Автореферат (Расслоения Гротендика и гомотопическая алгебра), страница 4

Неверно, что для произвольного предрассло­ения, его категория сечений допускает пределы, даже если предрасслоение послойно полно.По этой причине, мы вводим специальный класс «нётеровых» категорий. ПредрасслоениеF → C с полными слоями над нётеровой категорией обладает тем свойством, что её катего­рия сечений Sect(C, F) полна. Мы не встречали понятие нётеровой категории в литературе,однако есть определённые сходства между нашим подходом и понятием обобщённых кате­горий Риди [10].

Затем мы вводим понятие полурасслоения E → D над факторизационнойкатегорией (D, L , R), и объясняем, как можно вычислять пределы и сопряжённые функ­торы через ограничение на правые или левые классы факторизационной системы. Понятиеполурасслоения также не встречается в литературе (за исключением похожего, но отличаю­щегося понятия амбирасслоения).Глава 2: Модельные структуры Риди. В этой главе мы изучаем полурасслоениянад категориями Риди, оснащённые модельной структурой. Мы доказываем Теорему 1 инесколько побочных результатов, необходимых в дальнейшем, рассматривая под конец гла­вы полурасслоения над категорией ∆.

Наше доказательство Теоремы 1 во многом обобщаетнаблюдения [21], но мы доказываем всё, от существования (ко)пределов до свойств подъёмаи факторизации, по индукции. Индуктивная процедура также позволяет нам строить сопря­жённые функторы между категориями сечений, работая с полурасслоениями E → C надфакторизационными категориями общего вида, то, что мы используем в этой диссертациидля проведения вычислений с производными сечениями.Глава 3: Производные сечения. В этой главе, которая во многом перекрываетсяс введением, мы вводим, на должном уровне строгости, понятия симплициальных замен,предсечений и производных сечений модельных опрасслоений Гротендика. Мы показываемтакже, как вложить обычные сечения в производные, и доказываем несколько результатов,которые связаны с поведением модельной структуры на предсечениях в ситуации, когда онаограничена на подкатегорию производных сечений.

Эти результаты будут нужны нам длядоказательств в последующих главах.16Глава 4: Резольвенты. Мы описываем понятие резольвенты и доказываем Теорему 3.Многие из конструкций Главы 4 интересны сами по себе, например, категория Π конечныхчастично упорядоченных множеств с начальным и конечным элементом, прямая категорияРиди K, состоящая из инъекций в ∆ (со скрученными отображениями между ними), как иразличные операции, проводимые над ними.Наша стратегия доказательства Теоремы 3 состоит в конструкции функтора прямого об­раза hF! : Ho PSect(D, * E) → Ho PSect(C, E).

В общей ситуации, этот функтор не сохраняетпроизводные сечения, пусть и можно нарисовать определённые диаграммы-домики, которыеуказывают на то, что hF! ведёт себя как левый сопряжённый к hF* . Тем не менее, если —резольвента, то hF! ограничивается до функтора hF! : Ho DSect * S (D, E) → Ho DSectS (C, E),который, как можно проверить, является эквивалентностью категорий, обратной к hF* .

Вэтом смысле, наш подход близок по своей философии к Костелло [14], который строит про­изводную эквивалентность посредством явного представления пары функторов с естествен­ными преобразованиями, которые становятся изоморфизмами после локализации. ФункторhF! вычисляется явным образом, что позволяет проверить сохранение всех необходимых усло­вий.Чтобы адаптировать наши результаты для ситуации операторных категорий, мы закан­чиваем главу доказательством более продвинутого результата, который относится к функто­рам между факторизационными категориями. Доказательство последнего факта включает всебя повторное применение Теоремы 3 вместе с большим количеством комбинаторики, обра­щающейся вокруг сплетённых произведений и подходящей версии нерва факторизационныхкатегорий.Глава 5: Сигаловы алгебры и гипотеза Делиня. Вводятся понятия операторныхкатегорий, моноидальных категорий над ними, и производных алгебр.

