Автореферат (Расслоения Гротендика и гомотопическая алгебра), страница 3

Иметь объемлющую модель­ную категорию PSect(C, E), в точности как в случае вычисления гомотопических (ко)пределов10[12, 15], позволяет нам работать с производными сечениями на достаточно эффективномуровне.2. РезольвентыМы бы хотели иметь возможность строить интересные примеры производных сечений.Определение 2. Функтор : D → C называется резольвентой если для каждой последо­вательности компонируемых стрелок 0 → ...

→ в C, категория D(0 → ... → ) := {0 →... → | ( → +1 ) = → +1 } имеет стягиваемый нерв.Строго говоря, это определение верно только тогда, когда — изорасслоение. Дляпростоты изложения мы не будем обращать внимания на этот аспект.Любое модельное опрасслоение E → C можно перетащить назад вдоль функтора :D → C, что даёт модельное опрасслоение * E → D. Мы также имеем естественно индуци­рованный функтор F* : PSect(C, E) → PSect(D, E), который сохраняет производные сеченияи слабые эквивалентности между ними, что индуцирует функтор hF* : Ho DSect(C, E) →Ho DSect(D, * E).Напомним, что для изучения алгебр, нам также нужно рассмотреть подмножество Sотображений в C, и работать с теми сечениями, которые локально постоянны вдоль S.

Обыч­ное сечение : C → E является S-локально постоянным, если отправляет морфизмы измножества S в опдекартовы морфизмы E, то есть, образ : → из S под действием есть () → ! () для некоторого подходящего выбора функтора перехода ! . Подобноеже определение можно сделать для производных сечений. А именно, производное сечение : C → E является S-локально постоянным если для любого отображения C, индуцирован­ного вложением интервала на правый конец,(0 → ... → → ... → ) −→ ( → ...

→ ),так что вдобавок −1 → принадлежат к S для 1 ≤ ≤ , соответствующий образ(0 → ... → → ... → ) −→ ( → ... → )является слабой эквивалентностью E( ). Это определение, в частности, означает, что длялюбого отображения : 0 → 1 in S, обе стрелки в ассоциированной диаграмме(0 → 1 )! (0 )(1 ).11являются слабыми эквивалентностями.Обозначим через Ho DSectS (C, E) категорию S-локально постоянных производных се­чений. Имея функтор : D → C, обозначим через * S подмножество стрелок D, кото­рые отправляет в S. Функтор hF* можно естественно ограничить, индуцировав hF* :Ho DSectS (C, E) → Ho DSect * S (D, * E). Тогда имеем следующий результат ([2, Теорема 14]):Теорема 3. Пусть E → C — модельное опрасслоение, S — подмножество морфизмов в C,и : D → C — резольвента.

Тогда hF* : Ho DSectS (C, E) → Ho DSect * S (D, E) являетсяэквивалентностью категорий.Сей результат является своего рожа «швейцарским ножом»: он позволяет переходить отодной категории, Ho DSectS (C, E), к другой, Ho DSect * S (D, E), так что обе категории представ­ляют одну и ту же сущность, и этот факт можно использовать для доказательства большогоколичества более сложных утверждений.3. Гипотеза ДелиняПрименим полученный результат для того, чтобы доказать гипотезу Делиня в рамкахподхода производных сечений. Для начала, определим операторные категории B и T.Операторная категория B получается из стратифицированного фундаментального груп­поида Π(()) [43] пространства Рана [7] () двумерного диска .

Можно сказать,1что B является «утолщением» категории Γ, так что вместо симметрических групп, B ()есть группа || крашеных кос. Естественный функтор B → Γ позволяет нам взять опрассло­⊗ение DVect⊗ → Γ+ и индуцировать новое опрасслоение DVect → B+ . Производные сече­ния полученного опрасслоения отвечают факторизационным алгебрам на двумерном дискев смысле [7].Объект категории T — планарное дерево с корнем, частью вершин, отмеченных конеч­ным множеством, так что неотмеченные вершины (кроме корня) стабильны, то есть, имеютвалентность не менее трёх. Подобные деревья уже были рассмотрены в [27]. Отображениедвух планарных маркированных деревьев (, ) → ( ′ , ′ ) даётся отображением конечныхмножеств → ′ , и отображением определённого вида между клеточными комплексами,| | → | ′ |, связанными с деревьями.

Есть ещё одна категория T̃, чьи объекты те же, чтои в категории T, плюс вложение в двумерный диск , которое отправляет корень каждогодерева в одну и ту же отмеченную точку на границе. Забывание данных вложения индуци­рует эквивалентность категорий T̃→T,˜и забывание всего, кроме отмеченных вершин и их12вложений, даёт функтор T̃ → B. Таким образом, мы получаем функтор : T → B. Можнотогда доказать результат [2, Теорема 18], частично указанный в [26, 27]:Теорема 4. Функтор : T → B является резольвентой.Этот результат позволяет построить эквивалентность между категориями B и T-алгебр.Обозначим через DAlg(B, DVect ) полную подкатегорию DSect(B+ , DVect ), состоящую изпроизводных алгебр — тех производных сечений, которые локально постоянны вдоль под­множества инертных отображений B категории B+ .

