Автореферат (Динамика физических систем, нормальные формы и цепи Маркова)

На правах рукописиРомаскевичОльгаЛеонидовнаДинамика физических систем, нормальныеформы и цепи Маркова01.01.02–Дифференциальныеуравнения,динамическиесистемыиоптимальноеуправлениеАВТОРЕФЕРАТдиссертациинасоисканиеученойстепеникандидатафизико-математическихнаукМосква– 2016РаботавыполненанафакультетематематикиНациональногоисследовательскогоуниверситета”ВысшаяШколаЭкономики”Научные руководители:ȭȷȳȻȷȹȽȱȰȱȳȷȵȩȻȮȵȩȻȱɀȮȺȳȱȾȶȩȼȳȸȹȷȽȮȺȺȷȹͱ;ͻͼͤ͸΃Ͷ͸͸͵ͻΊ͛;ΏΒ΋͸΀ͽ΁ȩȳȩȭȮȵȱȳȝȹȩȶȿȼȰȺȳȷȲȉȳȩȭȮȵȱȱȖȩȼȳȫȮȭȼɂȱȲȶȩȼɀȶɄȲȺȷȻȹȼȭȶȱȳͰ΅Ώ͸΀͙ͻ΄Официальные оппоненты:ȭȷȳȻȷȹȽȱȰȱȳȷȵȩȻȮȵȩȻȱɀȮȺȳȱȾȶȩȼȳȸȹȷȽȮȺȺȷȹȳȩȽȮȭȹɄȵȩȻȮȵȩȻȱɀȮȺȳȷȲȽȱȰȱȳȱȚȘȪȌȜȭȷȿȮȶȻͤ͸΃Ͷ͸ͼ͖͸΀΀ͳͷΏ͸͵ͻΊ͝΃Ύ͹͸͵ͻΊȭȷȳȻȷȹȽȱȰȱȳȷȵȩȻȮȵȩȻȱɀȮȺȳȱȾȶȩȼȳȸȹȷȽȮȺȺȷȹȽȩȳȼȴɅȻȮȻȩȋȕȓȖȌȜȱȵȖȑȔȷȪȩɀȮȫȺȳȷȬȷȸȹȷȽȮȺȺȷȹ͘͵Ͷ͸΀ͻͼ͕ͻͽ΅΁΃΁͵ͻΊ͙Ά͹΁ͿͳВедущаяорганизация:͟ͳ΅͸Ϳͳ΅ͻΊ͸΄ͽͻͼͻ΀΄΅ͻ΅Ά΅ͻͿ͕͓ͤ΅͸ͽ;΁͵ͳͣ΁΄΄ͻͼ΄ͽ΁ͼͳͽͳͷ͸Ϳͻͻ΀ͳΆͽ͚ͳΌͻ΅ͳ΄΁΄΅΁ͻ΅΄Β΁ͽ΅Βʹ΃ΒͶ͵Ίͳ΄΁͵΀ͳͺͳ΄͸ͷͳ΀ͻͻͷͻ΄΄͸΃΅ͳΉͻ΁΀΀΁Ͷ΁΄΁͵͸΅ͳ͗΀ͳʹͳͺ͸͓͛͛ͣ͢͢͠΃ͳ΄΂΁;΁͹͸΀΀΁Ϳ΂΁ͳͷ΃͸΄Ά͔΁;Ώ΋΁ͼ͝ͳ΃͸΅΀Ύͼ΂͸΃ͷ΄΅΃͟΁΄ͽ͵ͳͤͷͻ΄΄͸΃΅ͳΉͻ͸ͼͿ΁͹΀΁΁ͺ΀ͳͽ΁Ϳͻ΅Ώ΄Β͵ʹͻʹ;ͻ΁΅͸ͽ͸͓͛͛ͣ͢͢͠Авторефератразослан��ͳ͵ͶΆ΄΅ͳͶУченыйсекретарьдиссертационногосовета͗,докторфизико-математическихнаукСоболевскийА.Н.3ОбщаяхарактеристикаработыАктуальность̖̍̀̇̃̌̌̆̀˿̉˽˻̗̈̃̃̌̍̀̊̀̈̋̚ ˻̂̋˻˼̉̍˻̈̈̉̌̍̃̊̋̉˼̖̆̀̇͗ͻ΄΄͸΃΅ͳΉͻ΁΀΀ͳΒ΃ͳʹ΁΅ͳ΂΁΄͵ΒΌ͸΀ͳ΃ͳͺ;ͻΊ΀ΎͿͺͳͷͳΊͳͿ΅͸΁΃ͻͻͷͻ΀ͳͿͻΊ͸΄ͽͻΈ΄ͻ΄΅͸Ϳ͵ͽ;ΑΊͳΑΌͻΈ͵΄͸ʹΒΐ΃Ͷ΁ͷͻΊ͸΄ͽΆΑ΅͸΁΃ͻΑ͖;ͳ͵Ύ‫ب‬΅͸΁΃ͻΑʹͻ;ΏΒ΃ͷ΁͵͖;ͳ͵ͳͻ΅͸΁΃ͻΑ΀΁΃Ϳͳ;Ώ΀ΎΈ·΁΃Ϳ΁΅΁ʹ΃ͳ͹͸΀ͻͼ͖;ͳ͵ͳ1.͕΂͸΃͵΁ͼͶ;ͳ͵͸ͷͻ΄΄͸΃΅ͳΉͻͻ΃ͳ΄΄Ϳͳ΅΃ͻ͵ͳ͸΅΄Β΅΃͸Έ΂ͳ΃ͳͿ͸΅΃ͻΊ͸΄ͽ΁͸΄͸Ϳ͸ͼ΄΅͵΁͵͸ͽ΅΁΃΀ΎΈ΂΁;͸ͼ΀ͳͷ͵ΆͿ͸΃΀΁Ϳ΅΁΃͸ͻͿ͸ΑΌ͸͸΄;͸ͷΆΑΌͻͼ͵ͻͷ@x><= cos x + a + b cos t,@⌧(1)>: @t = µ.@⌧Здесь a, b 2 R, µ > 0 – вещественные параметры.

