Диссертация (Некоторые классы циклических модулей над алгебрами Ли), страница 8

Классический случайПусть − , ≥ 0 – модуль Вейля над алгеброй токов sl2 [] = sl2 ⊗C[]. Он определяется как циклический модуль с циклическим вектором − ,удовлетворяющий соотношениямℎ− = −− , ⊗ C[].− = 0, ℎ ⊗ C[].− = 0, +1 .− = 0.где , ℎ, образуют стандартный базис sl2 . Об этих модулях известно, чтоони 2 -мерны с мономиальным базисом1 . . . − , 0 ≤ 1 ≤ · · · ≤ ≤ − , = ⊗ .Для градуированного векторного пространства =≥0 с действием∑︀ℎоператора ℎ определим характер ch (, ) как≥0 tr( | ).

Характер)︀(︀∑︀− равен =0 −+2 , где -биномиальные коэффициенты определяют­ся формулой⨁︀(︂ )︂(1 − )(1 − 2 ) . . . (1 − )=. (1 − ) . . . (1 − )(1 − ) . . . (1 − − )О модулях − известно, что они изоморфны градуированному тензор­ному произведению (фьюжен-произведению [FeLo1]) копий стандартного442-мерного sl2 -модуля. Более того, − изоморфен модулю Демазюра в пред­̂︀ 2 . В частности, существуют вложе­ставлении уровня 1 аффинной алгебры slния sl2 ⊗ C[]-модулей0 ⊂ −2 ⊂ −4 ⊂ . .

. ,−1 ⊂ −3 ⊂ −5 ⊂ . . .̂︀ 2 -модулю уровня 1. Мыи индуктивный предел изоморфен интегрируемому slимеем точные формулы для характеров этих модулей:2ch lim −2 =→∞∑︁∈Z(+1)∑︁2+1 , ch lim −2−1 =.→∞()∞()∞2∈Z4.1.2. Модули Вейля над супералгебрамиПервоисточник приведенных ниже определений – в статьях [P, Mus1,Mus2]. Супералгебра Ли osp(1, 2) изоморфна прямой сумме sl2 ⊕ 1 , где sl2– четная часть и двумерный sl2 -модуль 1 в нечетной части. Пусть , ℎ, –стандартный базис sl2 и пусть + , − – базис 1 . Имеем следующие нетриви­альные коммутационные соотношения:[, ] = ℎ, [ℎ, ] = 2, [ℎ, ] = −2,[ℎ, + ] = + , [ℎ, − ] = − − , [ + , − ]+ = ℎ,[ + , + ]+ = 2, [ − , − ]+ = −2, [, + ] = − , [, − ] = − + .Имеем разложение Картанаosp(1, 2) = n− ⊕ h ⊕ n+ , n− = span(, − ), n+ = span(, + ), h = s(ℎ).Рассмотрим алгебру токов osp(1, 2][] = osp(1, 2) ⊗ C[], ее модуль Вейля− определен как циклический модуль с образующей − и соотношениями(n− ⊕ h) ⊗ C[].− = 0, (n− ⊗ 1).− = 0,ℎ0 .− = −− , ( ⊗ 1)+1 .− = 0.Для ∈ osp(1, 2) обозначим через ∈ osp(1, 2)[] элемент ⊗ .Лемма 4.1.1.

Имеем osp(1, 2) ⊗ C[].− = 0 и − порожден мономамивида1 . . . +1 . . . + − ,0 ≤ 1 < · · · < ≤ − 1, 0 ≤ 1 ≤ · · · ≤ ≤ − − .45(4.1.1)Доказательство. Условия sl2 ⊗ C[]− = 0 следуют из результатов омодулях Вейля над sl2 (см., например [CL]). Теперь, если − = 0, то0− − = + − = 0 и аналогично для − − .Отметим, что в силу [+ , + ]+ = 2+ , мы имеем∑︁ (sl2 ⊗ C[])+1 . . . + − .− =0≤1 <···< ≤−1Определим частичный порядок на мономах +1 . . . + , 0 ≤ 1 < · · · < ≤ − 1, говоря, что для двух различных мономов +1 . .

. + < +1 . . . + если < или ( = и ≥ , = 1, . . . , ). Определим полный порядок намономах +1 . . . + , 0 ≤ 1 < · · · < ≤ − 1 как 1 , 2 , . . . , такимобразом, что если < , то < (в смысле вышеописанного частичногопорядка).Определим теперь возрастающую фильтрацию на − как =∑︁ (sl2 ⊗ C[]) − .=1Мы утверждаем, что мономы (4.1.1) порождают ассоциированное градуиро­ванное пространство gr∙ . Действительно, пусть − – образ − в ас­социированном градуированном пространстве. Тогда для = +1 . .

. + мыимеем(n− ⊕h)⊗C[]. − = 0, (n− ⊗1). − = 0, (ℎ⊗1). − = −(+)− .Поэтому условия на модуль Вейля над sl2 ⊗ C[] с младшим весом − + влекут за собой утверждение Леммы.Лемма 4.1.2. Количество элементов множества (4.1.1) равняется 3 и иххарактер равняется∑︁=0(︂ )︂ ∑︁(︂)︂−− (−1)/2−++2. =0Доказательство. Прямое вычисление.Теперь приведем скрученный аналог предыдущей Леммы. Мы заменяемалгебру osp(1, 2)[] ее скрученным аналогомosp(1, 2)[] =∞⨁︁2sl2 ⊗ ⊕=0∞⨁︁=0461 ⊗ 2+1 .Это – тоже супералгебра Ли.

