Метода по квадратичным формам

московский госудлрстввииый тахиичвский университет вн. итк влумлил О.В. Пугачев, Г.П. Стась, А.В. Чередниченко ПРИЛОЖЕНИЯ Ф ~~ап фетодинеские указания по пРоведению практических $ааап~ама занятий и еатоянению домашнего задания по курсу Й. ЩЩЯ «Линейная алеебРа» ь„. ~ ек Под редакцией А.В. лотовина Москва Издательство МГТУ нм.

Н.Э. Баумана 2оол УДК 512.89(075.8) ББК 22Л43 П88 Рецензент ГМ Тгеемково 18ВХ 5-7038-2511-3 1 УДК 512.89(075.8) ББК 22.143 (с) МГТУ им.Н.З. Баумана, 2004 18ВН 5-7038-25П-3 П88 Пугачев О.В., Стась Г,П„Череднпчеико А.В, Квадратичные формы и их геометрические приложения: Методические указания по проведению практических занятий и выполнению домашнего задания по курсу «Линейная алгебра» / Под редакцией А,В. Котовича. — Мл Изд-во МГТУ нм. НЗ.

Баумана, 2004. — 59 сл ил. В методических указаниях содержатся краткие теоретические сведешш, необходимые для решения задач, подробные примеры решения типовых задач, задачи для самостоятельной работы. Приведены 30 вариантов типового расчета на тому чКвадрятичнме формы н их геометрические приложения»„каждый из которых состоит из четырех задач. Для студентов первого курса всех специальностей. Могут быть полезны преподавателям при проведении практических занятий, В методических указаниях рассмотрены преобразования ква- дратичных форм, позволяющие приводить квадратичную форму к каноническому виду; приведены критерии знакоопределенности квадратичных форм и на примерах показано использование ква- дратичных форм для задания функций, определяющих кривые и поверхности второго порядка.

Следует отметить, что практическое приложение квадратичных форм не исчерпывается исследованием кривых и поверхностей вто- рого порядка. По существу квадратичная форма является много- членом второй степени от некоторого количества переменных. Вы- разив этот многочлен через вектор, содержащий данные перемен- ные, и матрицу, можно применить для его исследования эффектив- ные методы линейной алгебры, которые позволяют приводить его к наиболее удобному для работы виду, В повседневной инженерной " практике квадратичные формы также играют очень важную роль. Многие физические задачи описываются математическими моде- лями, в которых используются квадратичные функции нескольких переменных, Для успешного решения подобных задач необходимо свободно владеть предлагаемым математическим аппаратом, Для закрепления пройденного материала в конце методических указаний приведены 30 вариантов домашнего задания, 01 О ...

О А=- О О ... а,, Дн»,хз,, х ) =- ~~Она» + 2 ,'~ а»зн1тз (1) ИЗЗЬ»ВЗ»ОТ КВЗДРЗТИЧИОИ фоРМОй. Если (т1, нз,..., Т,ъ) ийзвй»ь кООрдинзтзми ВСН10рз У б Я в некотором бйзисе и нз козффициеитов квздра»»»чиой формы ай со- СТЗВИТЬ МЗТРИЦУ С."иммегр»1 »еск» 10 мзтрицу А Оорвдкз и нззывйв»т мйтрицей квйдрйтичной формы (1). Рзиг мйтрицы А ийтывз»от рйнгом квзд1»зтичной формы, Если Вй А = а, то квйдрйтичиу»о форму ийзыйй»от иевь»рожденной, й если Кй А < н, то ее нззывй»от йырожкденна. В случзе а =- 2 (илоскость), имей атв = 021., нслучнм Дз:1, Нз) == (в», хз) ' ~ ~ =а1»ж1+аззлз+йа»2ж»ха.

