А.А.Чекмарев - Начертательная геометрия и черчение. 476 стр., М.; ГИЦ Владос, 2002 (А.А. Чекмарев - Начертательная геометрия и черчение), страница 13

2. Строят отрезки прямых, по которым грани одной поверхности пересекают грани другой. Эти отрезки являются звеньями ломаной линии пересечения многогранных поверхно- Рис. 6.12 стей между собой. Таким образом, построение линии пересечения двух многогранников сводится или к построению линии пересечения двух плоскостей между собой„или к построению точки пересечения прямой с плоскостью. Обе эти задачи рассмотрены выше. На практике обычно используют оба способа в комбинации, исходя из условия простоты и удобства построения. В качестве примера рассмотрим построение линии пересечения усеченной правильной четырехугольной пирамиды и наклонно расположенной трехгранной призмы (рис.' 6.13, а). Прежде чем приступить к построениям, анализируют взаимное положение многогранников и их расположение относительно плоскостей проекций. В данном случае очевидно, что многогранники могут пересекаться только по боковым граням.

Ребра призмы и боковые ребра пирамиды параллельны плоскости К основания пирамиды параллельны плоскости Н. Нижняя грань призмы и ее основания перпендикулярны плоскости К Указанные особенности расположения призмы и пирамиды определяют' и наиболее рациональный способ построения линии пересечения их поверхностей по точкам пересечения ребер призмы с гранями пирамиды и боковых ребер пирамиды с гранями призмы. Построения показаны на рисунке 6.13, б. Рассмотрим их для левой части чертежа (от оси пирамиды).

Проекции 1; 1, 2; 2, 3; 3, 4; 4 точек пересечения ребер призмы с гранями пирамиды найдены путем проведения через них фронтальных плоскостей Д (Оь), Р (Рь), Т (Ть). Они пересекают левые боковые грани пирамиды по фронталям — прямым линиям, параллельным левому ребру пирамиды. Положение их фронтальных проекций определено по горизонтальным проекци- 81 ям 21, 22 и 24 точек пересечения горизонтальных проекций Цм Рл и Ть плоскостей Д, Р, Т с горизонтальной проекцией основания пирамиды. В пересечении фронтальных проекций этих линий с фронтальными проекциями ребер призмы найдены фронтальные проекции 1; 2'и 4'точек пересечения ребер призмы с левыми гранями пирамиды. По ним построены горизонтальные проекции 1, 2, 4.

Проекции 3; 3 точки пересечения ребра АР пирамиды с верхней задней гранью призмы найдены с помощью вспомогательной фронтальной плоскости Ю (Юь), которая проведена через это ребро. Плоскость Ю пересекает грань призмы по прямой, параллельной ребрам призмы и проходящей через точку 23 на основании призмы. В пересечении фронтальных проекций этой прямой и ребра а'Ы'найдена фронтальная проекция 3'точки пересечения указанного ребра с задней верхней гранью призмы и на линии связи — горизонтальная проекция 3.

С нижней гранью призмы, перпендикулярной плоскости К ребро А11 пересекается в точке с фронтальной проекцией 5'. В проекционной связи на проекции пс1 построена ее горизонтальная проекция 5 Таким образом, проекции точек пересечения всех ребер призмы с левыми гранями пирамиды 1; 1, 2; 2, 4; 4 и ребра АЮ пирамиды с двумя гранями призмы 3; 3 и 5; 5 построены. Соединяем проекции точек, принадлежащих одной грани, и получаем проекции 1'2'3'4'5'1; 1 — 2 — 3 — 4 — 5 — 1 ломаной линии пересечения.

Построения в правой части чертежа проекций б'7'8'9'10'б; б — 7 — 8 — 9 — 10 — блинии пересечения аналогичны. Порядок построения иллюстрируется стрелками. Заметим, что переднее и заднее ребра пирамиды не пересекают поверхность призмы. 6.7. Развертка гранных поверхностей Разверткой поверхности многогранника называют плоскую фигуру, полученную при совмещении с плоскостью всех его граней. Развертывание гранных поверхностей выполняют для проведения раскроя листового материала при изготовлении деталей или определения площади поверхности деталей, покрываемых различными материалами.

Определение площади важно при различных покрытиях, выполняемых как с декоративными це- лями, так и с целью придания поверхности определенных свойств, например повышенной электропроводности, а также при различных химических методах обработки поверхностей. Для построения развертки гранной поверхности необходимо определить размеры ее граней.

Заметим, что построение любой грани многогранника может быть выполнено путем разбивки ее на треугольники. Длина сторон треугольника в свою очередь может быть определена любым из известных методов. Развертка поверхности пирамиды. Построение развертки боковой поверхности пирамиды можно проводить в следующей последовательности: определить длину ребер и сторон основания пирамиды; выполнить чертеж развертки последовательным построением треугольников — граней пирамиды. Пример построения развертки поверхности треугольной пирамиды ЮАВС приведен на рисунках 6.14 и 6.15. Для удобства построения на рисунке 6.14 боковые ребра пирамиды продолжены до пересечения с плоскостью Н.

Это позволило определить на горизонтальной проекции длину отрезков 1 — 2, 2 — 3, 3 — 4 нового основания пирамиды. Длина боковых ребер Ю вЂ” 1, Ю вЂ” 2, Ю вЂ” 3 найдена вращением их вокруг вертикальной оси — отрезки з'1 ь з'2;, з'3;. На них найдены отрезки з'а'ь з'Ь'ь з'с'ь По найденным отрезкам на рисунке 6.15 построена развертка боковой поверхности Юо1о2о3о1о и затем 5оАоВоСоАо На отрезке АоС, построена натуральная величина треугольника А,ВоС, по сторонам А,В, и Со В„найденным способом прямоугольного треугольника (см. рис. 2.9). Построение развертки призматической поверхности можно производить несколькими способами — нормального сечения, треугольников. При способе нормального сечения построение развертки призматической поверхности целесообразно выполнять в следующем порядке (рис.

