Метода по квадратичным формам, страница 2

Прн Л1 = 9 нмееь1 4 -5 -2 яз = 0 .=: 4ж1 — без-аз =0., Составим нз Векторов-столбпов ортонормированного базиса е1, ез ез ыатРППУ ОРтогонм1ьного ПРеобРазованнл Р=-- 2 — 1 2 которой соответствует линейная замена переменных У = Р у, Базис е', е, ет — ортонормированный, и Йе$Р =- +1 — базис правильно 1' 3' 3 Орнентнрован (правая тройка), Это однородная система трех уравнений с тремя неизвестными, ее определнте11ь без(А — Л1Ь) = О, поэтому ранг магриды системы меньпье 3. Так как базисный минор ~ у': О, ранг равен 2. Оставляем первые два ураянен1и и получаем одно фундаментальное реп1енне я1 =- 2, яз == 2, яз = -1, Таким образом, собственно- 2 му зньн1енню Л1 =- 9 Отвечает собственный вектор 61 =- 2 — 1 Прн Лз = Лз = 0 имеем 4 4 -2 хз = О =Ф 4хз+4хз — 2кз=О, жз У вЂ” — хя .

Убедимся, чзо урн любых жы нз, не раиных 2кз + 2хз нулю олнояременно, зтот лектор ортотонален аектор1* зтз. Дейетантельно, Оз . Я =- 2тз + 2кз — (2зч + 2яя) =- О. Из множества хз собетаенных Вектороя 'х ныберем бз, нолатая 2тз + 2кз кз = 1. кз = 0 Йы яз незааноныые неременные). кз = 2кз + + 2хз — — 2. Таким образом, ння еобстненного значенпя Лз =- О 1 найлон еобетаеннызй лектор Оз =- О, Оеталоеа нз множеетаа 2 Уз еобетаенныя аектороа *" =- кз аыбразь оз, отаечаю2жз + 2нз ~цнй еобстаенному значению Лз = О, так, 'чтобы Оз 1.

Оз„т. е, бз ° йз = О =Ф х"~ + 2~2кз + 2хз) = 0 =Ф без =- — 4хз. Положйн кз -- 4, Получим кя = — 5 н хз =- 2кз + 2жз = -2, Такам ортононзльных собетаенных Вектороа, нолччаем е' =- — 2; е' =- —,. 0; е~з = — 5 2Л з — 2,5-0 -5 -Лб -2 которой еоотаететаует линейная замена неременняы я = Р ф". Базне ез, ез, ез — ортонорынроаанный; ЙеаР = +1 — нраанлано ориентированный 1дравая тройка).

1 УЬз рз) = -раз+ 4уз.' Р=- —. ~ 3, 1 / 1 2Л ,5~- 1 2 УЬьра) =бр~+10рз; Р= — ~ 3 2. 1 /1 -2Л ,5~ 1 3 У1рьрз) = бряз; Р = — ~ ;/5 — 1 2 1 1 О 4 1Ььрз,рз) = цзз+2рз+Зрзз; Р= — 0 Л О 0 1 2 2 6 .01рырз~ра) = 4р1+4р~т — брэ, Р= — 2 1 — 2 3 — 2 2 -1 Я 6.1Ь,рэ,.п)=Яр',-Яц,'; Р=-, Л -х 2 О -Л Суммаоття +Язэр +паза +2птахр+2птажа+2озапс = ~~к,н, е) образует квадратичн) вэ форму, которую ортогональным преобразованием можно привести к каноническому виду. Столбцы ма'грины Р— -- ~е', е', еа) этого ортогонального преобразования образугот ортоиормированный базис е', с~э, е' и являются собственными векторами симметрической матрипы квадратичной формы Ди, у, я). Матрица Р перехода от старого оугонормнрованиого базиса к новомУ оРтоноРмиРованиомУ базисУ еты е~~, е~ Явллетса ОРгогонааьной и де1 Р = +1 (это можно сделать всегда„изменив направление одного собственного вектора на противоположное). Следовательно, суптествует такОЙ ИОВОрот исхОднОЙ снстемь1 кООрдииат, что В НОВОЙ системе координат квадратичная форма в новых переменных будет иметь канонический вид.

Здесь Возможны следуичпие случаи при 4 =- 1, 2, 3: 1) Л, =. О, 4 = О, тогда в уравнении 16) отсутствует 4-я переменная, и уравнение опи~~~~~т пиднндрнческуьэ ~о~ерхность. Если, например, Ла = да = О, то Л1т' ~- Лзц' + 2И1в'+ 2дар'+ с = О есть уравнение кривой нгоро~о порядка — напрааляиэпгей данной пилнидрической поверхпости', 2) Л, = О, 6~ ф О. ))усть, например, Лз = О, дэ ф О.

