Автореферат (Расслоения Гротендика и гомотопическая алгебра)

На правах рукописиБальзин Эдуард РафитовичРасслоения Гротендикаи гомотопическая алгебра01.01.06 – Математическая логика, алгебра и теория чиселАВТОРЕФЕРАТдиссертации на соискание ученой степеникандидата физико-математических наукМосква – 2016Работа выполнена на факультете математики Национального исследовательскогоуниверситета «Высшая Школа Экономики».доктор физико-математических наук,Научный руководитель:профессор РАНКаледин Дмитрий Борисович,ведущий научный сотрудник Математическогоинститута имени В. А. Стеклова РАН,кандидат физико-математических наукОфициальные оппоненты:Батанин Михаил Александрович,старший лектор математического факультетауниверситета Маккуори, Австралия;доктор физико-математических наукЯгунов Сергей Алексеевич,старший научный сотрудник отдела алгебры итеории чисел Санкт-Петербургского отделенияМатематическогоинститутаимениВ.А.Стеклова РАНФедеральноеВедущая организация:государственноеобразовательноеучреждениепрофессиональногообразованиябюджетноевысшего«Санкт—Петербургский государственный университет»(СПбГУ)Защита состоится 25 октября 2016 г.

в 15 часов на заседании диссертационного советаД002.077.03 на базе ИППИ РАН, расположенном по адресу: Большой Каретный переулок,д.19, стр.1, Москва, 127051.С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ИППИ РАН.Автореферат разослан «»2016 г.Отзывы и замечания по автореферату в двух экземплярах, заверенные печатью, просьбавысылать по вышеуказанному адресу на имя учёного секретаря диссертационного совета.Ученый секретарьдиссертационного совета,д.ф.-м.н.Соболевский Андрей НиколаевичОбщая характеристика работыАктуальность темы исследования, степень разработанностиФормализм операд [34] появился как способ описывать алгебраическую структуру —кратных пространств петель. Операдой O в категории топологических пространств Top на­зывается симметрическая последовательность пространств {O()}∈N , где каждое O() ∈ Topследует воспринимать как пространство операций с входами и одним выходом.

Вдобавокдолжны быть заданы отображения композиции O() × O() → O( + − 1) уважающие дей­ствие симметрической группы, ассоциативные и с единицами. Важный набор примеров опе­рад даётся так называемыми операдами маленьких -дисков E , для которых E () — с точ­ностью до гомотопии, конфигурационное пространство точек в -диске. Любое -кратноепространство петель является алгеброй над E , другими словами, заданы отображенияE () × → удовлетворяющие определённым условиям.Вместо категории топологических пространств можно рассмотреть произвольную сим­метрическую моноидальную категорию M с моноидальным произведением, обозначеннымчерез ⊗.

Определения операды и алгебры над ней легко обобщить: как в отображенияхкомпозиции, O() ⊗ O() → O( + − 1), так и в отображениях структуры O-алгебры,O() ⊗ ⊗ → , нужно вставить моноидальное произведение ⊗ вместо ×. В Top есте­ственно рассматривать операды и алгебры над ними с точностью до гомотопической экви­валентности. Если мы работаем в моноидальной категории M с заданной гомотопическойструктурой (например, M может быть моноидальной модельной категорией [24]), можнотакже изучать операды в M с точностью до слабой эквивалентности в смысле категорнойтеории гомотопий [15]. С этой точки зрения, в качестве операды в Top обычно обозначаемойкак E∞ можно взять любую операду O такую что O() стягиваемо со свободным действиемсимметрической группы [9, 11, 38].Конкретный пример категории, отличной от Top, даётся DVect , категорией цепныхкомплексов векторных пространств над полем .

Взяв сингулярный цепной комплекс каждо­го из пространств E (), составляющих операду -дисков, мы получим операду в DVect ,обозначаемую нами E . Алгебры над операдами E изучались с большим интересом в послед­ние годы. Примером E2 -алгебры является когомологический комплекс Хохшильда ∙ ()для -алгебры , который появляется во многих областях математики, например в кон­тексте топологических квантовых теорий поля [14]. Проблема существования структурыE2 -алгебры на ∙ () также известна как гипотеза Делиня, и чёткая её формулировка даёт­3ся с точностью до квази-изоморфизма: существует операда O в DVect , квази-изоморфнаяE2 , которая действует на ∙ ().

Доказательства этого результата (см., например, [8, 32, 39])состоят из большого количества работы по конструированию явной версии O, её действия на ∙ (), и цепочки квази-изоморфизмов, соединяющих O с E2 .Громоздкость доказательств гипотезы Делиня и формализма операд вообще происходитиз того факта, что две операды могут быть очень разных сложности и размера, и при этомописывать эквивалентные структуры.

Однако, существует другой подход к E -алгебрам, и,более общо, к структурам, связанным с конфигурационными пространствами, который осно­ван на формализме факторизационных алгебр, впервые введённых в [7]. Факторизационнаяалгебра A над пространством состоит из, грубо говоря, DVect -предпучка A на длякаждой степени ∈ N, вместе с дополнительной структурой.