Мы определяем ее модуль Вейля −как цик­лический интегрируемый относительно sl2 модуль с циклическим вектором−, удовлетворяющим соотношениям−2 .−= 0, 2+1.−= 0, ℎ2+2 .−= 0, для ≥ 0и ℎ0 .−= −−, +10 .− = 0.Лемма 4.1.3. Имеем sl2 ⊗ 2 C[2 ].− = 0 и 1 ⊗ 2+1 C[2 ].− = 0. −порождена мономами вида(4.1.2)1 . . .

+1 . . . + − ,1 ≤ 1 < · · · < ≤ 2 − 1, 0 ≤ 1 ≤ · · · ≤ ≤ 2( − − ),где – четные и – нечетные.Лемма 4.1.4. Количество элементов множества (4.1.2) равняется 3 и иххарактер равен∑︁=0(︂ )︂ ∑︁(︂)︂−−−++2. 2 =0224.1.3. Градуированное тензорное произведение для супералгебрНачнем с нескрученного случая.Пусть g = g0̄ ⊕ g1̄ – супералгебра Ли с g0̄ – четной частью g1̄ – нечетнойчастью. Для g-модуля обозначим как 0̄ его четную часть и как 1̄ егонечетную часть.

Пусть и – циклические g-модули с циклическими векто­рами и ; в дальнейшем мы всегда считаем циклические векторы четными.Тензорное произведение и определяется формулой( ⊗ ) = ⊗ + (−1) ⊗ , ∈ g¯ , ∈ ¯ .Пусть 1 , . . . , – набор попарно различных комплексных чисел и , . . . , – циклические представления g с циклическими векторами 1 , . . . , . Пусть ( ) – представления g ⊗ C[], где ⊗ действует как .1Лемма4.1.5. Тензорноепроизведениеg[]-модуль с циклическим вектором ⊗=1 .47⨂︀=1 ( )–циклическийДоказательство.

Пусть ∈ g0̄ . Тогда оператор ⊗ действует на тензорном⨂︀ произведении ( ) как на обычном тензорном произведении модулей надалгебрами Ли. Поэтому все операторы() = Id⏟ ⊗ .⏞. . Id ⊗ ⊗ Id ⊗ . . . Id−1на⨂︀( ) могут быть записаны как линейные комбинации операторов ⊗ (определитель Вандермонда).Теперь предположим, что ∈ g1̄ . Тогда имеем=1 ( ⊗ )(1 ⊗ · · · ⊗ ) =(1 (1) + 2 (−1)deg 1 (2) + · · · + (−1)deg 1 +···+deg −1 ())(1 ⊗ · · · ⊗ ).Поэтому для любого = 1, .

. . , оператор (−1)deg 1 +···+deg −1 () может бытьпредставлен как линейная комбинация операторов ⊗ , 0 ≤ ≤ − 1(случай = 1 соответствует именно (1)). Следовательно, операторы ⊗ ,⨂︀0 ≤ ≤ − 1 порождают все тензорное произведение =1 ( ), действуяна тензорном произведении циклических векторов.Универсальная обертывающая алгебры (g[]) имеет естественную гра­⨁︀дуировку, определенную степенью по , (g[]) =≥0 (g[]) (например, (g[])0 = (g)). Определим возрастающую фильтрацию на тензорном⨂︀произведении=1 ( ) следующим образом: = (g[]) ( 1 ⊗ · · · ⊗ ).Ассоциированное градуированное пространство является циклическим (g[])-модулем. Важное свойство – этот модуль допускает еще одну, до­полнительную градуировку.

Мы обозначим этот градуированный модуль как 1 (1 ) * · · · * ( ).Пусть – интегрируемое трехмерное представление osp(1, 2).Теорема 4.1.6. Для любых попарно различных 1 , . . . , градуированноетензорное произведение (1 ) * · · · * ( ) изоморфно модулю Вейля −как osp(1, 2)[]-модуль.Доказательство. Нетрудно видеть, что все соотношения, определяющие мо­дуль Вейля, выполняются на градуированном тензорном произведении. По­этому мы имеем сюръекцию − → (1 )*· · ·* ( ). Поскольку размерность48правой части равняется 3 и она совпадает с оценкой сверху для левой части(см.

Лемму 4.1.2), эта сюръекция является на самом деле изморфизмом.Следствие 4.1.7. Градуированное тензорное произведение (1 )*· · ·* ( )не зависит (как osp(1, 2)[]-модуль) от (попарно различных) параметров .Следствие 4.1.8. Векторы (4.1.1) образуют базис модуля Вейля − .Рассмотрим теперь скрученную алгебру osp(1, 2)[] . Для комплексногочисла определим трехмерный osp(1, 2)[] -модуль () той же формулой,что и раньше. Мы имеем следующую Теорему.Теорема 4.1.9. Предположим, что числа 1 , . . . , удовлетворяют усло­виям 2 ̸= 2 для ̸= . Тогда градуированное тензорное произведение (1 ) * · · · * ( ) корректно определено и изоморфно модулю Вейля −как osp(1, 2)[]-модуль.Доказательство. Единственное отличие от нескрученного случая – это усло­вие 2 ̸= 2 , которое гарантирует цикличность действия на тензорном произ­ведении в скрученном случае.Следствие 4.1.10.

Градуированное тензорное произведение (1 ) * · · · * ( ) не зависит (как osp(1, 2)[] -модуль) от параметров , удовлетво­ряющих условиям 2 ̸= 2 для всех ̸= . Векторы (4.1.2) образуют базисмодуля Вейля −.4.1.4. Случай положительного В этом подразделе мы определяем модули для > 0. Для началарассмотрим нескрученный случай.Определим векторы = 0 − ⊂ − . Отметим, что существует сим­метрия (действие группы Вейля для 1 ) на − , переставляющая и с +и − .