Автореферат (Динамика и геометрия квадратичных отображений), страница 3

Топологическая динамика отображения f может быть очень сложной, но мы хотим хотя бы как-то подойти к ее изучению. Один из способов это сделать состоит в следующем. Разрежем сферу вдоль некоторого множества Z (конечного объединения простых кривых) и всех егопрообразов. Как и раньше, мы получим топологическую динамическуюсистему F : X → X на разрезанной сфере X. Мы будем говорить, чтоотображение F : X → X получено из отображения f : CP 1 → CP 1разрезанием.Мы сделали счетное число разрезов, но, на самом деле, с орбитами14почти всех точек ничего не произошло.

Поэтому следует думать, чтодинамика отображения F : X → X мало отличается от динамики отображения f . Впрочем, топология пространства X, конечно, очень сильно может отличаться от топологии сферы. Например, это пространствоможет иметь несчетное число компонент связности (как у канторовского множества). В очень общей ситуации, которая будет описана ниже,удается построить полусопряжение между топологической динамической системой F : X → X и некоторой гиперболической критическиконечной (то есть очень хорошей!) функцией R.

Таким образом, можно изучать динамику отображения F : X → X (а значит, и динамикуотображения f : CP 1 → CP 1 ) при помощи полусопряжения с хорошейгиперболической рациональной функцией. Более того, эту хорошую рациональную функцию можно выбрать очень многими способами (какправило, есть бесконечное число способов).Сформулируем это утверждение более точно. Нам понадобится некоторое отношение на множестве рациональных функций, определениекоторого напоминает определение комбинаторной эквивалентности, нокоторое на самом деле гораздо слабее (в отличие от комбинаторнойэквивалентности, этим отношением будут связаны очень многие парырациональных функций).

Пусть f и R — рациональные функции, причем функция R является критически конечной. Скажем, что функцияR изображает функцию f , если f топологически сопряжено разветвленному накрытию, гомотопному отображению R, причем в ходе гомотопии множество R(PR ) остается неподвижным (напомним, что PR обозначает посткритическое множество отображения R). Разница с определением эквивалентности по Терстону состоит только в том, что множество PR заменилось множеством R(PR ). Но смысл определения приэтом поменялся совершенно радикально! Если R изображает функциюf , то эти две функции не обязаны иметь ту же самую структуру критических орбит. На самом деле, критические орбиты отображения f15могут вести себя сколь угодно сложно.

Про R мы требуем, чтобы этафункция была гиперболической. В частности, у нее есть хотя бы одинсуперпритягивающий цикл. Это означает, что у f тоже должен бытьхотя бы один суперпритягивающий цикл, более того, структура суперпритягивающих циклов отображдения f должна быть такой же, как иструктура суперпритягивающих циклов отображения R. Однако почтиничего больше не требуется. Например, кроме периодических критических точек, у f могут быть сотни других критических точек, чьи орбитымогут вести себя произвольно плохо.

Если зафиксировать функцию f ,то, как правило, имеется очень большая свобода выбора функции R.Теорема 1 Пусть f : CP 1 → CP 1 — рациональная функция, R :CP 1 → CP 1 — критически конечная гиперболическая рациональнаяфункция, изображающая функцию f .

Тогда существует такая разрезанная сфера X и соответствующее отображение F : X → X,получающееся из f разрезанием, такие, что топологическая динамическая система F : X → X полусопряжена динамической системеR : CP 1 → CP 1 .Напомним, что пространство X и отображение F : X → X полностью определяются выбором начального множества Z, вдоль которого сфера разрезается на первом шаге (дальнейшие шаги определеныоднозначно и сводятся к разрезам вдоль прообразов множества Z). Вформулировке теоремы множество Z тоже связано квантором существования.

Но для конкретных приложений, конечно, очень важно, какимименно образом выбирается это множество. Прежде, чем переходить кконкретным примерам, отметим только, что множество Z можно выбрать очень многими способами. По существу, оно определено только сточностью до некоторой гомотопии.

В частности, можно считать, чтооно состоит из сколь угодно гладких кривых, или даже вещественнополуалгебраических кривых.16Теорему 1 можно сделать более явной для определенных комплексных одномерных пространств параметров квадратных рациональныхфункций. Динамика всего отображения во многом определяется поведением орбит критических точек. Рациональная функция степени дваимеет две критические точки. Поэтому, если зафиксировать простое динамическое поведение одной из них, то останется лишь одна “свободная”критическая точка.

Обычно требуют, чтобы одна из критических точекбыла периодической с фиксированным периодом k. Пространство такихквадратичных рациональных функций обозначается через P erk (0). Более точно, пространство P erk (0) определяется как пространство классовсопряженности рациональных функций R степени два с отмеченнымикритическими точками c1 и c2 , таких, что R◦k (c1 ) = c1 (причем ни прикаком меньшем значении k это равенство не выполнено).

Под классами сопряженности мы понимаем орбиты группы голоморфных автоморфизмов сферы Римана, действующих на рациональных функцияхсопряжениями.Пространства параметров P erk (0) представляют собой одномерныесрезы двумерного пространства параметров всех рациональных функций (с отмеченными критическими точками и рассматриваемых, конечно, с точностью до сопряжений автоморфизмами сферы). Например,при k = 1, получаем пространство квадратных многочленов z 2 + c.Классы гиперболических отображений в P erk (0) образуют открытоемножество, компоненты которого называются гиперболическими компонентами.

