Автореферат (Динамика и геометрия квадратичных отображений)

УЧРЕЖДЕНИЕ РОССИЙСКОЙ АКАДЕМИИ НАУКИнститут проблем передачи информации им. А.А. Харкевича РАННа правах рукописиУДК 517.9Тиморин Владлен АнатольевичДИНАМИКА И ГЕОМЕТРИЯКВАДРАТИЧНЫХ ОТОБРАЖЕНИЙСпециальность01.01.02 – дифференциальные уравненияАВТОРЕФЕРАТдиссертации на соискание ученой степенидоктора физико-математических наукМосква – 2011Работа выполнена на факультете математики национального исследовательского университета Высшая Школа ЭкономикиОфициальные оппоненты:доктор физико-математических наук,А.А. Аграчев,доктор физико-математических наук,профессор Ю.С. Ильяшенко,доктор физико-математических наук,профессор Г.Б.

Шабат,Ведущая организация:Петербургское отделение математического института РАНЗащита состоится 17 января 2012 годав 1600 часов на заседанииДиссертационного Совета Д.002.077.03 приинституте проблем передачи информации РАН им. А.А.Харкевичапо адресу:127994, г.Москва, ГСП-4, Большой Каретный переулок, 19, стр.1.С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке института проблем передачи информации РАН им.

А.А.ХаркевичаАвтореферат разослан "_____ "_____________ 2011 годаУченый секретарьДиссертационного Совета Д.002.077.03,кандидат физико-математических наукА.Н.Соболевский2ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫАктуальность темы. В настоящей работе изучаются квадратичныеотображения с динамической и геометрической точек зрения. Квадратичное отображение из RP n в RP m или из CP n в CP m — это отображение, заданное в однородных координатах однородными квадратичнымиформами.С динамической точки зрения мы будем рассматривать квадратичные рациональные отображения сферы Римана в себя, то есть ограничимся случаем m = n = 1.

Изучение таких отображений было инициировано французскими математиками Фату и Жюлиа в первой половине20-го века. Их результаты были основаны на аналитической техникеМонтеля, разработанной незадолго до этого. Однако качественный прорыв в этой обрасти произошел в 1980-ых, когда появилась возможностькомпьютерной визуализации одномерных комплексных динамическихсистем. Интерес к этим системам возобновился благодаря методу Ньютона.

Это метод приближенного решения алгебраических уравнений,который сходится очень быстро, если первое приближение выбрано достаточно удачно. Возник вопрос: как зависит работа метода Ньютона отвыбора первого приближения. С целью исследования этого вопроса были получены первые компьютерные картинки динамической плоскости,изображающие множество Жюлиа и множество Фату.В работах Дуади и Хаббарда были заложены основы современной одномерной комплексной динамики. При этом они (вполне обоснованно)ограничились рассмотрением лишь рациональных отображений степенидва, а большинство результатов было получено даже для более конкретного семейства квадратных многочленов f (z) = z 2 + c.

Даже про этосемейство остаются важные нерешенные вопросы. Под влиянием Дуади и Хаббарда, многие замечательные математики стали заниматьсяодномерной комплексной динамикой, и принесли в нее методы тополо3гии и квазиконформного анализа. Стоит упомянуть работы Терстона,Салливана, Милнора, Любича, Рис.В настоящий момент динамика многочленов изучена намного лучше, чем динамика рациональных функций.

Это связано в первую очередь с тем, что комбинаторные вопросы про многочлены оказываютсягораздо проще. Комбинаторная техника паззлов Йоккоза свела многие динамические вопросы к вопросам анализа. К сожалению, подобная комбинаторная техника для случая рациональных функций покане создана. Поэтому важной задачей представляется задача разработки общих методов построения топологических моделей для рациональных функций (топологичекие модели многочленов с достаточно простойдинамикой могут быть получены при помощи ламинаций Терстона), атакже идентификации различных динамически важных частей сферыРимана (в случае многочленов, эту задачу решают паззлы Йоккоза).Разработке таких методов посвящена часть настоящей диссертации. Аименно, определена весьма общая хирургическая операция, позволяющая в некотором смысле отображать динамику сложных рациональных функций в динамику простых рациональных функций. Разобранонесколько конкретных примеров, в которых полученная техника позволяет как строить топологические модели, так и выделять динамическизначимые части.Вторая часть диссертации посвящена геометрии квадратичныхотображений.

При этом рассматриваются более высокие размерности.Эта часть имеет еще более давнюю историю. В фундаментальной работе Мебиуса (1827) были заложены основы проективной и конформнойгеометрий. При этом исследовались те преобразования, которые сохраняют ту или иную геометрическую структуру. Например, Мебиус ввелколлинеации (т.е.

непрерывные отображения, переводящие прямые впрямые) и преобразования Мебиуса (т.е. непрерывные отображения, переводящие прямые в окружности). Другими словами, коллинеации со4храняют проективную структуру, а преобразования Мебиуса сохраняютсферическую структуру. Возникает вопрос о том, какие отображения“переводят” одну структуру в другую.

