Метода по квадратичным формам, страница 3

— 2 Лу 'ГСПСРь из мнОжесува собственных ВСКТОРО — 2ку + 2кз Вы- ла берем в~ктор ез так, чтобы е" з. туз, т. е. Оз бз = Уз — 4жз+4зуз+ 2кз =- — Зку+бкз = О =О Ву =-2кз. отвечюощий собственному значению Аз = 6. Нормируя полу чеиузую систему попа)зио ОртОГОнальных векторов, ИОлучаем Базис еу, ВУВ, еУз — оРтоиоРмиРованный, посколькУ УзеГ Р = +1, оа зис праВильнО Ориеити1уоваи (правая тройка), Итак, канонический вид квадратичной формы 2ьзз + Бр~ + 2зз — 4кд+ Згз + 4йз = — Зх' + бу' + бгу . Подставляя в уравнение поверхности к= — ~2е +зу +2В) р — — — ~к +23 — 2г) у у у „у у у 3 з =- — 1 — 2В' + 2у' + В'), 3 У-+6 У 6 Уз,б 2 У+ У,2 У), 12У У+2 У 2 У) у 243 уу у уз, 24 + 2д'+ е') + = — Зг'ь -у- бру + бл' + 54у'+ — = О. 2 2 Выделяем полный кВадрат: -Зк +6 ру+-~ +бе =О.

2/ — 1; СУз —— — 2: ез — — — — 2 Составим из векторов-столбиов ортонормированного базиса е',, ез, ез матРННУ ОРТОГОиальнОГО ПРВООРазОванил которой соответствует линейная замена переменных р = Р - д' = — зу'+ 2ВУ вЂ” 2з' Ге = Х, р + — = У; з =- 3. Получаем каноническое уравнение поверхности: Х' уа — — + — + — = О. 2 1 1 'Это уравнение конуса. Строим СГО методом сечений. В плоскости Х = О Уз + Уз = О, получаем точку 1Л =- О, У=О,Я=О).

В плоскостях Х = е Уз + Яз = сзуу2 — окружности. В плоскости У = О Я =- Хзуу2 Г ь Е = ~Х/зуу2 — две пересекаюинеся прямые, проходящие через точку 1Х = О, У = О, Я =О). В плоскости Я = О Уз = Хе~2 =ь У = ~Х/зуУ2 — две пересекающиеся прямые, проходящие через точку (Х =- О, У = О, Х = О) ~рис.4). Пример 8. Привести уравнение поверхности кв — 8ус + е + + 2из + 4ч'2 и — 4Яе = 0 ортогональным преобрааованием к каноническому виду. Указать преобразование перехода от исходной декартовой системы координат Оссуя к новой системе координат Ох'у'е'.

Построить поверхность в снстеме координат Ок'у'а'. А= Π— 8 0 Его юрки Аг = — 8, Аа =. О, Ла —— 2, Находим собственные векторы, отвечагонгне собственным значениям Л1 = -8, Аа = О, Ла = 2, из яивнения ~А — ЛЕ)ж = О. Прн Л1 = — 8 0 тначении Лт = -8 отвечает собственный вектор ог = О Прн Лт = 0 к1+ив = О, — 8кв=О, иг+ ма =-О. С1- — 1:, е.',= — — О 1 ЛЙ = 0 отвечает собственный вектор ьв = 0 — 1 Π— 10 О ° Ва —.— О =-ь — 10/сй =- О, 11ейстВуем ЙЯООГОГЯИЯО„ГОГДЙ кв -- О,:Г/ == л1, и сооствениОЯУ зна- 1 чеяи10 ЛЙ =- 2 ОТВСЧЙСТ собс1веиямя ве1ПО)1 ьв == 0 1 Составим яе ВектОрОвстОлбцОВ Ор10яормяровйяяОГО 633иса е1, е!р, ев мйт)1пцу 01тГОТОийльнОГО преобрйЗОвйяия: Здесь Ве1 Р =-.

— 1, т. е. тройка векторов е'„е.'„, е~ — неправиль- но ориентированная 1левая). Этому преобразованиго соспветствует лянеяяая тамеяа исрсмеяиых у =- = — Л 0 О у' каяоии 1ескяй Вид кВадратячнОЙ формы та — 8у" + -1+ 2ка =- — 8. "' + 2В' ПО/1тчаем -8к'+2е'" '.4~у'ч -) — 41-У+в) == 8х ".'"' +8У" а /Й и:1я — — — — = у —. 1 Йяояя/1еское Уравнение 1 яперболи/1еско О .4 па)ьйболоидй.