а11 а12 в1 2 2 а Л':2~ В случзе О = 3 (трехмерное црострйнство)„имея 012 = 021, а»З = ай», 02З =' аЗ»И ИОЛУчим ап а»2 а»з в1 Ла»: .2,аз) — (н»рвз,нз) а»н азз азз а»н азз азз аз Нусть квйдрзтичнзв формз,('(х1,аз,..., ав) = У, ° А У, Оцределвег фуикцй10 .~(У), зздзииук» через кООрдинйты Векторз Уе = »х», Н2...,, х~~) В иекОт01»ом бйзисе (е) = ет> ез,..., е найдем представление функции г(У) в некотором другом базисе т т т Те') —— е1, ез....., еьг Есви Р— мзтрицй иерекодй От бйзисй ТСТ к бззису (е'), ТО У, = Р Ун„и функций ~(У) в иовом бвзнсе буде» вырй»кзтьсй через новые коордиизты векторй У следун»»цнм Обрйзом: -.=(- '-.)' А (Р У,)=-УТ,~РТ А Р~У, Здесь Р А Р = А' — мзтрицй квйдрзтичиой формы в новом Т, бззисе (ег), Итак, у(у) =.;ж.А.у,=ут,,А.у,, (З) Он|»еделенне в* Квйдрзтичнзя фОрмй имеет кйиоиичесвий Внд, если Ояз содерзт»»т тОлькб квадраты 1»Временных н1,..., жв.' ,Г(У) = 01221+ 02жз+...

+ 0 ж~ (4) Т. Е. ЕСЛИ ЕЕ МЗТРИ1ЬЗ Если В каноническом Виде (4) коэффициенты он рвань| +1 илп О, то говорят, что квадратичная форма приведена к нормальному каноническому виду, Пусть старый базис 1е) и новый базис (е'» ортонормированнью, тогда матрица перехода от 1е) к 1е') является ортогональной и преобразование с этой матрицей будет ортогональным, Любую квадратичную форму ортогональным преобразованием можно привести к каноническому внл~. Итак, требуется орте~опальным преобразованием привести квадратичную форму»'1ж) = кт А У к каноническому виду н указать матрицу этого Ортогонального преображ»валия.

Для этого необходимо сделать следующж. 1, Найти собственные значения матрицы А. 2. Для каждого собственного значения найти соответствующий собственный вектор. Все собственные векторы должны быть попарно ортогоиал нымн, а их количество должно быть равно количеству собственных значений„учитывая их кратность. 3. Выписать матрицу Р, сп»лбцами которой являются координаты этих собственных векторов. Так как система собственных векторов ортонормирована 1ортонормированный базис), матрица Р будет ортогональной. Рассмотрим эти пункты подробнее, 1.

Находим собственные значения матрицы А. Для этого сосивляем ее характеристическое уравнение с)еь 1А — ЛЕ) = 0 н игдем его корни. Поскольку матрица А симметрична, то все ее и 1с учетом кратности) собственных значений — действительные числа, Запигием их В дигиональну»О матрицу: Л» О ... 0 0 Лз ...

0 2, Находим собственные векторы, отвеча»о»цие собственным ~начениям Ли из однородного уравнения 1А — Л;Ь)й = О. Различным собственным значениям Л; ~ Л» соответствуют ортогональные собственные векторы Йт». 6»ь При кратных значениях Ль = ... = Л,11 из множества собственных векторов строим систему попарно ортогональиых собственных векторов Оа,..., д„, (например, применив процедуру ортогонализапии Грама — Шмидта). 3.

Полученн)чо ~~сто~у ~~~ври~ орте~опальных собственных ВектороВ нормируем, положив Составляем из Векторов-стотбцов ортонормированного базиса еы ет,,... е"„матРИПУ ОРТО»онального ПРеобРазованил Р, котоРой соответствует лииеиная ~~~е~а переменных й = Р р. Пример 1. Привести квадратичную форму у'ам из) = 3вят + + 2кттз + Зкз к каноническому виду. Указать матрицу ортогоиальз ного преобразования. ~~вниз) = (тыиз) А, где А = ~ и» 13 3)) бсТ~А — ЛЕ) =- ' = Лт — бЛ+ 8 = О. 1 3-Л Таким образом, канонический вид квалратичной формы Л' У1р) =Л»и»+Ларя+".+Л р„', где У= Ьырз *" ри) Канонический Вид квадратич»»ой формы ~~ры рз) — — 2рт + 4рз, 2, Находим собственные ~актеры, отвечаюп»ие собственнь»м ~И~~~~~~МЛ» = 2,ЛТ = 4, изоднородныхуравиений1А — Л,Ь')б» = О. е', =- — „- ~3 — Л 2 ΠΠ— 2 1 — Л ~ При Л1 =- 2 имеем =- =-> хг —.

