Автореферат (Динамика и геометрия квадратичных отображений), страница 2

Соответствующая техника может в дальнейшем применятьсяк задачам жесткости. Полученные геометрические результаты получают развитие в работах по вполне-интегрируемым системам (В. Матвеев, С. Табачников) и в математических исследованиях архитектурныхформ (Ф. Нилов, Х. Поттман, М. Скопенков, Л. Ши). Они могут бытьполезны, например, для решения старой задачи Бляшке о тканях изокружностей и других задач классической геометрии.Апробация работы.

Часть настоящей работы была удостоена премии П. Делиня. Работа частично поддержана грантами РФФИ и Ми8нобрнауки (Президентский грант для поддержки молодых кандидатовнаук).Результаты диссертации докладывались на семинаре отдела дифференциальный уравнений МИАН, московском семинаре Глобус, семинареНМУ по пространствам модулей кривых, семинаре лаборатории алгебраической геометрии и ее приложений НИУ ВШЭ, семинаре МГУ подинамическим системам, летней школе по динамическим системам, намеждународных конференциях• Polynomial Matings 8.06.2011 - 11.06.2011 Франция, Тулуза• Ahlfors-Bers Colloquium 2011, 24.03.2011 - 27.03.2011 США, Хьюстон• Texas Ergodic Theory Workshop 22.03.2011 - 23.03.2011 США, Хьюстон• Frontiers in Complex Dynamics 20.02.2011 - 25.02.2011 Канада,Банф• Holomorphic dynamics around Thurston’s theorem 27.09.2010 1.10.2010 Дания, Роскильде• Advances in low dimensional dynamics 8.06.2009 - 13.06.2009 США,Stony Brookа также на научных семинарах, конференциях и симпозиумах в университете Бостона (США), институте Анри Пуанкаре в Париже (Франция),исследовательской станции в Обервольфахе (Германия), университетеЛиверпуля (Великобритания), университете Якобса в Бремене (Германия), университете Геттингена (Германия), университете Марбурга(Германия), математическом институте им.

М. Планка в Бонне (Германия), университете Закатекаса (Мексика), университете Пенн Стейт9(США), университете Торонто (Канада), Филдсовском институте (Канада), университете Массачусетса в Амхерсте (США), университетеЙейля (США), городском университете Нью Йорка (США).Объем и структура диссертации. Общий объем диссертации составляет 230 страниц. К диссертации прилагаются два добавления. Диссертация состоит из введения, двух глав и списка литературы из 50наименований.Публикации. Результаты диссертации опубликованы в 12 работах,список которых приведен в конце автореферата.10КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИДинамика.

Мы будем рассматривать топологические динамическиесистемы на двумерной сфере S 2 , порожденные непрерывными отображениями f : S 2 → S 2 . Если такое отображение f фиксировано, про негоможно думать как про некоторую геометрическую структуру на сфере.А именно, можно думать, что на сфере нарисованы стрелки, соединяющие x с f (x) для всех точек x ∈ S 2 . Конечно, форма стрелок не имеетникакого значения, единственная существенная информация — это то,какие пары точек соединяются этими стрелками. Мы рассматриваем топологические динамические системы с точностью до гомеоморфизма, тоесть топологического сопряжения. Гомеоморфизм между двумя топологическими сферами со стрелками должен также переводить стрелки встрелки.Топологическая динамика не меняется при сопряжениях гомеоморфизмами.

Таким образом, чтобы изменить топологическую динамику,необходима топологическая хирургия, включающая разрывные операции (такие, как разрезы). Самый простой способ сделать разрез на сфере — это порезать вдоль некоторой простой кривой. Однако, если насфере нарисованы стрелки, изображающие динамическую систему f , торазрез сферы вдоль кривой создает некоторые проблемы.

А именно, если мы режем через конец стрелки, то стрелка раздваивается. Это плохо,поскольку непрерывное отображение не может породить две стрелки,идущие из одной и той же точки в разные точки. Чтобы ликвидироватьэту проблему, нужно сделать дополнительные разрезы, а именно, нужнопровести разрезы через начала всех стрелок, концы которых оказалисьразрезанными. Иначе говоря, если мы разрезали сферу вдоль некоторой кривой, то нужно также разрезать сферу вдоль прообразов этойкривой. При этом опять возникают проблемы, поскольку мы опять будем резать через концы еще каких-нибудь стрелок. Таким образом, если11мы сделали разрез вдоль простой кривой Z ⊂ S 2 , то нужно также сделать разрез вдоль компонент прообраза f −1 (Z), вдоль компонент второго прообраза f −2 (Z), и т.д.

