Диссертация (Некоторые классы циклических модулей над алгебрами Ли), страница 9

Эта симметрия отправляет − в . Поэтому, модуль − допускаетбазис вида1 . . . −1 . . . − , 0 ≤ 1 < · · · < ≤ − 1, 0 ≤ 1 ≤ · · · ≤ ≤ − − .(4.1.3)Пусть = (n− ⊗ C[]). ⊂ − , тогда – модуль над сдвинутойборелевской подалгеброй, порожденной 1− и 0+ . Другими словами, модуль порождается из вектора действием операторов и − , > 0.49Предложение 4.1.11. dim = 3−1 . Векторы1 .

. . −1 . . . − − ,(4.1.4)1 ≤ 1 < · · · < ≤ − 1, 1 ≤ 1 ≤ · · · ≤ ≤ − − образуют базис .Доказательство. Векторы (4.1.4) принадлежат базису модуля − и поэто­му они линейно независимы. Мы знаем, что для 2− -мерного модуля Вейлянад sl2 часть, порожденная 1 , 2 , . . . , имеет вид 1 . . . , где 1 ≤ 1 ≤ · · · ≤ ≤ − − . Теперь, используя фильтрацию из доказательства Леммы4.1.1, получаем, что (4.1.4) является в точности базисом.Следствие 4.1.12. Характер модуля равен−1∑︁(+1)/2=0(︂)︂ −−1(︂)︂∑︁−1−−2 − − 1.

=0Теперь рассмотрим скрученный случай. Определим вектор . Пусть⊂ −0 −= = ((osp(1, 2) ⊗ C[]) ). ⊂ − ,т. е. – циклический модуль над сдвинутой борелевской подалгеброй, по­рожденный 1− и 0 . Модуль порождается из вектора действием опе­раторов , = 2, 4, . .

. , 2 − 2 и − , = 1, 3, . . . , 2 − 1.Предложение 4.1.13. dim = 2 · 3−1 . Векторы1 . . . −1 . . . − ,(4.1.5)1 ≤ 1 < · · · < ≤ 2 − 3, 2 ≤ 1 ≤ · · · ≤ ≤ 2( − − )и−1 . . . −1 . . . −−1 2−1 ,1 ≤ 1 < · · · < −1 ≤ 2 − 3, 0 ≤ 1 ≤ · · · ≤ ≤ 2( − − ).образуют базис .50(4.1.6)Доказательство. Для начала докажем, что элементы (4.1.6) принадлежат (это очевидно для (4.1.5), но не для (4.1.6)). Единственная проблема –с оператором 0 , определенным уравнением (4.1.6).

Однако он всегда прихо­−дит умноженным на 2−1. Следовательно, нам нужно только проверить, что− ∈ для всех > 0. Для начала, отметим, что из весовых со­0 2−1−ображений 0 2−1 = 0. Далее, достаточно доказать утверждение только−для = − 1, так как – 0 -инвариантен. Векторы 0−1 2−1 про­−1 −порциональны векторам 2 1 . Действительно, так как векторные про­странства, содержащие оба вектора, одномерны, нам требуется только дока­зать, что 2−1 1− ̸= 0. Предположим, что эти векторы обнуляются.

Тогда−1 −−11 = 0. Однако, с точностью до ненулевой константы, этот вектор0 2−равен вектору 2−1 , который не зануляется.Так что мы знаем, что все векторы (4.1.5) и (4.1.6) принадлежат .Мы также знаем, что они – линейно независимы, потому что они принадле­. Поскольку множества (4.1.5) ижат базису (4.1.2) всего пространства −(4.1.6) содержат 2 · 3−1 элементов, нам остается показать, что размерность−/ ≥ 3−1 . Мы знаем, что соотношения в −порождаются соотно­шением +10 − . Так как вектор 0 − тривиален в факторе, мы получаем,чтоdim −/ ≥ dim −+1= 3−1 .Следствие 4.1.14. Характер равен−1∑︁=02(︂−1)︂2−−1∑︁(︂)︂−−1−−2 2+2=0(︂)︂ −−1(︂)︂−1∑︁∑︁−1 2−12 − 1−−2 − − 1 . 2 =02=04.1.5.

Переход к пределуВ этом подразделе мы рассмотрим пределы → ∞ модулей − и −.Лемма 4.1.15. Для > 0 существуют вложения osp(1, 2)[]-модулей− → −−1 , определенные следующим образом: − ↦→ + −−1 .51Доказательство. Для начала покажем, что вектор + −−1 удовлетворя­ет условиям обнуления для циклического вектора из − . Действительно,ℎ0 + −−1 = −+ −−1 . Теперь, для ∈ n− и ≥ 0 имеем + −−1 = 0,потому что −−1 = 0, и [ , + ]−−1 = 0, потому что[ , + ] ⊂ (n− ⊕ h) ⊗ C[] ⊕ C + ⊗ C[].+.