По определению, гиперболическая рациональная функциястепени 2 с отмеченными критическими точками c1 , c2 , представляющая элемент пространства P erk (0), имеет тип С, если точка c2 раноили поздно отображается в цикл непосредственных бассейнов притяжения орбиты точки c1 , но не лежит в этом цикле. Топологическиемодели для всех отображений, соответствующих граничным точкам гиперболических компонент типа С, могут быть построены при помощи17переклейки.В случае k = 2, имеется единственная гиперболическая компонента типа В.

У отображений, соответствующих внутренним точкам этойкомпоненты, обе критические точки c1 и c2 лежат в одном и том же2-цикле непосредственных суперпритягивающих областей. Для отображений, соответствующих граничным точкам этой компоненты, построены явные топологические модели в терминах ламинаций и спариваний.Геометрия. В 1820х годах, Август Мебиус доказал такую теорему.Пусть f : RP 2 → RP 2 — непрерывное взаимно-однозначное отображение, переводящее все прямые в прямые. Тогда f является проективным(то есть дробно-линейным) преобразованием. Немного позднее, фонШтаудт обнаружил, что условие непрерывности можно убрать.

Имеется локальный вариант этой теоремы про непрерывные преобразованияиз одной открытой области в другую, переводящие отрезки прямых вотрезки прямых. Кроме того, Мебиус доказал, что если непрерывноевзаимно-однозначное отображение f : S 2 → S 2 переводит окружностив окружности, то f является преобразованием Мебиуса, то есть принадлежит группе, порожденной инверсиями относительно окружностей (атакже локальный вариант этого утверждения). Обе теоремы Мебиусанепосредственно обобщаются на любые размерности. Теоремы Мебиуса описывают автоморфизмы классических геометрических структур:проективной структуры и сферической структуры (структуры Мебиуса).При изучении геометризации многообразий, естественным образомвозникли задачи описания морфизмов между различными геометрическими структурами.

Например, морфизмом между проективной и сферической структурами естественно называть отображение, переводящеепрямые в окружности. Более точно: пусть f : U → V — достаточное число раз дифференцируемое отображение из открытого подмножества U18проективного пространства Rn в открытое подмножество V сферы S n .Мы будем говорить, что отображение f переводит прямые в окружности, если для всякой прямой L ⊂ RP n , множество f (U ∩ L) принадлежит некоторой окружности в S n (напомним, что окружностями вS n называются пересечения S n с двумерными плоскостями). Возникаетзадача: как описать все достаточно гладкие отображения из открытого подмножества проективного пространтсва в открытое подмножествосферы той же размерности, переводящие прямые в окружности?Хотя главным образом интерес (автора) к этой задаче объясняется чисто математическими причинами, впервые эта задача возникла изпрактики.

В начале–середине двадцатого века для быстрых вычисленийс функциями многих переменных активно использовались номограммы.Существует два важных класса номограмм. Так называемые номограммы из выровненных точек использовали для вычислений линейку, а такназываемые циркулярные номограммы использовали для вычисленийциркуль.

На практике удобней использовать циркулярные номограммы, хотя теоретически проще рассматривать номограммы из выровненных точек. Таким образом, возникает задача: описать все отображения,переводящие номограммы из выровненных точек в циркулярные номограммы. Другими словами, описать все отображения, переводящиепрямые в окружности. В этом виде задача была впервые поставленаизвестным советским специалистом в области номографии Г.С. Хованским. Задача была первоначально сформулирована только в размерности 2: описать все взаимно однозначные достаточно гладкие отображения из открытого подмножества U ⊂ R2 в открытое подмножествоV ⊂ R2 , переводящие прямые в окружности.

В этом виде задача была полностью решена А.Г. Хованским: с точностью до проективногопреобразования в прообразе и преобразования Мебиуса в образе, такихотображений только три, и они соответствуют классическим моделямклассических геометрий — евклидовой геометрии, сферической (эллип19тической) геометрии и гиперболической геометрии (геометрии Лобачевского). Ф. Изади обобщил этот результат на размерность три.Выяснилось, что утверждение нарушается уже в размерности 4.Контрпримеры связаны с кватернионными расслоениями Хопфа.Теорема 2 Пусть f : U → V — достаточно гладкий диффеоморфизм между связным открытым подмножеством в RP 4 и открытым подмножеством в S 4 , переводящий прямые в окружности. Тогда, либо f имеет вид f = M ◦ φ ◦ P , где M — преобразование Мебиуса,P — проективное преобразование, а φ — одно из трех отображенийφEuc , φEll и φHyp , соответствующих классическим геометриям, либоf совпадает (на множестве U ) с композицией проективного вложения L : RP 4 → RP 7 и (левого или правого) кватернионного расслоенияХопфа H : RP 7 → S 4 .Заметим, что даже если рассматривать отображения f : U → V , переводящие прямые в окружности, с точностью до проективных преобразований в прообразе и преобразований Мебиуса в образе, то, помимотрех отображений, соотвествующих классическим геометриям, мы получаем два двенадцатипараметрических семейства отображений, приходящих из кватернионных расслоений Хопфа.Задача об описании отображений, переводящих прямые в окружности, в высоких размерностях связана с некоторыми вопросами алгебрыи алгебраической геометрии, которые очень сложны, несмотря на исключительно простые формулировки.