Всего нужно будет сделать счетное числоразрезов. После того, как все разрезы сделаны, получится некоторое топологическое пространство X. Мы позже определим это пространствоболее точно как обратный предел последовательности топологическихпространств. Назовем пространство X разрезанной сферой.На разрезанной сфере X уже корректно определены стрелки (всенеприятности были разрешены).

Таким образом, имеется корректноопределенное непрерывное отображение F : X → X. Заметим, что топологическая динамическая система F : X → X определяется однозначно отображением f и кривой Z, вдоль которой был сделан первыйразрез (мы будем называть эту кривую первым разрезом). Мы такжебудем рассматривать более общую ситуацию, когда первый разрез Zпредставляет собой не одну простую кривую, а объединение нескольких простых кривых.Допустим, мы хотим построить топологическую модель для рациональной функции g : CP 1 → CP 1 , зная очень хорошо, как устроена топологическая динамика рациональной функции f : CP 1 → CP 1 .Один из способов это сделать — применить топологическую хирургию котображению f , результатом которой будет топологическая модель дляотображения g. Я разработал вариант такой топологической хирургии.Этот вариант называется переклейка.

Переклейка начинается с разрезания сферы вдоль простой кривой и всех ее прообразов относительноотображения f . Полученная разрезанная сфера затем склеивается подругому (не так, как она была разрезана). Получается топологическоепространство, гомеоморфное сфере. На этом топологическом пространстве нарисованы стрелки, таким образом, мы имеем дело с топологической динамической системой на сфере. Во многих случаях, переклейка служит моделью рациональных функций.

При помощи переклейки12удалось получить топологические модели для однопараметрических семейств негиперболических рациональных функций. (Заметим, что топологические модели для однопараметрических семейств негиперболических квадратных многочленов до сих пор не получены — это оченьсложная открытая задача).Обсудим для простоты, что происходит при переклейке одной кривой (в динамической ситуации, недостаточно переклеить одну кривую;нужно переклеить счетное число кривых; но мы сейчас рассмотрим простейшую ситуацию, в которой никакой динамики нет).

Допустим, мыхотим переклеить отрезок [−1, 1]. Это можно сделать при помощи листа многозначного аналитического отображенияj(z) =√z 2 − 1.На дополнении к отрезку [−1, 1] в сфере Римана, это многозначное аналитическое отображение разпадается на две однозначные ветви. Однаветвь имеет вид z + o(z) при z → ∞, а вторая ветвь имеет вид −z + o(z)при z → ∞. Выберем, например, первую из этих ветвей (которая касается тождественного отображения на бесконечности) и будем ее обозначать той же буквой j. Значение j(z) имеет определенный предел пристремлении z к z0 ∈ [−1, 1] сверху, а также определенный предел пристремлении z к z0 снизу, но эти пределы не совпадают. С другой стороны, предел сверху в точке z0 совпадает с пределом сверху в точке 1 − z0 ,и то же верно для пределов снизу.

Таким образом, отображение j разрезает сферу Римана вдоль отрезка [−1, 1] и заклеивает образовавшийсякрай по-другому. Именно отображение j дает модель переклейки. Заметим, что вместо отрезка [−1, 1] мы могли бы взять любую другуюпростую кривую, соединяющую точки ±1 и симметричную относительно начала координат.Если мы переклеим одну кривую (например, при помощи отображения j), то из сферы снова получится сфера. Даже не просто то13пологическая сфера, а сфера с корректно определенной комплекснойструктурой, поскольку отображение j голоморфно.

Но все комплексныесферы одинаковы. Так что мы переклейкой ничего не добьемся, еслитолько на сфере нет еще дополнительной геометрической структуры. Вкачестве этой дополнительной геометрической структуры можно рассмотреть стрелки, порожденные динамикой некоторого отображения f .Тогда переклейка эту структуру меняет. Одновременно можно думать,что на сфере нарисовано множество Жюлиа отображения f .

При переклейке это множество тоже трансформируется. Нам нужно сделать бесконечное число переклеек. Это относительно просто, если все кривые,котрые нужно переклеить, не пересекаются, и их диаметр стремится кнулю. В этом случае после переклейки получится топологическая сфера(это можно доказать при помощи теории Мура). На переклеенной сферебудет нарисовано некоторое множество, и будут расставлены стрелки.Мы опишем ситуации, в которых эти стрелки соответствуют топологической динамике рациональных функций, а нарисованные множествасовпадают с множествами Жюлиа этих функций.Топологическая хирургия (обобщающая переклейку) может быть использована не только для построения явных топологических моделей.Допустим, мы хотим сказать что-нибудь содержательное про динамическое поведение негиперболической рациональной функции f : CP 1 →CP 1 .