Другими словами, можно потребоватьусловия нормировки ровно так же, как и в случае обычных сечений. Можно затем использо­вать функтор и получить опрасслоение DVect⊗ → T+ . Повторное применение Теоремы3 тогда позволяет доказать, что функторh* : Ho DAlg(B, DVect) → Ho DAlg(T, DVect)строго полон, и что его образ состоит из тех производных алгебр, которые * ((B+ )) локально постоянны, где (B+ ) обозначает подмножество изоморфизмов B+ . грубо гово­ря говоря, * ((B+ ))-локально постоянная производная T-алгебра отправляет в слабыеэквивалентности те отображения T+ , которые становятся изоморфизмами в B+ .

Таким об­разом, мы получаем воспроизведение производно-категорного результата, но в новом, неад­дитивном контексте.В отличие от B, категория T ведёт себя как комбинаторный объект и имеет конеч­ные множества морфизмов, так что строить объекты в Ho DAlg(T, DVect) относительно про­сто. Пример, описанный в диссертации, состоит в производной T-алгебре, соответствующей ∙ (, ). Благодаря вышеописанной эквивалентности, на комплексе Хохшильда также воз­никает структура B-алгебры, что даёт доказательство гипотезы Делиня в формализме про­изводных алгебр.Научная новизна, теоретическая и практическая значимостьПонятия производного сечения, модельного расслоения (и, более общо, полурасслоения)и некоторые вспомогательные математические объекты, например, нётеровы категории, яв­ляются новыми.

Теоремы 1, 3, а также Теорема 4 в описанной формулировке, — новые ре­зультаты.Данная диссертация имеет теоретический характер, и может быть полезна различнымспециалистам, как со стороны гомологической и гомотопической алгебры, так и математиче­ской физики. Значимость результатов диссертации — в описании алгебраического подхода,13альтернативного операдам, который позволяет дать новые, более прозрачные доказатель­ства уже известных утверждений, и исследовать структуры, неизвестные для описания вформализме операд.Несмотря на то, что гипотеза Делиня — не новый результат и служит для нас как,скорее, тестовый случай, мы склонны считать, что наша перспектива на доказательствогипотезы Делиня имеет определённые преимущества над операдным подходом.

Функтор : T → B имеет явную и относительно контролируемую комбинаторику, и существова­ние E2 -структуры на ∙ (, ) в формализме производных сечений — по большей части,формальное следствие того факта, что является резольвентой. Эта общая прозрачность— то, что заставляет нас верить в высокий потенциал формализма Сигала.Методология и методы исследованияОсновной математический аппарат, применяемый в диссертации — теория модельныхкатегорий в смысле [35, 20, 24, 36]. Методы исследования — применение различных приёмовгомотопической алгебры [12, 15, 36], с полным избежанием неявных конструкций наподобиекофибрантно-порождённых модельных структур или высших категорий.Апробация результатовВсе основные результаты диссертации опубликованы в работах1.

Бальзин Э. Р., Разрешения категорий и производные сечения // Успехи математиче­ских наук 69:5 (2014), страницы 918-9202. Бальзин Э. Р., Производные сечения, факторизационные алгебры и гипотеза Делиня// Математические заметки, 2016, том 100, выпуск 2, страницы 291–295Более подробное изложение и дальнейшие результаты содержатся в препринте3.

Edouard Balzin, Derived sections of Grothendieck fibrations and the problems of homotopi-calalgebra, http://arxiv.org/abs/1410.3387, to appear in Applied Categorical StructuresРезультаты диссертации были доложены на докладах на следующих конференциях исеминарах:1. Доклад «Factorisation categories, algebras and their applications» на конференции GAGC- 2013 (январь 2013, Марсель, Франция),142. Доклад «Resolutions of categories and derived sections» на семинаре группы ATG ла­боратории Ж. А. Дьедонне (сентябрь 2014, Ницца, Франция) и по той же теме нагомотопическом семинаре ВШЭ (октябрь 2014, Москва, Россия),3.

Доклад «Categorical resolutions in the context of homotopical algebra» на конференцииGAGC - 2014, (ноябрь 2014, Марсель, Франция),4. Доклад «Segal Sections and Categorical Resolutions» на конференции «Young TopologistsMeeting 2015» (июль 2015, Лозанна, Швейцария)5. Доклад «Reedy model structures for families» на семинаре группы ATG (май 2016, Ницца,Франция),6.

Доклад «Grothendieck Fibrations and Homotopical Algebra» в лаборатории Ж. А. Дье­донне (20 июня 2016, Ницца, Франция).15Содержание диссертацииГлава 1: Расслоения Гротендика. В этой главе мы вводим категорные понятия, необ­ходимые для нашего формализма. Во-первых, мы вводим понятие предрасслоений Гротенди­ка, которое, будучи весьма известным в фольклоре, не представлено в достаточном количе­стве изданных материалов. Более того, обычно рассматриваются расслоения, а не предрас­слоения: наш интерес в псевдотензорных категориях требует введения всех нужных понятийдля более общего определения предрасслоения.