Диссертация (Некоторые классы циклических модулей над алгебрами Ли), страница 11

Они являютсямногочленами от (мульти)переменной с коэффициентами в поле рациональ­ных функций от и ; параметр – вес из весовой решетки простой алгебрыЛи. Симметрический многочлен Макдональда (, , ) может быть полу­чен из (, , ) с помощью некоторой симметризации [HHL]. Многочлены могут быть определены двумя различными способами: или как собствен­ные функции некоторых коммутирующих операторов или как ортогональныефункции относительно скалярного произведения Чередника. Они образуютбазис полиномиального модуля двойная аффинной алгебры Гекке.Несимметрические многочлены Макдональда играют важную роль втеории представлений: их специализации (, , 0) совпадают с характерамимодулей Демазюра уровня 1 соответствующей аффинной алгебры Каца-Муди(см.

[S, I]). Недавно было показано ([CO2, CF, OS]), что для антидоминантно­го веса специализация в точке = ∞ также очень важна для теории пред­ставлений. В частности, функции (, −1 , ∞) являются полиномами от пе­ременных , с целыми неотрицательными коэффициентами [OS]; было пред­положено, [CO2] что эти многочлены совпадают с подкрученными на ПБВ­фильтрацию характерами модулей Демазюра. Одна из наших мотиваций –дать теоретико-представленческую реализацию многочленов (, −1 , ∞).Мы опишем намного более богатую структуру: а именно, для антидоминант­ного веса мы строим набор модулей () , – элемент группы Вейля алгебры g, таких, что характеры () являются в некотором смысле проме­жуточными между (, , 0) и (, −1 , ∞). Две важнейших конструкции,которые нам нужны – это модель альковных путей и локальные модули Вей­ля.

Отметим также, что существуют глобальные модули Вейля, но здесь мыбудем иметь дело только с локальными. Поэтому в дальнейшем, говоря омодулях Вейля, мы имеем ввиду только локальные.Модули Вейля () – это g ⊗ K[]-модули, соответитвующие доминант­ным весам . Это циклические модули, определенные образующими и соотно­шениям. Мы вводим обобщенные модули Вейля , зависящие от произволь­ного веса . Обобщенные модули Вейля – это циклические представленияалгебры n = g ⊗ K[] ⊕ n− ⊗ 1, определенные множеством соотношений.

Аименно, пусть = () для доминантного и ∈ . Тогда соотношения в() следующие ( – циклический вектор):ℎ ⊗ = 0для любогоℎ ∈ h, > 0;( ⊗ ) = 0, ∈ (Δ+ ) ∩ Δ+ ;( ⊗ 1) = 0, ∈ (Δ+ ) ∩ Δ− ;(() ⊗ )−⟨(() ⊗ 1)−⟨∨∨,⟩+1,⟩+1 = 0, ∈ Δ− , () ∈ Δ+ ; = 0, ∈ Δ− , () ∈ Δ− .Мы используем стандартные обозначения из теории Ли. Отметим, что длядоминантного мы имеем изоморфизм n -модулей () ≃ . Мы до­казываем следующую теорему (здесь 0 – самый длинный элемент группыВейля).Теорема A. Пусть – доминантный вес, ∈ . Тогда(i) dim () = dim .(ii) ch0 = 0 (, −1 , ∞).(iii) ch = 0 (, , 0).(iv) Для любого = 1, . . .

, rk(g) модули () раскладываются на подфак­торы вида (− ) , ∈ . Подфакторы соответствуют некоторым аль­ковным путям и количество подфакторов равно размерности .Последняя часть Теоремы А говорит нам о важности модели на альков­ных путях (см. [GL, L]). А именно, специализации в = 0 и = ∞ несиммет­рических многочленов Макдональда допускают комбинаторное описание втерминах квантовых альковных путей для группы [RY, OS]. Более точно,пусть КГБ – квантовый граф Брюа для группы Вейля g [BFP, LSh, LNSSS1].Множество вершин КГБ находится во взаимно-однозначном соответствии с и стрелки могут быть двух типов: классические стрелки из обычного гра­фа Брюа и квантовые стрелки, идущие в другую сторону. Квантовый альков­ный путь – это путь на множестве альковов , проектирующийся на путь в66КГБ. Путь зависит от стартовой точки ∈ и направлений, получаемыхиз приведенного разложения элемента из расширенной аффинной группыВейля.

Мы обозначаем множество квантовых альковных путей с данными , как ℬ(, ). Главным комбинаторным объектом для нас является=∑︁(()) deg(qwt())∈ℬ(,)(см. следующий раздел). Пусть – элемент расширенной аффинной группыВейля, соответствующий весу . Орр и Шимозоно доказали, что если –антидоминантный, то idравен (, , 0); аналогичная формула дается идля = ∞ и нужной специализации.

Мы доказываем следующую теорему:Теорема B. Пусть – доминантный вес, ∈ . Тогда ch() = 0 .Главным нашим инструментом являются рекуррентные соотношения на , которые мы отождествляем с процедурой разложения для обобщенныхмодулей Вейля.Как следствие мы получаем обобщение теоремы Иона [I] для доминант­ных весов, впервые доказаное Чари и Ионом в 2014 году. Теорема Иона утвер­ждает, что для двойственных к нескрученным алгебр Каца-Муди специали­зированные многочлены Макдональда (, , 0) совпадают с характерамимодулей Демазюра уровня 1. Мы доказываем, что данная Теорема можетбыть распространена и на алгебры с непростыми связями, если заменить вее утверждении модули Демазюра на модули Вейля:Теорема C. Для доминантного веса и любой простой g имеем0 (, , 0) = ch ().5.1.

