Автореферат (Расслоения Гротендика и гомотопическая алгебра), страница 2

В частности, для ||-элементного множества не требуется,чтобы () было равно или даже эквивалентно O(||) × (1) . Информация о свойствахумножения в формализме Сигала кодируется, таким образом, целиком и полностью катего­рией Γ, так что для выбора остаётся куда меньше свободы. Можно было бы надеяться, что внекоторых ситуациях намного проще строить и работать с сигаловыми структурами, нежеличем с операдами. Более того, имеется значительное сходство между Γ-пространствами Сига­ла и факторизационными алгебрами: для факторизационной алгебры A, отображения вида(i) и (ii) дают, после перехода к слоям, диаграммы, в точности подобные (iv).Тем не менее, если мы попробуем продолжить формализм Сигала в недекартовы моно­идальные категории, например в категорию цепных комплексов, то мы немедленно попадёмв тупиковую ситуацию. Чтобы получить отображения вида (iii) в подходе Γ-пространств, мыиспользовали универсальное свойство декартового произведения ×, которое отсутствует длятензорного произведения ⊗ в DVect .Человечеству известен способ справиться, а точнее, уйти от этой проблемы.

Весьма из­вестное наблюдение [31, 37, 41] говорит нам о том, что всякая симметрическая моноидальнаякатегория M является слабо коммутативным моноидом в категории всех категорий, а зна­6чит, её можно описать, с точностью до эквивалентности, как Γ-категорию . То есть, —функтор из Γ+ в категории, такой что (1) ∼= M, и что отображения (iii), () −→∏︁ (1),являются эквивалентностями категорий. Для того чтобы не выбирать эквивалентность меж­ду M и (1), необходимо либо работать с псевдофункторами из Γ+ в категории, либо, чтоэквивалентно, с опрасслоениями Гротендика [19, 42] над Γ+ : каждое из понятий описываетслабое ковариантное Γ+ -индексированное семейство категорий.Для того чтобы [31] непосредственно получить опрасслоение Гротендика из симметри­ческой моноидальной категории M с моноидальным произведением ⊗, определим M⊗ каккатегорию∙ с объектами (, { }∈ ) где ∈ Γ+ и каждый является объектом M.∙ с морфизмами (, { }∈ ) → (, { }∈ ) состоящими из частично определённого отоб­ражения : → , и для каждого ∈ , морфизма ⊗∈ −1 () → .

В случае, когда −1 () пусто, моноидальное произведение над этим множеством равно единичному объ­екту. Композиции тогда можно определить с помощью изоморфизмов когерентностидля произведения ⊗ : M × M → M и единичного объекта.Естественный функтор : M⊗ → Γ+ — опрасслоение Гротендика, что, повторим, озна­чает, что отображение ↦→ −1 () = M функториально в слабом, но когерентном смысле.Рассмотрим коммутативный моноид ∈ M. Тогда можно задать сечение Γ+ → M⊗опрасслоения : M⊗ → Γ+ по правилу ↦→ (, { }), так что каждый = .

Сеченияэтого типа могут быть охарактеризованы посредством подходящих условий нормировки: еслирассмотреть отображение : → in Γ+ , значение сечения на определяется морфизмом! () → ( ) в M , где ! : M → M — функтор «перехода»! : (, { }∈ ) ↦→ (, { }∈ ), = ⊗∈ −1 .(v)В таком случае, сечение происходит из коммутативного моноида в M тогда и только тогда,когда для каждого инертного отображения : → , — частично определённого отображе­ния, индуцированного вложением : ˓→ , ∘ = , — соответствующее отображение! () → ( ) — изоморфизм. Отсюда следует, что () ∼= ((1), ...(1)) естественнымобразом.Нет, однако, очевидного способа написать диаграммы для условий сигала, используяязык сечений опрасслоения M⊗ → Γ+ . Очень важно заметить, что когда M = DVect и7ℎ > 0, коммутативные -алгебры (которые описываются как сечения) не являются вер­ными объектами для рассмотрения и не совпадают, даже с точностью до квази-изоморфизма,с E∞ -алгебрами.

Наконец, можно проверить, что операторные категории в смысле [6], отве­чающие E -структурам, не дают ничего большего, чем коммутативные или ассоциативныеалгебры в M, будучи рассмотренными в контексте категорных сечений.Вышеописанные наблюдения мотивируют [31] перейти к рассмотрению моноидальных∞-категорий, и в то время как получающийся формализм в принципе решает упомянутыепроблемы, размеры получающейся машинерии огромны.

Философским объяснением этогофакта может быть то, что замена M⊗ → Γ+ на высшекатегорный аналог означает взятиефибрантной замены внутри выбранной модели для высших категорий. Получающиеся в ре­зультате соотношения когерентности могут быть очень сложны для того, чтобы с ними ра­ботать.Цели и задачи диссертацииНаша основная цель — получить сигалово описание алгебраических структур, не меняяданных со стороны M. Мы бы предпочли иметь объект, который производит диаграммы вM следующей формы:(vi)(1) ∼= ( )! ()-(1),где ( )! — функтор перехода вдоль отображения : → 1, −1 (1) = . Можно затемпотребовать, чтобы левое отображение было слабой эквивалентностью, в случае если такиеесть в M. В большей общности, вместо M⊗ → Γ+ можно рассмотреть общие опрасслоенияГротендика E → C и задаться вопросом: есть ли способ определить объекты, такие что поотображению : → ′ в C мы бы получали диаграммы формы ! () ←− −→ (′ ) (где! : E() → E(′ ) — функтор перехода, индуцированный свойствами опрасслоения E → C).Тогда можно было бы потребовать, чтобы левая стрелка была слабой эквивалентностью, вподходящем смысле.