Нас интересует отображениеПуанкаре Pa,b,µ этого уравнения, определенное как отображение первого возвра�щения с трансверсали {t = 0} на саму себя, и в особенности его число вращения⇢ как функция параметров ⇢ = ⇢a,b,µ . НапомнимОпределение. Числом вращения ⇢ отображения P : S1 ! S1 называетсяпределPe n (x) x⇢ := limn!12⇡n4 5В19годуВ.И.Арнольдпредложилрассматриватьчиславращениянедляединичныхдиффеоморфизмов,адляконечнопараметрическихсемействотображенийокружностиfp,гдеp2P-векторпараметров,P-пространствопараметров.Вэтомконтекстеимбылрассмотренпримердвухпараметрическо�госемействаfa," :x7!x+a+"sin2⇡xсинусоидальныхвозмущенийсемействаповоротовокружности.ЗдесьпространствопараметровP являетсядвумернойплоскостьюR2 скоординатами(a,").Арнольда интересовало, как меняется число вращения отображения fp ,когда вектор параметров p меняется в пространстве P.

Для изучения этоговопроса он дал следующееОпределение. Будем говорить, что для конечнопараметрического семей�стваfp ,p2P имеетместозахватфазыдлязначения⇢0 числавращения,еслимножествоуровняE⇢0={p2P|⇢(fp) = ⇢0}имеетнепустуювнутренность.Ͱ΅ͻͿ΀΁͹͸΄΅͵ͳ΀ͳͺΎ͵ͳΑ΅΄Βͺ΁΀ͳͿͻͺͳΈ͵ͳ΅ͳ·ͳͺΎ͕последствии΁΀ͻполучилиназываниеязыковАрнольда.Рис.

1. СемействоязыковАрнольдадлястандартногосемействаx7!x+a+"s in2⇡xнаплоскостипараметров( a,")5Название языки Арнольда объясняется расширяющейся формой ΁ʹ;ͳ΄΅͸ͼͺͳΈ͵ͳ΅ͳ·ͳͺΎдлястандартногосемействавозмущенийповоротовокружности,΃ͳ΄΄Ϳ΁΅΃͸΀΀ΎΈ͓΃΀΁;Ώͷ΁Ϳͣͻ΄Из каждой точки ( pq , 0 ) 2 P на плоскости параметров растет язык Ар�нольда - подмножество пространства параметров, соответствующее числу вра�щения pq .