Формула Орра и ШимозоноВ этом разделе мы приведем формулу Орра-Шимозоно для специализа­ций несимметрических многочленов Макдональда.5.1.1. Квантовый граф БрюаПусть Δ = Δ+ ⊔ Δ− – корневая система, и – корневая решетка ко­нечномерной алгебры Ли g, = () – ее группа Вейля. Мы обозначаемчерез и , = 1, . . . , rk(̂︀g) простые корни и фундаментальные веса g. Пусть671 , . . . , – множество простых отражений . Для корня обозначим через отражение в этом корне. Для ∈ пусть () – длина элемента в по­рядке Брюа. Квантовый граф Брюа (КГБ для простоты) – это отмеченныйориентированный граф, множество вершин которого отождествляется с ,с ребрами −→ , такими что∙ ( ) = () + 1, это – ребро обычного графа Брюа;∙ ( ) = () − ⟨2∨ , ⟩ + 1, которое называется квантовым ребром.∑︀Здесь 2∨ = ∨ ∈Δ∨+ ∨ , сумма всех положительных кокорней.Следующая Лемма хорошо известна (см., например, [LNSSS1]).Лемма 5.1.1.

Самый длинный элемент 0 ∈ обращает стрелки в кван­товом графе Брюа, то есть КГБ содержит стрелку −→ , если итолько если он содержит стрелку 0 −→ 0 .Например, для типов и квантовый граф Брюа может быть точноописан следующим образом (см. [L]). В типе нам нужен циклический по­рядок ≺ на 1, . . . , , начинающийся в , именно ≺ + 1 ≺ · · · ≺ ≺1 ≺ · · · ≺ − 1. Об этом порядке можно думать как о порядке на чис­лах 1, .

. . , , расположенных по кругу. Будем считать, что когда мы пишем ≺ ≺ ≺ . . . , мы имеем в виду циклический порядок ≺ .Обозначим корни в типе через = + · · · + −1 , 1 ≤ < ≤ + 1.Напомним, что группа Вейля алгебры Ли типа изоморфна симметриче­ской группе +1 .Предложение 5.1.2. ([L], Предложение 3.6) Пусть ∈ +1 – элементгруппы Вейля. Тогда существует ребро −→ в квантовом графе Брюатогда и только тогда, когда не существует числа , такого что < < и () ≺ () ≺ (). Это ребро квантовое, если и только если () > ().В типе мы используем стандартный упорядоченный алфавит1,2, .

. . ,,¯ , . . . , 2̄, 1̄. Мы записываем знаковую перестановку из симплектиче­ской группы Вейля как перестановку множества 1,2, . . . ,,¯ , . . . , 2̄, 1̄, такуючто (¯) = (). Мы используем стандартную параметризацию корней в типе : = − , ¯ = + .68Предложение 5.1.3. ([L], Предложение 5.7) Пусть – элемент группыВейля типа . Тогда есть ребра трех следующих типов: −1) −→ если и только если не существуте , такого что < < и () ≺ () ≺ (); +2) −→ ¯ если () > (¯) и не существует , такого что < < и () < () < ();23) −→ ¯ если и только если не существует , такого что < < ¯ и () ≺ () ≺ (¯).Ребро является квантовым, если и только если () > ().

В част­ности, не существует квантовых ребер типа 2).5.1.2. Альковные путиПусть ̂︀g – нескрученная аффинная алгебра Каца-Муди, соответствую­щая g. Пусть = ⟨0 , 1 , . . . , ⟩ – аффинная группа Вейля g. Конечнаягруппа Вейля порождается отражениями 1 , . . . , ( – простые отраже­ния). Пусть – корневая решетка g и пусть – весовая решетка; в частности, ≃ n ∨ . Рассмотрим фактор Π = / .

Например, для g = Π изо­морфна Z/( + 1)Z. Расширенная аффинная группа Вейля определяетсякак полупрямое произведение n ∨ . Для элемента ∈ ∨ обозначим соответствующий элемент из . Имеем ≃ Π n .Рассмотрим -мерное вещественнное векторное пространство R ⊗Z имножество гиперплоскостей (стенок) ∨ + = { ∈ R ⊗Z |⟨∨ , ⟩ = }.Альковы - это компоненты связности R ⊗Z ∖ ∪∈Δ+ , ∈Z ∨ + . Существуетестественное действие аффинной группы Вейля на множестве альковов[OS]. Отождествляя альков {|⟨, ∨ ⟩ > 0, = 0, .

. . , } с единичным элемен­тоv , мы получаем биекцию и множества альковов.Любой элемент может быть записан в виде 1 . . . , ∈ Π, 0 ≤ ≤ rk(g). В частности, мы имеем такое разложения для элемента из ∨ .Отметим также, что любой элемент из имеет единственное разложение = () (), где () ∈ , () ∈ .Рассмотрим |Π| копий R ⊗Z (листов), обозначенных элементами Π, содинаковым действием на каждом листе.

Расширенная аффинная груп­па Вейля действует на множестве альковов на всех листах следующимобразом. Для любого ∈ Π отождествим альков {|⟨, ∨ ⟩ > 0, = 0, . . . , }69на -ом листе с образом под действием алькова на начальном листе, соот­вестсвующем тождественному элементу . Этим правилом мы определилидействие на множестве альковов всех листов (см., например, конец [RY]).Для приведенного разложения = 1 . . . элемента ∈ опреде­лим последовательность действительных аффинных корней: () = . . . +1 , = 1, .