СГрбны епъ мстодом сечении фнс, 5), В плОскости Й =- 0 криВЙЙ х' =- — 4У' — парабола. В плоскости у' == 0 будет е/ =:Е2/е/ — две пересека101диеся прямые, проходяи1ие /1еоез точк1 йв =- О, у' = О, х/ = О). / „, /Й /Й В плоскостях у' = с будет аха — х/ /4 = с — гиперболы, В плОскОсти = 0 кривая л =-- у — парйоола. В плоскостях ' =. / Х11ивме,/' =- у'+ с /4 — то/ке параболм. Пример 9.

Прнвести уравнение поверхности 2/л + 2у" + ОЙ" + + 4ту+ 2кв+ 2ух+ 2/с+ 2у-1- 4Х вЂ” 5 = О ОртОГОЯальным преобра- ЗОВаняем к канОническОму Вндт. 1 кавать преООразОВЙЯЯС перехода от исходной декартовой сис1емм координат О/ерем к новой систе- ме ХООрдияйт с/к у х, ПОстрОить поверхяосп В системе координат О/Т'У'З'. РСГЯСВИС Квадратичная $0рма данной Г10верхяо/тя имее1 Вид Г'(Й/,у, ) = 2сй + 2у~+ 5ГВ + 4ху-, '2гвв+ 2уе, Ве матрица ЗапяпГем хйракчер/те п1ческое 1'равнение матрицы А: 2 — Л 2 .4=- 2 2 — Л 1 ~ = — Л~+ОЛ вЂ” 18Л=О 1 1 5 — А/ Вго корни Л1 =. О, Ав = 3, Ла - — - 6. Нвходим собствоййьи вввторы, отввчжюв1йв ооботввкйым Звучаниям Л~ = О, Лв =- 3, Лв =- б, из уравиеияя (;-1 — ЛК1У = О.

Про Л~ = О 2 2 1 тв = О ф2ст+твΠ— 2л:~ + 2в„+ а;в =-. О., вв=О. ж~ -,'-,ст -~- амтв .— — О Соботвокйому звдвов$вю Лв == 3 отввввот соботвеявьФ всктор ю = 1 2 —.4 1 вв = О 7 Собственному значеннвз Лз — — 6 отвечает собственный вектор Оз= 1 Так как собственнме чис~а различим отвечакнпие нм собственные Векторы пОпарно ОртОГОнальны. 11ормнруя зтз систему ВектО- ров, получаем: Составим из векторов-столбпов ортоиормнрованноГО базиса е',, ее ез матриГО 01ЛОГОнальизГО преобрезОваниьл у = Р у' =- -1/;/2 1/ Д 1/т~б у' 2т + 2у 4-бз +4ку+ 2тв+ 2уз = Зу' + 6 ' ,с ж= — + — +=, у=- — + — + —., з=- — + —, =,"2,2, 6' =,2 ~З ' .6','З, 6' ;,3 Зу' +бгз+ 2мбз' — 5 = Зу' +6 л'+ —, ~ — 6 = О, з~б у'~ , Л илп — + — — — - = 1 — ураВнение зллиптическОГО Цилиидра 2 с наГ1равлающей, Явлввзщейсз зллипсОМ вЂ” + л + —,— = 1, и 2 образующими, пвраллельпымн Осн Озз 1рис.

61. Прнвестн1равненне кривой ОртоГональимм преобразованием и параллельнмм переносом к каноническому виду. Указать преобразования. Построить крнвувз и все используемые системы координат. 1. 28кв + 12уз — 12ку — 16 ~~10х + 12 ДОу + 10 = О. 2.14хз — 4уз+ 24ху+ 12 Л:с+ 16 Лу — 10 =- О. 3. 7х' — 2уз + 12ху + ЗО Лх + 60ъ~бу — 55 = О. 4. Ог. + 4у" — 12ву — 20~'1Зж+ 22~~ГЗу = О. 5. — 16ИЯ+ 24лу — Оуз + 70ж + 10у — 125 = О, "Привести уравнение поверлности ОрГОГональнмм Г1реобразованием и параллельньм переносом к каноничесюму виду. Указать преобразования. Построить поверхность в системе координат О'ХУЯ.

32 -3 З,г2 8, Л1 = 5, Л2 = 10, Лз = 15; Р = — 4/2 6 4ъ'2 — 5 ~'2 О 5~/2 (а' — ЗЯ)2 р'2 ~. ' + 1у2)2 24 12 8 + —" + = 1 — эллипсоид. 1 -1 О 1 9 Л1 =О,Л2=-2,Л2=4;Р= — 1 О 1 О,У2 О ~р' — 1)2+ 212'+ 2)2 = (к'+ 4)— ПРИВКДКНИК КВАДРАтиЧНОЙ ЕОРМЫ К КАНОНИЧЕСКОМУ ВИДУ МКТОДОМ ЛАГРАНЖА Поскольку в ней присутствует член Зжз, мы можем выделить полный квадрат по ж1. Для этого соберем все слагаемые, содержащие жг, и дополним до полного квадрата: /2 У~Р1~ ~2~ из) 3 ~в1 +, ж1лз+ з2/ к2+2к2+ез 4взИ 2 1 2 2 2 =3,+ —,.~ + —,+,— 3 ) 3 Соберем далее все слагаемые, содержащие лэ, н дополним до пол- ного квадрата: 1~,*2, с = 3 (*~ + — ж) ~- ( г — 6 гьг + 9*~1-6~,~.*, = 12 2 2 2 3 2 т 2 2 2 2 ж1+ -ж2 + — аз — 3 3) 3 3 '3' Введем новые переменные Как мы видели, для нахождения ортогонального преобразования, приводящего квадрзтичную форму к каноническому виду, требуется находить корни характеристического миогочлена ;~1Л) = С1ее1А — ЛЮ), Это не всегда удается сделать, если степень многочлена грязная размерности пространства) больше двух.