Наконец, условия нормировки (подобные тем, что появлялись для сече­ний-алгебр выше) вдоль подмножества S отображений C можно было бы сформулировать кактребования для −→ (′ ) быть слабой эквивалентностью в случае, когда принадлежитS.В рамках данной диссертации мы вводим производные, или сигаловы, сечения опрассло­ений со слабыми эквивалентностями, которые воспроизводят, в частности, диаграммы вида8(vi).Опишем вкратце конструкцию.

Для категории C, её симплициальной заменой [12] Cназовём категорию∙ объекты которой — наборы компонируемых морфизмов 0 → ... → в C произвольнойконечной длины ≥ 0,∙ морфизм между 0 → ... → и ′0 → ... → ′ состоит из отображения ординалов : [] → [] (где [] обозначает полностью упорядоченное множество из + 1 элементов0, 1, ..., ) такого что () = ′ для 0 ≤ ≤ .Если обозначить через ∆ категорию конечных ординалов, тогда C — (опфибрационная)конструкция Гротендика нерва C : ∆op → Set.

Отображения (0 → ... → ) ↦→ 0 или(0 → ... → ) ↦→ задают функторы ℎ : C → C и : C → Cop .Предположим теперь, что у нас есть опрасслоение : E → C. Также предположим, чтокаждый его слой E() := −1 () имеет слабые эквивалентности, и что, для каждого отоб­ражения : → ′ , функтор ! : E() → E(′ ), индуцированный свойством опрасслоения,сохраняет эти слабые эквивалентности. Тогда существует функтор C : E → C, такой что′∼E(c[] ) := −1C (c[] ) = E( ), и что для каждого : c[] → c[] существует естественно инду­цированный функтор E(c′[] ) → E(c[] ), изоморфный ()! : E(′ ) → E( ). В отличие от ,функтор C — расслоение Гротендика и описывает контравариантное семейство категорийнад C.Определим предсечение : E → C как сечение : C → E функтора C .

Предсеченияобразуют категорию PSect(C, E), которая естественно оснащена слабыми эквивалентностями.Предсечение , действуя на диаграмме вида → ′(vii)-′ ,даёт следующую диаграмму в E(′ ):( → ′ )(′ ).! ()Если левая стрелка в этой диаграмме, и, более общо, другие стрелки, получаемые примене­нием к сигаловым отображениям — морфизмам в C, индуцированным вложениями в ∆9на левый край, — в изоморфизмы, то можно доказать, что определяет обычное сечениеC → E исходного опрасслоения : E → C. Если же отправляет сигаловы отображенияв слабые эквивалентности, то мы называем такое предсечение производным сечением.Производные сечения опрасслоения E → C образуют категорию DSect(C, E) ⊂ PSect(C, E) синдуцированными слабыми эквивалентностями.Основные результаты диссертации, выносимые на защиту1.

Модельная структура Риди для полурасслоенийДля того чтобы работать с категорией DSect(C, E) или даже с PSect(C, E) гомотопиче­ским образом, необходимо иметь дополнительную структуру, например, модельную структу­ру в смысле Квиллена [35, 24, 20], или же разумное вложение в модельную категорию.Во-первых, необходимо иметь какую-то структуру на опрасслоении E → C. Мы пред­положим, что каждый слой E() — модельная категория, и что каждый функтор перехода! : E() → E(′ ) сохраняет фибрации и слабые эквивалентности.

Назовём такие опрасслоениямодельными. Тогда имеем следующее ([2, Теорема 10]):Теорема 1. Для модельного опрасслоения E → C, соответствующая категория предсече­ний PSect(C, E) обладает модельной структурой, со слабыми эквивалентностями заданны­ми поточечно.Модельная структура, даваемая этой теоремой, очень конкретна и напоминает во мно­гом обычную структуру Риди.Пример модельного опрасслоения даётся DVect⊗ → Γ+ : функторы перехода в этойситуации задаются, по существу, -кратными тензорными произведениями ⊗ : DVect →DVect , которые сохраняют сюръективные отображения и квази-изоморфизмы, но не ком­мутируют с пределами или копределами, будучи полилинейными по своей природе.

По этойпричине, техники для работы с семействами модельных категорий, разработанные ранее(например, [21]), оказываются неприменимы для предсечений.Таким образом, PSect(C, E) — модельная категория, и её локализация Ho PSect(C, E)вдоль слабых эквивалентностей хорошо контролируема. То же самое потому верно для ло­кализации Ho DSect(C, E). Мы не утверждаем существования модельной структуры на кате­гории DSect(C, E), и не видим причин ожидать её существования.