Мы утвержда­Далее, для > 0 ℎ + −−1 = 0, потому что [ℎ , + ] = +ем, что существует сюръективный гомоморфизм osp(1, 2)[]-модулей − → (osp(1, 2)[])+ −−1 .Далее, мы утверждаем, что dim (osp(1, 2)[])+ −−1 ≥ 3 . Действи­тельно, векторы1 . . . +1 . . . + + −−1с 0 ≤ 1 < · · · < ≤ − 1 и 0 ≤ 1 ≤ · · · ≤ ≤ − − – линейнонезависимы, так как принадлежат множеству базисных векторов (4.1.1) (с + 1 вместо ). Количество этих элементов равняется 3 .Пусть = lim→∞ − – osp(1, 2)[]-модуль, полученный вложениямииз Леммы 4.1.15.

Мы определяем характер следующим образом:ch (, ) = lim (−1)/2 ch − (, −1 ).→∞Наша ближайшая цель – вычислить характер . Следующая лемма хорошоизвестна (см., например [A]).Лемма 4.1.16. (−1)/2 ≥0 () ∏︀= ∞=0 (1 + ).∏︀∏︀∞ −1Теорема 4.1.17. ch (, ) = ∞(1+)=0=0 (1 + ).∑︀Доказательство. Напомним, что (4.1.1) образуют базис пространства − .+Пусть 0 () ∈ − – вектор 0+ 1+ . . . −1− . Отметим, что вложение − →−−1 отправляет 0 () в 0 ( + 1). Поэтому в пределе мы получаем вектор0 = lim→∞ 0 () ∈ .

Отметим, что слагаемое в характере , соответству­ющее 0 – это 1(=0 0 ). Параметризуем элементы множества +1 . . . + − ,0 ≤ 1 ≤ · · · ≤ ≤ − 1 в предельном пространстве множеством−−−. . . − , 0 ≤ 1 < · · · < 1 052(несмотря на то, что у нас нет операторов с отрицательной степенью по ).Тогда мы получаем базим в виде−−1 . . . −. .

. − , 0 ≤ 1 < · · · < , 0 ≤ 1 ≤ · · · ≤ ≤ − . (4.1.7)1 0Характер базисных векторов (4.1.7) с фиксированными и равен(︂ )︂(−1)/2−+2 (−1)/2−(−)−+2==()() ()− −1 (−1)/2 (−)(−−1)/2 −×.()()−Следовательно,ch (, ) =∑︁ (−1)/2 ≤()∞∞∏︁ (−)(−−1)/2 − ∏︁×=(1 + ) (1 + −1 )()−=0=0(последнее равенство получаем из Леммы 4.1.16).Замечание 4.1.18. Отметим, что характер ch (, ) равен (нормализирован­∏︀ной) тета-функции, деленной на -функцию ≥1 (1 − ).Теперь перейдем к скрученному случаю.

Тут мы приведем скрученныеаналоги наших утверждений из предыдущего случая.Лемма 4.1.19. Для > 0 существует вложение osp(1, 2)[] -модулей+−→ −−1, определенное как − ↦→ 2−1−−1 .Пусть = lim→∞ −– osp(1, 2)[] -модуль. Определим характер следующим образом:2ch (, ) = lim ch −(, −1 ).→∞+Пусть 0 () = 1+ . . .

2−1−∈ −и пусть 0 = lim→∞ 0 ().Теорема 4.1.20. ch (, ) =∏︀∞2+1)=0 (1 + ∏︀∞=0 (1+ 2+1 −1 ).4.2. Несимметрические полиномы Макдональда типов(2)2и(2)†2(2)(2)†Несимметрические полиномы Коорнвиндера типов 2 и 2 (см., на­пример, [OS, H, RY]) – это рациональные функции, зависящие от параметров53 и пяти независимых праметров алгебры Гекке , , 2 , 0 , . Невырожден­2†ные несимметрические полиномы Макдональда типов 22 (2 соответствен­но) определяются как специализации многочленов Коорнвиндера в 2 ↦→ 1( ↦→ 1 соответственно) и равным параметрам алгебр Гекке (мы их обо­значаем как ).

Полученные таким образом функции являются рациональ­ными функциями от переменных , , = 2 , Более точно, они принадлежатZ (, ) []. Мы изучаем пределы → 0 и → ∞ для = 1.(2)†4.2.1. Формула Рама-Йип для типов (2)2 (2 )Мы вычислим специализации несимметрических многочленов Макдо­нальда, используя методы статей [RY, OS]. Мы используем так называемыеальковные прогулки, которые являются некоторыми путями на множествеальковов. Мы не хотим здесь приводить общего определения альковных про­гулок, это определение может быть найдено в статьях [RY, OS]. Однако мыприведем точную конструкцию в нашем случае.Рессмотрим действительную прямую R и множество альковов (, +1), ∈ Z и обозначим стенки альковов с помощью простых отражений, такчто через обозначена 1 , если – четно и 0 , если – нечетно.Группа Вейля = ⟨1 ⟩ ⋆ ⟨0 ⟩ (свободное произведение двух цикличе­ских подгрупп порядка 2) действует на множестве альковов просто тран­зитивно.