Однако, если перед нами стоит задача привести квадратичную форму к каноническому виду в каком-нибудь, ие обяэаглельло ортолормироеачнои базисе, то ее можно решить более простым способом, чем оргогональные преобразования — методом Лаграьэса. Метод Лаграюка состоит в последовательном выделении полных квадратов из квадратичной формы, При этом матрица перехода к новым переменным может оказаться не ортогональной, т. е, новые переменные являются координатами вектора при разложении по косоупэльному базису.

Поясним метод Лагранжа на примере. Пример 10. Рассмотрим квадратичную форму из примера 2: У(кг,жз *з) = Зе1+ 2жз+ кз+4жгжз — 4жзжз. тогда канонический вид квадратичной формы „г в новых переменных Ф1 зз~ зз будет 1(21 32> вз) 321 + йз бзЗ Если 2 2 2 3 0 1 -3 к2 = 22, то 0 1 — 3 Х Зэ = жз =(~7-:) =(':Т ) будет матрицей перехода от ортогонального базиса еы ез, ез к косо- угольному базису е',= О, е' = 1, е!3= 3 в котором квадратичная форма )! имеет канонический вид /(я», з,зз) = Зе + -33 — 533. 3 2 3 2 В примере 2 квадратичная форма „Г(х», хз~ хз) = Зх» + 2х2 + хз + 4х1хз 4хзхз 3,2 3 приводилась к другому каноническому Виду ! (У»1У3) Уз) У1 + 2У2 + ЗУЗ' В различных видах данной квадратичной формы остается неизменным не только количество ненулевых коэффнш!ентов, но н ко- личестВО положительных и отрицательных коэффициентоВ В си»»у закона инерции квадратичных форм.

10!я лк!бых двух канонических ВИДОВ кВадратичной формы ду!..., ..у ) = Л»у»3+... +Л уз„Л, ф О, ! = 1!и»; )'(В!..., .. ь) = Л»31+... +Льва, Ь- Ф О, ' =1!)г 3, 2 Пример 11. Дана квадратичная форма /(х», хэ, хз) = 2х»~ + 5хрз + 5хзз — 2х»хэ + 4х»хз + 4хэхз. В ней присутствует член 2х», поэтому мы можем выделить полный квадрат вида 2(а+Ь+с)3 = 2(а + 2аЬ+ 2ас+Ь +2ЬС+ сэ).

Соберем Все члены, содержащие х», и дополним до полного квадрата,полагая а = х», Ь = -хз,/2, с = хз.Итак, хз хэз хз Дх» хэ,хз) = 2 хз — 2х» — +2х!хз+ — — 2 — хз+ха хз 3 / 2 — — + 2хэхз — 2х + 5хэ + 5хз + 4хзхз = 2 (х» — — + хз) + 3 - 3 г / 2 3 2 + — хр + бх2хЗ + Зхз. 9 3 В той части квадратичной формы, которая осталась после выделеХз 3 2 ния 2(х» — — + хз), присутствует — хз, поэтому мы снова можем 2 2 выдели»'ь полный квадрат Итак, 9/, .г(х! хэ хз) = 2 ~х» — — +хз) + — ~х +2-хзхз+ -х ) 2 ) 2~, 3 9 ~~) 3 р / хз»3 9/ 2 -2хз+ Зх = 2(х» — — Ч-хз) + — ~ хз+ — хз ) +х, 2 ) 2», З ) Введем новые переменные т.е О 1 хз 0 0 1 откуда хз = О одной и той же квадратичной формы /(х) = Ф'Ах !)»и = Ь = Вй А, где А — матрица квадратичной формы; 2) количество положительных коэффициентОВ Л! сОВпддает с кО- личеством положительных коэффициентоВ ц!', 3) количество отрицательных коэффициентов Л! Совпадает с количеством отрицательных коэффициентов !г», 1 — 1 2 2 1 3 О Обратная матрица О 0 Введем новые переменные — 1/2 — 1/2 5/2 т2 Дя1, зз, зз) =- 2ю + -зз + зз.