Во-первых, даны отображениявида∆* A −→ A1(i)между ограничением ∆* A of A на самую малую диагональ ∆ : → и A1 . Вовторых, если обозначить через : ⊂ дополнение {( ) ∈ | ̸= } до всехдиагоналей, то должны быть заданы отображения* A −→ A1 ... A1(ii)между ограничением A на и -кратным внешним произведением A1 [7], от которыхтребуется, чтобы они были квази-изоморфизмами. В случае, когда это -диск, можнодоказать [31], что E -алгебры отвечают тем факторизационным алгебрам на , которыеконструктивны, что означает что каждый предпучок A локально постоянен на стратах длястандартной стратификации .Можно утверждать, что понятие факторизационной алгебры более естественно и кано­нично в сравнении с понятием алгебры над операдой.

Разница между двумя подходами осо­бенно заметна в малой размерности, например, в размерности 2. В этом случае можно заме­нить 2-диск и его степени на их стратифицированные [43] фундаментальные категорииΠ1 ( ), и рассмотреть, вместо конструктивных пучков, функторы Π1 ( ) → DVect .Таким образом, можно работать с куда меньшим набором данных, чем с парой, состоящееиз операды O, квазиизоморфной E2 , и O-алгебры. Это приводит к вопросу о том, существуетли общий «алгебро-гомотопический» формализм, который не имеет проблем неканонично­сти, связанных с выбором операды, и естественно воспроизводит подход факторизационныхалгебр к разного рода алгебраическим структурам.4В контексте пространств петель, подобный подход действительно существует и очень по­лезен на практике [37].

Обозначим через Γ категорию конечных множеств и их отображений,а через Γ+ категорию конечных множеств и частично определённых отображений: морфиз­мом → в Γ+ является отображение множеств, → определённое на подмножестве ⊂ . Тогда Γ-пространство определяется как функторΓ+-Topв категорию топологических пространств, который удовлетворяет условиям Сигала, описан­ным ниже. Зафиксируем одноэлементное множество 1. Тогда для любого множества иэлемента ∈ мы имеем соответствующее частично определённое отображение : → 1,заданное на подмножестве {}. Условия сигала заключаются в том, что, для каждого ∈ Γ* ,индуцированное отображение∏︀()∈( )-(1)(iii)является гомотопической эквивалентностью топологических пространств.Для каждого ∈ Γ+ есть ещё одно отображение в 1, : → 1, определённое на всёммножестве .

Мы можем рассмотреть диаграмму следующего вида()∈ ( )( )(iv)-∏︀(1)(1).Выбирая гомотопически обратный морфизм к левому отображению, мы получаем, некано­нически, операцию умножения : (1) → (1) in Top. Можно проверить, что в гомотопи­ческой категории Ho Top, тип, соответствующий (1), оснащён структурой коммутативногомоноида.Следует заметить, однако, что Γ-пространство несёт в себе значительно больше ин­формации, нежели чем структура гомотопического моноида на (1). В своей работе Сигал,точно так же как Мэй в случае с операдами, использовал Γ-пространства для описания бес­конечнократных пространств петель и машины распетливания. С современной точки зрения,Γ-пространство является правильным описанием гомотопически когерентно коммутативногомоноида в топологических пространствах. В частности, Γ-пространства описывают тот жекласс структур, что и E∞ -алгебры в Top.Вместо Γ можно рассмотреть другие категории, например, категорию O конечных пол­ностью упорядоченных множеств.

Можно затем похожим образом определить категорию O+ ,с отображениями → ′ даваемыми морфизмами → ′ , где ⊂ — вложение интерва­ла. Модифицируя определения надлежащим образом, можно моделировать ассоциативные5моноиды (без коммутативности) как функторы O+ → Top со специальными условиями.Явные примеры таких функторов можно получать из обычных пространств петель. Болееобщо, можно рассмотреть, вместо Γ и O, операторную категорию C в смысле [6]: с точно­стью до некоторых условий конечности, в C, по определению, существует конечный объект1 и выделенный класс «допустимых» мономорфизмов, которые получаются как композицииобратных образов отображений 1 → для ∈ C (требуется, чтобы эти обратные образысуществовали).

С помощью допустимых мономорфизмов можно ввести понятие частичноопределённых отображений и построить категории C+ (которые в основном тексте мы обо­значаем AC ). В работе [6] показано, что существуют операторные категории O , такие что-кратные пространства петель — примеры E -алгебр — могут быть описаны как сигалопо­добные объекты (O )+ → Top. С другой стороны, вместо Top можно рассмотреть любуюдругую гомотопическую категорию, то есть, категорию M с подкатегорией слабых эквива­лентностей W, такую что M имеет (гомотопические) произведения, и определить объектыСигала как функторы C+ → M, такие что отображения, подобные описанным в диаграмме(iii), являются слабыми эквивалентностями.Подход Сигала контрастирует с операдным в том, что умножения : (1) → (1) дляΓ-пространства не заданы канонически и вместо этого строятся с помощью свойств , в товремя как задать модель O для E∞ -операды в Top и алгебру над ней значит задать большоеколичество разных структур.