Мы отождествляем с множеством альковов: 1 действует какотражение в стенке 0, и 0 действует как отражение в стенке 1. Поэтому2 = 1 0 действует как сдвиг на 2. Мы используем аддитивные обозначе­ния для группы, порожденной 2 (то есть мы записываем элементы этойгруппы в виде 2, ∈ Z). Любой элемен из может быть записан в виде21 , ∈ {0, 1}. Следующий рисунок иллюстрирует описанную процедуру:1 0 1 0 1 0 1 0 1−21−2 1 1 21 2 41 4 61−2 −1 0123456Для любого алькова обозначим четную стенку как 2wt(a); если этастенка – левая, положим d() = 0, если эта стенка – правая, то d() = 1. Втерминах , для = 21 имеем wt(a) = n , d(a) = b .Альковная прогулка – это последовательность простых отражений снекоторой дополнительной информацией.

Эта последовательность называет­ся типом прогулки. Возьмем целое число и рассмотрим элемент 2 ∈ .54(2)(2)†Для ≥ 0 формула Рама-Йип говорит, что −2 (; , ) (−2 (; , )) можетбыть построен из альковных прогулок типа (1 , 0 , . . . , 1 , 0 ), 2 элементов.(2)(2)†Аналогично, 2 (; , ) ( 2 (; , )) может быть построен из альковныхпрогулок типа (0 , . . .

, 1 , 0 ), 2 − 1 элементов. Дадим определение альков­ных прогулок в нашем случае.Пусть – элемент аффинной группы Вейля. Рассмотрим последователь­ность (1 , . . . , ) простых отражений, такую что = 1 . . . – приведен­ное разложение, и бинарное слово 1 , . . . , , ∈ {0, 1}. Альковная прогулкатипа – это путь на множестве альковов, начинающийся в алькове [0, 1](соответствующем 1 ∈ ) и состоящий из следующих шагов:отрицательная -складка-пересечениеположительная -складка -пересечение - Мы имеем складку на -ом шагу, если = 0 и пересечение, если = 1.

Мыназываем складку положительной, если это – складка "слева направо"и отри­цательной, если она – "справа налево". Положим = {| = 0}. Обозначимчерех конечный альков с данным множеством складок. Конечно, такжезависит от , но мы опускаем для упрощения обозначений.Обозначим через ℬ() множество альковных путей типа , то есть пар = (, ). Пусть 0 = { ∈ | = 0 } и пусть + (− ) – подмножествоположительных (соответственно, отрицательных) складок ∖0 .Положим = .

. . +1 , 1 ≤ ≤ , где – простой корень. Дляпрогулок типа (1 , 0 , . . . 1 , 0 ) и (1 , 0 , . . . 1 , 0 ) имеем:−2 = (0 1 ) 0 = −1 + (2 + 1),−2−1 = (0 1 ) 0 1 = −1 + (2 + 2).(2)Любой корень из аффинной корневой решетки типа 2 (соответствен­(1)но, 1 ) может быть записан в следующем виде: = ′ + deg(),где ′ – корень из конечномерной системы. Поэтому в нашем случае мы мо­жем записать, что deg(− ) = + 1.554.2.2. Точная формула в типе (2)21/2Теорема 4.2.1. (Рам, Йип, (2).

Пусть =2 -случай) Положим = (1 , 0 , . . . , 1 , 0 ) (с −2 элементами для < 0) и = (0 , . . . , 1 , 0 ) (с2 − 1 элементами для ≥ 0). Тогда:(2)2 (, , ) =∑︁(︀)︀|| ∏︁ (()−1)/2+( )−|| 1 − 2∈0∈ℬ() ∏︁ 1 ∏︁ ( ) ,21 − 1 − 1 − ∈+∈−(4.2.1)∨где = deg(j ) −⟨1 , ⟩ = deg(j ) 2 .Определение 4.2.2. Определим элементы (22 , 12 , 11 ) ∈ Z [], = 1, 2 сле­дующей рекуррентной формулой:1 (22 , 12 , 11 ) = 2 2 (22 − 1, 12 , 11 ) + 2−1 2 (22 , 12 − 1, 11 ) + 1 (22 , 12 , 11 − 1),(4.2.2)2 (22 , 12 , 11 ) = 2 (22 − 1, 12 , 11 ) + 2−1 2 (22 , 12 − 1, 11 ) + 1 (22 , 12 , 11 − 1),(4.2.3)где = 11 + 12 + 22 в обеих формулах.