Это интересно в связи с задачами геометризации и просто как непосредственное продолжение исследований Мебиуса. К задачам такого же рода приводили и практическиевопросы, связанные, например, с номографией или архитектурой. Одинспособ конкретизировать задачу такой: описать все достаточно гладкиеотображения, переводящие прямые в окружности.Как выяснилось в работах автора, в высоких размерностях эта задача связана с отображениями Хопфа, представлениями алгебр Клиффорда, формулами Гурвица. Получены явные ответы в размерностях 2,3 и 4 (ответ в размерности 4, полученный автором, сильно отличаетсяот ответов в размерностях 2 и 3; в нем фигурируют кватернионные расслоения Хопфа). В больших размерностях, вопрос остается открытым.Его удалось частично свести к чисто алгебраической задаче описанияквадратичных отображений, переводящих проективное пространство вквадрику. Однако эта алгебраическая задача очень сложна.

Она содержит в качестве конкретизации известную задачу Гурвица 1898 года опроизведениях сумм квадратов.Интересна также более общая задача: описать достаточно гладкиеотображения, переводящие прямые в коники. Здесь эта задача обсуждается только в размерности два. Описаны выпрямляемые пучки коник,проходящих через одну точку, а также все достаточно гладкие отображения, переводящие отрезки прямых в части коник из трехмерноголинейного семейства.Цель работы. Диссертация преследует следующие научные цели. Впервой части, посвященной динамике рациональных функций на сфереРимана:• изучение хирургических операций, преобразующих одни рацио5нальные функции в топологические модели других рациональныхфункций;• построение топологических моделей для рациональных функций;• разработка методов описания грубой комбинаторной структурырациональных функций.Во второй части, посвященной преобразованиям, переводящим прямыев коники:• классификация отображений, переводящих отрезки прямых в дуги окружностей;• установление связей между задачами о классических геометрических структурах и задачами квадратичной алгебры (формулы Гурвица, представления алгебр Клиффорда, дробноквадратичные отображения в квадрики);• классификация отображений, переводящих отрезки прямых в части коник.Методы исследования.

В первой части широко используются топологические и аналитические методы. Ключевое соображение при доказательстве общей теоремы о существовании полусопряжения состоит вравномерной сходимости алгоритма Терстона. Алгоритм Терстона применяется в необычной ситуации, а именно, не к гомеоморфизму сферы, а к отображению из более сложного топологического пространствав сферу. При построении топологических моделей использована техника голоморфных движений, а также аналоги паззлов Йоккоза длянекоторых (достаточно специальных) классов рациональных функций,предложенные Луо. Во второй части используются методы алгебраической геометрии и теории вполне интегрируемых систем. Например,6классификация четырехмерных отображений, переводящих прямые вокружности, состоит из двух частей.

Первая часть имеет дело с выпрямляемыми пучками окружностей и является по существу алгебраической. Вторая часть связана с явным интегрированием переопределенной системы дифференциальных уравнений с частными производными.Эта система оказывается вполне интегрируемой. Явное интегрированиепроизводится по методу Картана, а именно, последовательными переходами к уравнениям интегрируемости.Научная новизна.

Диссертация содержит следующие новые результаты и методы• Новая общая схема топологической хирургии для рациональныхфункций (переклейка). Эта хирургическая операция позволяет, содной стороны, строить явные топологические модели для рациональных функций. С другой стороны, она оказывается полезнойпри изучении общих свойств негиперболических функций.• Построены явные топологические модели для рациональныхфункций на границах компонент типа C в параметрических срезах P erk (0). В параметрическом срезе P er2 (0) построены явныетопологические модели для функций на границе гиперболическойкомпоненты типа В (топологические модели для функций на границах компонент типа С в этом параметрическом срезе были известны).• Получено новое обобщение классической теоремы Мебиуса-фонШтаудта: дана классификация отображений из открытого множества проективной плоскости в проективное трехмерное пространство, которые переводят отрезки прямых в дуги плоских кривых• Дано описание всех достаточно гладких диффеоморфизмов между открытым подмножеством в RP 4 и открытым подмножеством7в S 4 , которые переводят отрезки прямых в дуги окружностей.

Вразмерностях 2 и 3 эта задача была решена раньше. Результатв размерности 4 неожиданно сильно отличается от соответствующих результатов в размерностях 2 и 3. А именно, в ответе фигурируют кватернионные расслоения Хопфа.• Обнаружена связь между задачей описания отображений, переводящих отрезки прямых в дуги окружностей, и некоторыми давно стоящими (более 100 лет) задачами алгебры, например, задачей описания квадратичных отображений из проективных пространств в квадрики (в качестве специализации, эта задача включает задачу Гурвица 1898 года о произведениях сумм квадратов).• Описаны локальные отображения проективной плоскости, переводящие отрезки прямых в части коник одной и той же линейнойсистемы размерности три.Научная значимость работы. Результаты диссертации будут полезны для построения топологических моделей рациональных функций.Кроме того, они могут служить основой построения комбинаторной техники, напоминающей технику паззлов Йоккоза из полиномиальной динамики.