim.x →a g (x )4. Вопросы и задачи.4.1. Найдите точку c в формуле конечных приращений Лагранжа для функции⎧⎪ 1⎪⎪ (3 − x 2 ), 0 ≤ x ≤ 1,2на сегменте [0;2] .f (x ) = ⎪⎨⎪⎪ 11≤x ≤2⎪⎪ ,⎩x4.2. Используя правило Лопиталя, вычислите пределы:ax − xaπ⎞⎛г) lim ⎜⎜x − ⎟⎟ ctg 2x ;а) lim;x →π 2 ⎝x →a x − a2⎠xax −aln (sin αx )б) lim;д) lim, α > 0, β > 0 .x →a x − ax →+0 ln (sin β x )ch x − cos xв) lim;x →0x24.3. Запишите разложение функции f ( x ) по формуле Маклорена с остаточным членом o(x n ) :1а) f (x ) = cos x ;д) f (x ) =;x1−xб) f (x ) = e ;е) f (x ) = − ln (1 − x ) ;в) f (x ) = e −x ;ж) f (x ) = ln (1 + x ) ;1г) f (x ) =;з) f (x ) = sin x .1+x4.4.

Разложите функцию f ( x ) по формуле Маклорена до члена порядка x n :sin xа) f (x ) = sin (sin x ), n = 3 ;г) f (x ) = ln, n = 4;x()б) f x = ln cos x , n = 4 ;д) n a n + x , n = 2 .2в) f (x ) = e 2x −x , n = 3 ;4.5. Вычислите пределы:cos x − eа) limx →0x4−x 2 2б) lim;x →016sin 2x − 2 tg x;ln (1 + x 3 )в) lim xx →+∞32(x + 1 + x − 1 − 2 x );e x + e −x − 2;x →02x 2⎛11 ⎞⎟.д) lim ⎜⎜ −x →0 ⎝ xsin x ⎠⎟г) lim5.

Задачи повышенной трудности.5.1. Докажите, что многочлен Тейлора Pn (x ) дифференцируемой п раз в точке x 0 функции f (x ) и всеего производные Pn(k ) (x ) до п -го порядка включительно в точке x 0 равны соответственно f (x 0 ) иf (k ) (x 0 ) , k = 1,2,...n .1f ′′ (0) ⋅ x 2 + o (x 2 ) при x → 0 .2115.3. Докажите, что если ∃f ′′′ (0) , то f (x ) = f (0) + f ′ (0) ⋅ x + f ′′ (0) ⋅ x 2 + f ′′′ (0) ⋅ x 3 + o (x 3 ) при26x → 0.5.4.

Пусть Pn (x ) - многочлен Тейлора дифференцируемой п раз в точке x 0 функции f (x ) . Докажите,5.2. Докажите, что если ∃f ′′ (0) , то f (x ) = f (0) + f ′ (0) ⋅ x +что f (x 0 + Δx ) = Pn (x 0 ) + o ((Δx ) ) .nи g (x ) дифференцируемы в точкеf (x ) f ′ (x 0 )=f (x 0 ) = 0, g (x 0 ) = 0, g ′ (x 0 ) ≠ 0 , то ∃ lim.x →x 0 g (x )g ′ (x 0 )5.6. Докажите, что если функции f (x ) и g (x ) дважды дифференцируемы в точкеf (x ) f ′′ (x 0 )f (x 0 ) = 0, g (x 0 ) = 0, f ′ (x 0 ) = 0, g ′ (x 0 ) = 0, g ′′ (x 0 ) ≠ 0 , то ∃ lim=.x →x 0 g (x )g ′′ (x 0 )5.5.