6.16): пересечь призматическую поверхность вспомогательной плоскостью, перпендикулярной к ее ребрам (Р1 1 — 2; нормальное сечение); развернуть построенную ломаную линию (АоВо Со1)о) пересечения вспомогательной плоскости с призматической поверхностью, определив длину ее отрезков (АоВо ВоСо, Собо); на перпендикулярах к развернутой линии пересечения (Аорто) отложить длину отрезков ребер призматической поверхности (А,2„ Ф б а аа ф, а Рис. б.1б 2 Рис. 5.14 1а д' е' Г' г, Рис. б.15 В,З„Ва4„Сд, Саб„яд, Лб8,1 и единить их концы отрезками прямых. Пример построения развертки боковой поверхности наклонной призмы на чертеже приведен на рисунке 6.17 и 6.18. Для построения вспомогательной плоскости Р, перпендикулярной ребрам призмы, выбрана дополнительная плоскость проекций Т, параллельная ребрам призмы и перпендикулярная плоскости Ы Вспомогательная плоскость Р задана следом Р, на плоскости проекций Т перпендикулярно ребрам призмы.

Проекции на плоскости Тточек пересечения ребер призмы с плос- Рис. 5.17 ~о костью Р отмечены 1о 2о Зе На плоскость Т боковые ребра призмы проецируются в натуральную величину. ~о ~о 1 Натуральная величина отрезков линии о пересечения 1 — 2 — 3 плоскостью Р, перпендикулярной ребрам, определеСо на на плоскости Ю (пл.

5.) Т). Ао А, По способу треугольников развертка призматической поверхности заклюРис. 6.18 чается в следующем: четырехугольники (грани) разбивают диагоналями на треугольники; определяют длины сторон треугольников; выполняют чертеж развертки последовательным построением треугольников, на которые разбиты грани. )о П' 1О 11 Как задают на чертеже призматическую поверхность? Какие признаки позволяют установить, что на чертеже изображе- на призма (или параллеленипед)? Как задают поверхность пирамид? Как определяют высоту пирамиды? Как определяют угол между гранями? Как строят фигуру, получаемую при пересечении призмы нли пи- рамиды плоскостью? Как строят точки пересечения прямой линии с гранями призмы или пирамнды (точки входа и выхода)? Как строят сечение призмы плоскостью, параллельной ее боковым ребрам? Как строят сечение пирамиды плоскостью, проходяшей через ее вершину".

Как строят линию пересечения одной гранной поверхности другой? По каким схемам можно производить развертывание поверхностей призмы и пирамиды? Глава седьмая КРИВЫЕ ЛИНИИ 7.1. Общие сведения о кривых линиях и их проецировании Кривую линию можно рассматривать как траекторию движения точки на плоскости или в пространстве, а также как совокупность точек, удовлетворяющих определенному уравнению. Кривая линия может являться результатом пересечения между собой поверхностей или поверхности и плоскости.

Кривая линия определяется положением составляющих ее точек. Точки кривой определяются их координатами. Кривую линию называют плоской, если все точки линии лежат в одной плоскости, и пространственной, если точки не принадлежат одной плоскости. Примеры плоских кривых линий — окружность„эллипс, парабола, спираль Архимеда; примеры пространственных кривых — винтовая линия, линия пересечения боковых поверхностей прямых круговых цилиндра и конуса, оси которых не пересекаются. Для построения проекций кривых линий строят проекции ряда принадлежащих ей точек (рис. 7.1).

Пространственная'кривая проецируется в виде плоской, плоская кривая — также в виде плоской или в виде прямой линии, если кривая находится в проецирующей плоскости. Кривая, представляющая собой прямоугольную проекгппо кривой некоторого порядка, С сохраняет тот же порядок или оказы- 7 вается кривой более низкого порядка.

3 Эллипс и окружность проецируются в «в эллипс (см. рис.7.3) или в частном случае в окружность; проекция параболы — парабола, гиперболы — пшер- «р >р бола. Техника построения плоских р д кривых и их проекций подробно рассмотрена в справочниках. Риа гл 87 Касательная к кривой проецируется в общем случае в виде касательной к проекции этой кривой. Например, на рисунке 7А касательная РС в точке 3 к кривой АВ проецируется на плоскость Р в виде касательной И,с, в точке 3, к проекции а,Ь, кривой. Проецирующая плоскость, проходящая через касательную к проекции кривой, касается кривой в пространстве.

Длина некоторого участка кривой линии определяется приближенно путем замены кривой линии ломаной, вписанной в эту кривую, и измерением длины звеньев этой ломаной линии (если длину нерационально определять расчетом). Для уменьшения ошибки отрезки ломаной берут мало отличающимися по длине от дуг кривой, хордами которых являются эти отрезки. Пример развертки кривой АВС приведен на рисунке 7.2: горизонтальная проекция — кривая аЬс — разбита на малые части и «развернута» в прямую на оси х так, что отрезки а»1«, 1,2«и т.д.

соответственно равны хордам а1, 1 2 и т. д.; в точках а«, 1», 2«и т. д. проведены перпендикуляры к оси х, и на них отложены аппликаты точек кривой. Длина ломаной, проходящей через точки развернутой кривой, может быть приближенно принята за длину кривой АВС. 7.2. Построение проекций окружности При выполнении чертежей деталей нередко возникает необходимость изображения окружностей, плоскости расположения которых не параллельны плоскостям проекций. Например, на рисунке 7.3 окружность расположена в пространстве в плоскости Д.