Метода по квадратичным формам (971013), страница 4
Текст из файла (страница 4)
1/2 -1/2 б/2 тз ж1 = 41+ 42, х2 "1 22~ 2 бУДЕт МатРИЦЕй ПЕРЕХОДа От баЗИСа Еы Ез, Ез К КОСОУГОЛЬНОМУ баЗИСУ ез =- О, ез = 1, е~з .— — -2/3 в котором квадратичная форма / имеет каиорический вид Пример 12, Дана квадратичная форма /(ж1,жз,жз) = 2а1жз — 4и1из+ бззжз. ЗЛесь отсутствуктг члены с а,, 22 и тз, позтому метод, описанный в предыдущих примерах„ие удается применить сразу, придется сделать некоторые Преобразования. /ге1 хз'~2 гя1 За~2 Легкозамет11ть, 1тоагаз = — + — / — ( — — — / .ВвеЛем (2 вспомогательные переменные тогда квадратичная форма / выразится таким образом: Х(з1, из,зз) = 211 — 222 — 4(21+ Г2)жз+ б(21 — 12)тз = 221~ — 242~+ + 2Г1зз — 1012гез.
Теперь мокино действовал~ по схеме, Описанной в примере 10: /(к1 гез,зз) = 211 — 222+ 211из — 10ззиз = 2 1 2'1 2 20 2 2 ~21+ ггез+ из) из 2 ~22+б42ез+ изу) + з"з 4 ) 2 = 2 21+ — кз~ — 2 (4 + — *з~ +12из , б,т.е. зз = О 1 Ь/2 и канонический вид квадратичной формы / в новых переменных з1., 22, зз буЛетДз1, 22, зз) = 222 — 2зз+ 12222. Если жз = 1/2 — 1/2 б/2 зз и обратная матрица Ъ,Ь 1/2 1/2 ' 1 1 — 3 Р = 1/2 — 1/2 5/2 = 1 -1 2 о о О О будет матрицей перехода от базиса е1, ез, ез к косоугольному базису в котором квадратичная форма г имеет канонический вид )(21~22~аз) = 2з1 222 + 1223 можно сделать и не вычисляя собственных значений матрицы А Пусть квадратичная форма представлена в виде 1 = х'АУ, где знАкооиредкленность КВАДРАтиЧНЫХ ЕОРМ Квадратичные формы подразделяют на различные типы.
Определение 3. Квадратичную форму ДУ) = У-АУ, где У = (х1, „,, х„) г, будем называть а) положительно (отрицательцо) определенной, если для любо« го ненулевого столбца х = (х1, ..., х„) выполняется неравенство У(У) > О (У(У) < О) б) неотрицательно (неположительно) определенной. если для любого ненулевого столбца х = (х1, ..., х )т выполняется неравенство 1(У) > О (ДУ) < О); в) знакопеременной (неопределенной), если су1цествувт такие столбцы У н Д, что г (У) > О н Др) < О. Представив квадратичную форму 1 в каноническом виде, получим критерии для типа квадратичной формы в зависимости от собственных значений ее матрицы.
1. Все собственные значения Л, > 0,1 = 1,п, тогда )' — положительно определенная. 2. Все собственные значения Л; < О, 1 = 1, и, тогда г — отрицательно определенная, 3. Собственные значения имеют разные знаки: Л, > О, 1 = 1, й, Л < О. у' = 1+ 1, й т т, тогда 1" — знакопеременная. 4. Если есть нулевое собственное значение Л, = О, то )' — вырожденная, т. е.
существует такой ненулевой столбец У, для которого Д(У) = О. Итак, найдя все собственные значения матрицы А квадратичной формы у(У), можно установить тип квадратичной формы. Но это Главные угловые миноры этой матрицы аы ... а1 ~ аы агз ~, аг1 ... а2 , =аы; В а21 а 22 ~ а„1 ... а.„„ Критерий Сильвестра, Квадратичная форма ДУ) = УгАУ полакителы1о определена тогда и только тогда, когда Ь1 > О, Ь2 > О,..., Ь„> О (все главные миноры положительны). Квадратичная форма у (У) = х1Ах отр1гцательио определена тогда н только тогда, когда з1 < О, Ь2 > О, Ьз < О, гл4 > О, „ ( — 1)"'Ь„> О (знаки главных миноров чередуются, начиная с минуса). Если у невырожденной квадратичной формы найдется главный минор, равный нулю„либо главный минор четного порядка отрицателен; либо есть два главн ь1х минора нечетного порядка с разнымн знаками, то в этих случаях квадратичная форма знакопеременна.
Квадратичная форма )'(У) = х гАУ определяется невырожденной симметрической матрицей А, поэтому симметрическая матрица А будет положительно определена (А > О), если все ее главные миноры положтельны, соответственно А будет отрицательно определена, если знаки ее главных миноров чередуются, начиная с минуса. Пример 13. Квадратичная форма ах1, х2,хз) = 2х1+3хз+ 3+4х1х2+ 2х1хз+ 2хз 3 ,,2 ,,2 2 2 2 1 иней А = 2 3 1 положительно определена, так как 1 1 1 2 2 1 ,~ц — 2>ОЬЗ= =2>ОЬЗ= 2 3 1 =1>0. 1 1 1 П имер 14.
Квадратичная форма у(х» х2, хз) = 2х» х2 14хз + 2х»хз + 2х»хз+ 4хзхз 2 2 — 2 1 1 рицей „4 = 1 -1 2 отрицательно опРеделена, так 1 2 — 14 „~, = -2 < О, а,2 = 1 > О, Лз = -1 < О. г1ример 15. Квадратичная форма 2 (х»~хзтхз) = х1 хз + 2х1х2 2х2хз о цей А = 1 0 -1 является зиакопеременной, так Π— 1 -1 1 > О, Е»2 = -1 < О. Действительно, выделив полные квадрать», получим 1'(х х хз) = (х»+ х2) (х2+ хз) Ответи / ~ ° ~ 33 1= „2=, З~ елениая, положительно опреде з»2 Г 3 2 у(х» х2 хз) (211+ хз+ 2 ) ~х» х2 — -хз) +2хф — 1+ ч33 '333,22 =' = '~1 =О, 0 2 Ьз <-0; знакоперемеик" ' 3, У(Х», ХЗ) = — Х» ' (хз — х»)2; ья 2 + 2 ~-»1 < 0~ ~»2 > О, Отрицательно 3 Л 2 2 определенная.
колее пОлнО вопросы 11р д ~адрагичио»» формы к канон„...,о уви„и„еже»»ь»в(ц Дополнительн ез - д са"- .ельного Ре»ленив Ие' дами изложен 'ми в данном собии, можно найти в (2 — 6). Задачи дли самостоятельной работы Привести квадратнчну»о форму к каноническому виду мето, Л~гранжа и определить ее тип (положительно определенная, о Зицательно определенная, знакоперемениая). Проверить результат найдя собственные числа и оценив главные миноры матрицы квадратичной формы КЛ ' ' Ы х2+ 3 — 4 3 2. 1(х»~х2|хз) = 4х»хз+ 4х»хз — 2х х 3. 1(х»*з) = — 2х', + 2х,хз — х2, .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