Тогда, ВыдеянВ полные квадраты, получим к + — =- Х, Л, дэ р + — = 1', Лэ С1 г + — = Е. 2па Л1 ~и + — ~ + Ля ~р + — ~ + Лэ ~г + — ~ + ст =- О. Л~ Х~ + Ла У'а + Ла Яа + с~ = О. Ла уа 7а 2. — — — =1 иа Ь' с Х' уа яа Ьч — однополостный снперболонд(Л~ О Ав > О, Ла ~ О). — аллиптнческнй параболонд (Л~ > О, Лв > О, Ла = О, Из т'-- О)- — - снпероолнческнй параоолонд (Л~ > О, А' ~ О, Ла = О, йа ф О).

-- гнпероолнческпй цилнндр ОА1 > О, Ла < О, Аз = па = О). Х 8. — — —,=О а~ Ьа — пара пересекавпцнкся плоскостей (Л~ > О„Ла < О, Ла =- Иа = О). 16, Х' = 2р)' — парабол пческий цнлнндр ~Л ~ ~ О, Л„=-. О, Ла =- Иа =- О), Прнмер 4. Нрнвестн уравненне крнвой 7уа + 2кр .ь 7ра + $: + 28ч'2ас + 4ч'2р + 8 = О ортиональным преобратованнем н параллельным переносом к каноннческому внду.

Ъкаакть преобраао- $ ванна. Йостроить крнвую н все иапольауемые системы кпординап Ретпенае. Квааратнчнаа форма )'(ж, р) = ив + 2кр + 76~, ее матрацев Характернстнческое уравненке матрнцы ~ = — Л вЂ” 14А + 48 =- О ~7 — Л 1 имеет корна Л~ = 6, Ла =- 8, Находам собственные векторы, от- веча~осчне соб~~~ен~~м ткаченкам А~ =- 6, Ла =- 8, на уравненна (.4 — ЛИУ =- О, и получаем 11РН а1я = 8 собственнь1й ВЕКТОР. О'1Х =- О, У = О); О'1аз =- -2, д' = -2); О'1х = — 2Я, д = О), 1 1 1 КЯ 0 к~+ха=-0 + 1 1 собстВенный — 1,~ Вектор.

11ОРмиддема полдчачем е| = — —, еа = — — --- орго- ГОнальные ВектОры, Отвечакащяе разным сОбстВенным числам. 1а4атрица Ортов ОнальноГО преобразОВання Поскольку Оргогональное преобразование сохраняет Орнентацн10, Оно является поворОтом на угол сь Где сгмо — Я1по ~) ~ сово =-1/Яа аг Р= 1 а|по свао / ' ) в1по = — 1/ъа2 ' ' 4 Этомд ортогональному преобразованнка соответ ствует линейная звМаиа ЛЕРа; ЬГЕБНЫЛ Г, + д )Я+ Г..а ..')1, + д') + -1-;.'+ У')'+ 2йл'+ д') + + 4(-ж' + у ) + 8 = бж" + 8у' + 24К'+ 82д' + 8 = 6~к' + 2)" + + 81у'+ 2)~ — 48 = 0 11олтчаем каноническое уравнение запа1нпса,' где а = ьа8, 6 = 6, с центром В точке О',координаты которой такоВы: С~доим декартову систему координат ЯОу на векторак 4 и ~. Даопределяют новые координатные оси Ока и Од', В атой системе отмена"'м точку О' с кООрлннагами к' = — 2. д' = — 2, которая является началом системы коОрдннат ХО а, Где Ось О Х параллельна оси Ок', а ось О'1" параллельна осн Оу' (рис.

1). Прнмер 5, Привести уравнение кривой бра + 8аеу — 4аЛЛ— — 8ааабу — 26 = Оортогональным преобразованием и параллельным переносом к каноническому Виду, Указать преобразования. Построить крнвдго и Все нспользуемьге системы координат. Репыаие. Квадратичная форма Дж, у) = бра + 8тд, ее матрица— — 2х'з+ 8у' — 4~а'+ 2у') — 8( — 2к + у ) — 26 = 2"' + бу + 12л' -- 16у' — 26 = — 2~2/ — 3)з + 8(у' — 1)2 — 16 = 0 ~ж' — 3)' Ь' — 1)з 3 2 Делаем параллельный перенос: Получаем каноническое уравнение сопраьченной гиперболы: Х' уа = — — — = — 1, о бз где а =- -Л, 8 = Л.