Мы изучаем резоль­венты в этой ситуации, приводя критерий, который позволяет обнаружить, когда функтормежду операторными категориями — резольвента. Мы используем этот критерий для дока­зательства Теоремы 4, утверждающей, что функтор : T → B — резольвента, и затемпоказываем, как построить сечение, отвечающее комплексу Хохшильда над категорией T.17ЗаключениеДля того, чтобы покрыть большой класс структур, мы разработали формализм Сигаладля (обобщённой версии) операторных категорий [6], и ввели алгебры Сигала как произ­водные сечения опрасслоений над операторными категориями.

Нужно принять во вниманиемножество формальных аспектов, чтобы иметь полную теорию алгебраических структур.Мы имеем несколько наработок, которые позволяют определять и изучать модули надсигаловыми алгебрами. Модулем над сигаловой алгеброй в DVect называется расширение с квадратом ноль, определяемое посредством процедуры, работающей над любой опера­торной категорией. Более того, весьма ясно, что категория модулей Mod триангулирована.Как следствие, можно попробовать определить деформационный функтор в подходе Сигала,используя для этого язык фильтрованных алгебр Сигала.Формальные но потенциально интересные вопросы включают в себя существование го­мотопических копределов алгебр сигала над данной операторной категорией, или тензорногопроизведения модулей и алгебр, конструкций свободной алгебры и более общих сопряжённыхфункторов между разными категориями алгебр Сигала.В текущей форме, формализм алгебр Сигала не имеет детально проработанной связини с формализмом операд, ни с общими факторизационными алгебрами [7].

Связи междусовершенными операторными категориями и топологическими операдами объяснены в [6].Наши примеры, впрочем, не попадают в класс совершенных, а потому связывание с операда­ми требует отдельных доказательств. Псевдотензорные категории выглядят тем обещающимязыком, который может позволить включить структуры типа PROP в наш язык.Отдельный интерес представляет вопрос, на что же можно заменить операторные ка­тегории. Имеются различные соображения на сей счёт, например, работа Батанина-Маркла[5], а также некоторые наработки Клеменса Берже.

Мы столкнулись с более общем поняти­ем в рамках данной диссертации, и мы полагаем, что в этом направлении можно сказатьбольше слов. Опять же, интерес представляют приложения, заключающиеся во вложениив формализм производных сечений тех структур, которые не допускают на данный моментмодельно-категорного описания, например, алгебр Хопфа, биалгебр и тому подобного, опи­сываемых на данный момент с помощью языка PROPов.Включение операд и PROPов в наш формализм интересно ещё и потому, что, в случаеDVect , наш формализм работает в простой характеристике так же хорошо, как и в характе­ристике 0, и нам было бы интересно изучить теорию деформаций операд как только удастсявложить их в сигалов подход.18Гипотеза Делиня появляется в интересной физико-математической работе [14].

Вообщеговоря, в последние годы стало ясно, что факторизационные алгебры и операды играют важ­ную роль в матфизике, описывая (или даже определяя) топологические квантовые теорииполя. С физической перспективы, E2 -алгебры описывают «древесные» диаграммы тополо­гических струн. «Высшие петли» струнных теорий описываются кривыми высшего рода.Можно изучать факторизационные алгебры для общих кривых, и пытаться найти альтер­нативное комбинаторное описание. Без упоминания деталей, закончим на том, что картинувысших родов можно также попробовать разработать в направлении теории Гротендика­Тейхмюллера, и мы надеемся, что алгебры Сигала позволят увидеть что-то новое в этомнаправлении.19Список литературыПубликации автора1.

Бальзин Э. Р., Разрешения категорий и производные сечения // Успехи математическихнаук 69:5 (2014), страницы 918-9202. Бальзин Э. Р., Производные сечения, факторизационные алгебры и гипотеза Делиня //Математические заметки, 2016, том 100, выпуск 2, страницы 291–2953. Edouard Balzin, Derived sections of Grothendieck fibrations and the problems of homotopicalalgebra, http://arxiv.org/abs/1410.3387, to appear in Applied Categorical StructuresЦитируемые работы4. John F.

Adams, Infinite Loop Spaces, Princeton University Press, 19785. Michael Batanin, Martin Markl, Operadic categories and Duoidal Deligne’s conjecture, http://arxiv.org/abs/1404.3886, to appear in Advances in Mathematics6. Clark Barwick, From operator categories to topological operads, preprint http://arxiv.org/abs/1302.57567. Alexander Beilinson, Vladimir Drinfeld, Chiral Algebras, AMS 20048.