Соображения монотонности и теорема Данжуа для C 2 -гладких диф�феоморфизмов показывают, что языков Арнольда для иррациональных чиселвращения в стандартном семействе не появляется - соответствующие множе�ства уровня суть гладкие кривые. В типичном семействе диффеоморфизмовокружнсти будет наблюдаться тот же эффект: языки Арнольда существуютдля рациональных значений числа вращения и отсутствуют для иррациональ�ныхзначений.В данной диссертации изучается поведение языков Арнольда для семей�ства (1). Это семейство моделирует динамику д͹озефсоновского контакта изфизики сверхпроводимости. Более точно, это трехпараметрическое семействовекторныхполейнадвумерномтореназываетсярезистивноймодельюджозеф�соновского контакта с малой емкостью (большим затуханием) и синусоидаль�нымтоком.Вданнойдиссертациимыбудемдляпростотыназыватьэтосемей�ство уравнением Джозефсона.Помимосвязисфизикойсверхпроводимости,данноеисследованиемотиви�ровано необычным (вырожденным) поведением языков Арнольда для отобра�женияпервоговозвращенияPa,b,µ .Аименно,оказывается,чтоязыкиАрнольдав данном семействе существуют только для целых значений числа вращения.Это соответствует тому факту, что отображение Pa,b,µ является мебиусовымотображением окружности.

Таким образом, в ограниченных подмножествахпространствапараметровнаблюдаетсялишьконечноечислоязыковАрнольда.Этотэффектназываетсяэффектомквантования числа вращения.ЯзыкиАрнольдауравненияДжозефсонаимеюточенькрасивуюструкту�ру,Рис.2.Даннаяработаподробноизучаетэтоповедение.6Семейство(1)изучалосьвразличныхработахвнеконтекстадинамикиджозефсоновскогоконтакта:наскольконамизвестно,впервыеэтоуравнениепоявляетсявлитературевстатьеР.ФутавконтекстепланиметраПритца1 .Позднееоноизучалосьтакжеприизучениидинамикидвижениявелосипеда.2Также Ю.С.Ильяшенко и Дж.Гукенхеймер в 2001 году3,ещёне подозреваяосвязиэтогосемействасдинамикойджозефсоновскихконтактов,рассматри͵ͳ;ͻуравнение(1)вконтекстеизученияуточныхцикловбыстро-медленныхсистемна торе в случае, когда µ<<1.

Данная диссертация использует методыИльяшенко-ГукенхеймерадляописанияповеденияязыковАрнольдауравненияДжозефсонавслучаемалостипараметраµ.Семейство(1)вконтекстемоделированияджозефсоновскогоконтактавпер�выеизучаетсявциклеработВ.М.Бухштабера,О.В.КарповаиС.И.Тертыч�ного4 .Ими(одновременносЮ.С.Ильяшенко5 )былипереоткрытысвойствамебиусовостиотображенияПуанкаре(изначальноустановленныеФутом)ибы�лоданоэмпирическоеописаниеязыковАрнольда.РезультатыданнойдиссертацииявляютсячастьюактивногоисследованияязыковАрнольдаотображенияпервоговозвращениядлясемейства(1).Бла�годарячисленномумоделированиюязыковАрнольдауравненияДжозефсона,описанному͵΁͵΅΁΃΁ͼΊͳ΄΅ͻ͖;ͳ͵Ύͷͻ΄΄͸΃΅ͳΉͻͻΆͷͳ͸΅΄Β΂΁;ΆΊͻ΅Ώͷ΁΄΅ͳ΅΁Ί΀΁΅΁Ί΀΁͸ͻΈͻͺ΁ʹ΃ͳ͹͸΀ͻ͸΂΃ͻͿͳ;΁Ϳuͣͻ΄В работах А.

Глуцюка, В. Клепцына, Д. Филимонова, Д.Рыжова, И.Щурова,1Foote R.L. Geometry of the Prytz planimeter (1998)2Finn D. Can a bicycle create a unicycle track? (2002); Levi M., Tabachnikov S. On bicycle tire tracksgeometry, hatchet planimeter, Menzin’s conjecture and oscillation of unicycle tracks (2009)3Guckenheimer J., Ilyashenko Yu.S. The duck and the devil: canards on the staircase (2001)4Karpov O.V., Buchstaber V.M., Tertychniy S.I. et al.