Строим декартову систему координат кОу 1 ~г 1 на векторак 1 н я. Далее в ией строим векторы е', 1 1'2~ и е = — — 1 /, они определякгг новые координйгиые оси Оес '3 /~ и Оу'. В зтой ~и~теме о~~очке~ точк1' О' с координатами й' = 3, у' = 1, котораа валяется началом системы координат ХО'У, зде ось О'Х параллельна оси Ож', а ось О'У параллельна осн Оу' 1рис. 2).

3 Пример 6. Привести уравнение кривой -16к — у- + 3жу + + 6Л 7 х — 10 Лт у + 51 = 0 ортогональным преобразованием н парыглельным переносом к к~~~~~~ескому-. виду. Указать преобра- зования. Построить кривую н все используемые системы координат. а з Реп|ение, Квадратичная форма 11ж, у) = — 16х — и-+ 8ху, ее матрипа— (-$6 у ) Характеристическое уравнение магрицы: Обраяовайия -2ат+Зса+2дт —, и Делаем параллельный перенос: х' — 1=- Х; имеет корни Лт =- — 17, Ля = б.

Находим собственные векторы, отвечакипие собственным тнйчснияь«Л« — — — 1 и Аа = б, ий уравнения (А — ЛЕ)с = О. При Л« — — --17 — — собствеппяьпЗ Вектор. Так как собственные писла различны, отсечен«пи1С нм собствсп- 7 ныс вскп«ры О1лОГОнйльпы, Кормируя, пол«чаем 6« =, ея = .— . Матрица ОртОГснальпОГО пре- «/17 ' ~с 17 Р =- — ==-, <1ет Р = +1. Этому ортотонально«му !«рсо0разОВанию соответствует линейная аа" ЬГЕНЙ ПСРЕМСННЫХ + б(4' + р ) — 18( — '+ 4у') + 51 = — 17Я'- ч 34-, 34д + 51 =- О = —" 1в' — 1)а =- -Зу 2) Получаем каноническое уравнение параболы ХЯ =- 2рУ, у которой р = — 1, Стронь«декартову систем«" координатьсОр ий векторах) н ~. Далее в ней строим векторы с' = — — ~ ( и е~~ — — — ~ ), они опредсля«от новые координатные оси Ож' и Оч'.

В этой системс отмечаем точку О' с координатами т,' == 1. р' = 2„которая является ~а~а~пи сис*емы координат Л 0'У, Где ось О'Л параллельна Оси О:Г', а Ось 0'У па)мллслыпа Оси Ор' 1рис. 3). Пример 7. Привести уравнение поверхности 2а.в + бус + + 2Я~ — 4ср+ 8жг+ 4рг+18х+Збр+ Збз+ 'Я = О ортопональным про««брайованием к каноническому виду. Укайкть преобрйаовапнс перехода ОГ исходной дскартоасй Снетсмы ХООРДннат Осре к новой системе коо1«дникГ 0~ р'я'.

~.'делать параллельный перенос и~чала координат В точку О'. Построить поверхность в С~с~ем~ координат О'ХУЗ'. рсвтение. Квадратичная форма данной поверхности имеет вид 7(в р с) = Зс -'. Ор-+ 2: — 4тд+ Зсса+ 4уй, Ее матрица Задник*.м характеристическое уравнение матрниы А: ~2 — Л -2 — 2 5 — Л 2 ~ = — (Л~ --ЗА~+108) = О. 4 2 2 — Л,' ЕГо корни Л..

= — 3, Ля = Лв =-: б, ИвхОднм собстВснньсе Векторы, Отвсчаьоп'нс собственным Значениям Л« =- -3, Ля = ЛЙ = б, иа уравнения «А — ЛЕ)тб =- б. При Л« = -Зимеем Это вннейиаа енотема трен уравнений е трама ненэвеетиыми„определитель ее матрицы равен О, поэтому ранг матрицы меньше 3, ио 5 --2 базисный минор ~ ф О, поэтому ранг мвгрицы равен 2. Оетавввв первые два уравнение и повагав в~ = 2, подуваем вв = 1, вз = -2. Танин обраэом, еобетвеииому эианеитио Л~ = — 3 отвева- -2 -1 2 те = О Ранг матрицы Зтои системы равен 1, поэтому в енвгеме можно оетавнть одно уравнение жв = — 2х~ + 2тв, тогда общее решение этой системы вв = -2у~ + 2ва 2 1: евавврное проиэведение и 2 У~ 1 -2Й~ + 2вя = 2х~ — 2и~ + 2ва — 2ла = О, -2 ва е 2 и Лля собснюнното значения з: — 6 получим Отвечаизи1ий 1 ему собствеиньуй вектор Вз = 2, уже Ортотональныи вектору 2 2 — 1, отвечающему собственному значению Ау = — 3.