-хз =ь уз =- — собственнгдй ВсжтОр, отвечахнцяй собственному зяачснизо Лз =- 2, При Лз = 4 имеем = — = хз = кз ='=-'ь бз =: — собствея( — хз+гсз =. О ныи вектор огвеча~огций собствеиноь~у зна зеиикз Л~ = 4. Длины яайденых векторов равны ~сг~ = ъ'2, ~бз! = ч 2 3. Убедивцжсь, что бт .~ бз, ИОрмирусм зту систему векторов, Составим матрицу ортогонального преобразования из Векторов- столопов Ортояормированяого базиса ~',„сз,' базис еы ез — ортояормироваиный; поскольку бегР = +1„базис правильно ориснтнрован ~оравая пара). Пример 2, Привсстзз квадратичнукз форму 71кыкз кз) =- 3кз + 2тз + кз + 4кзяк — 4кзкз к каноническому виду указать матрицу ортогонального яреобразованяя.

Решение. Квадратичная форма имеет внд Это уравнение третьей степени, Так как его козффяциенты — целые чнсла, целое ~исло может быть его коряем лигоь в случае, если ояо является делителем сВОбодного члена, позтому ищем корни среди чисел Ф1„~2, ~-5, 4:10. Подстановкой убеждаемся, что Лз =- — 1. ййиогочлен должен без Остат~а делиться яа Л вЂ” Л1 = Л + 1.

Дел~м: — Лз+ ОЛз — 3Л вЂ” 10 =-1 — Лз- Ла)+17Л~+ 7Л)+1 — 1ОЛ вЂ” 10) =- = — Лз 1Л -. 1) 4 7Л ~ Л + 1) — 10 1Л + 1) == ~ — Лз + 7Л вЂ” 10) ( Л + 1), откуда Ля =- 2, Лз =- 5. Запньвем Канонический Вяд квадратичной формы Дуы уз, уз) =- — у1+2уз+ + 5уз, (А — ЛЕ)6;=О. 2. Находим собственные векторы, отвечаьзщие собственным значениям Лз =- -1, Ля =- 2, Лз = 5, из одиородиык уравнении 2 3 — 2 кз =- О =-= 2хз +3хз Это однородная система трек уравнения с тремя неизвестными, ее определитель г)ег1А — ЛзЕ) =- О, поэтому ранг матрицы системы меньше 3.

Так как базисный минор , '1 ф О, раигравен 2. Оста- 2 3 Вляем первые дВВ уравнения и получаем Одно фундаментальное решение яз = -1, кз = 2, хз =- 2, Таким образом, собственному значениго Л; = — 1 отвечает собственный вектор б: — -- 2 2 2 0 -2 яа =- О =-~ 2х1 -2тз = О, Это однородная система трех уравнений с тремя неизвестными, ее определитель 11ез(А — ЛВЕ) = О, поэтому ранг матрицы системы 1 2 меныне 3.

3'ак как базнщ1ый минор ф О, 11анг 11авен 2. Оста- 2 О Вляем первые два уравнения н ~оду~~с~ одно ф1идаментальное решенно ят = 2, яз = -1, жз = 2, ТВким образом, со~ютвенному 2 значеннн1 Лз == 2 ~т~е~ает собс~~е~~ый ~ек~ор бя = — 1 2 При Лз = 5 аналогично получаем собственный Вектор бз = 2 2 . Длины полученных векторов равны ~01~ == 3; 101~ = 3; — 1 (бз~ = 3.

3, Так как собственные значения Л1 =- -1, Лз = 2, Лз = 5 — 1 различны, отвечающие нм собственные векторы 01 =. 2 2 е' — — 2 ' е' = — -1 ' ез= Я1 4 4 — 2 Йя) = (я1,яз;яз).А. яз, где А = 4 4 — 2 Уз — 2 -2 1 ~4-Л бес(А — ЛЯ) = 4 4 — Л вЂ” 2 = — Ля+ 9ЛВ = 0„ — 2 — 2 1 — Л Л= 0 0 О Канонический Внд квадратичной формы Дрь рь уз) = ОР~ 2 Находим собственные Векторы отвечающие собственным значениям Л1 =- 9, Лз =- Лз = О, нз однородных уравнений (А — Л1.Е) ез = О.