Modeling of rf-biased overdamped Josephsonjunctions (2008); Buchstaber V.M., Karpov O.V., Tertychniy S.I. Features of the dynamics of a Josephson junctionbiased by a sinusoidal microwave current (2006); Математические модели динамики сильношунтированногоперехода Джозефсона (2008); Эффект квантования числа вращения (2010); Система на торе, моделирую�щая динамику перехода Джозефсона (2012); Бухштабер В.М., Тертычный С.И. Семейство явных решенийуравнения резистивной модели перехода Джозефсона (2013)5Лекции Летней Школы по динамическим системам, (2009), не опубликовано7Ю. Ильяшенко и др. формулируются строгие математические утверждения,подтверждающиеэмпирическиерезультаты,полученныеблагодарячисленномумоделированию.СуществованиенеобычныхсамопересеченийязыковАрнольда(называемыхперемычками)объясняетсявГлаве1даннойдиссертации.А.

Глуцюк с соавторами6 доказывают, что для каждого языка Арнольдаперемычки лежат на одной и той же вертикальной прямой. Эта прямаязадается уравнением a = ⇢0µ, где⇢0– значение числа вращения на этом языке.Этот результат называется эффектом квантования перемычек языковАрнольдаиондоказанпрификсированномµ,µ>1.Применьшихµэтотфактостаетсяправдоподобнойгипотезой.Результаты данной диссертации являются отправным пунктом в работеГлуцюкассоавторами,таккаксамосуществованиеперемычеквытекаетиз΅еоремыобасимптотическомповеденииграницязыковприb! 1,доказанноͼв Глав͸Глава 1 состоит из двух частей: в первой из них изучается структураязыков Арнольда в так называемом режиме большой амплитуды, b ! 1 .Эта часть основана на совместной работе автора с Алексеем Клименко.

Вовторой части Главы 1 рассматривается поведение языков Арнольда в быстро�медленномрежиме,µ!0.Этачастьосновананасовместнойработеавторас И.ЩуровымиВ.Клепцыным.ВобоихрежимахдоказываютсятеоремыобасимптотическомповеденииязыковАрнольда.Стоитотметить,чтоуравнениеДжозефсонапредставляетинтереснетоль�коиз-заинтереснойформыязыковАрнольда,а также из-заудивительногосвой�ства квантования числа вращения, уже упомянутого выше. Языки Арнольдауравнения Джозефсона существуют только для целых значений чисел враще�ния. В работе Ю.С.

Ильяшенко, Д.А. Рыжова и Д.А. Филимонова7 изучается6Глуцюк А.А.,Клепцын В.А., Филимонов Д.А.,Щуров И.В. О квантовании перемысек в уравнении,моделирующем эффект Джозефсона (20147Ильяшенко Ю.С., Филимонов Д.А., Рыжов Д.А. Захват фазы для уравнений, описывающих рези�стивную модель джозефсоновского перехода, и их возмущений (2011)8b20Γ11510Γ25ℓ1ℓ2a0−2−1012Рис. . СемействоязыковАрнольдадляуравненияДжозефсонанаплоскостипараметров(a,b)прификсированномзначениипараметраµ,рисунокИльиЩуроваповедение языков Арнольда возмущений специального вида уравнения Джо�зефсона и доказывается, что квантование числа вращения представляет собойявлениекоразмерностибесконечность.Продолжаяэтоисследование,А.Глуцюки Л.Рыбниковпоказывают8,показывают,чтоуравнениеДжозефсонаиеговоз�что изучаемоемущения гармониками уникальны – в каком-то смысле, эффект квантованиячиславращенияпроисходиттолькодляних.Аименно,в работе Глуцюка-Рыб�никовадоказывается,чтоприрассмотрениивекторногополянаторескоорди�натами (x,t) вида ẋ = v(x) + a+bf (t) и для фиксированной аналитическойфункцииv(x),отличнойотv(x) = ↵sin(mx) + cos(mx) + , m 2Zсуществуетаналитическаяфункцияf (t)такая,чтосоответствующеесемействоуравненийобладаетязыкамиАрнольдадлявсех рациональныхчиселвращения.2.