Диссертация (Некоторые классы циклических модулей над алгебрами Ли), страница 2

Тогда = ⊗K⟨,⟩ является векторным пространством,изоморфном ⊕ ⊕ ⊕ , на котором образующие рассматриваемой алгебрыЛи действуютпри помощиоператоров:⎞⎞ следующих⎛⎛0 1 0 00 0 1 0⎜0 0 0 ⎟⎜0 0 0 ⎟⎟⎟⎜⎜=⎜⎟⎟=⎜⎝0 0 0 ⎠⎝0 0 0 1 ⎠0 0 0 00 0 0 0Допустим, этот модуль разложим.

Пусть = 1 ⊕ 2 - прямая сумма-модулей. Положим = {4 |(1 , 2 , 3 , 4 ) ∈ } для некоторых 1 , 2 , 3 , = 1, 2. Очевидно, что = 1 + 2 . Пусть (1 , 2 , 3 , 4 ) ∈ . Применив кэтому элементу оператор 2 мы получим элемент (4 , 0, 0, 0) ∈ . Значит,( , 0, 0, 0) ∈ . Поэтому 1 ∩ 2 = {0} и = 1 ⊕ 2 , ∩ (, 0, 0, 0) =( , 0, 0, 0) . Далее, применим к элементу (1 , 2 , 3 , 4 ) ∈ операторы и 2 . Получим элементы (4 , 0, 0, 0) ∈ и (4 , 0, 0, 0) ∈ . Поэтому ∈ 1 , ∈ , = 1, 2. Мы получили разложение исходного представле­ния алгебры K⟨, ⟩. Значит, построенный функтор переводит неразложимыепредставления в неразложимые.Пусть теперь для двух представлений 1 , 2 алгебры K⟨, ⟩ представле­ния 1 = ⊗K⟨,⟩ 1 , 2 = ⊗K⟨,⟩ 2 изоморфны. Тогда их размерностиравны и существует обратимый сплетающий оператор, то есть такой опера­тор , что 1 = 2 , 1 = 2 (Номер соответствует номеру представления⎛⎞11 12 13 14⎜ ⎟⎜ 21 22 23 24 ⎟ ). Записав в виде = ⎜⎟.⎝ 31 32 33 34 ⎠41 42 43 44Теперь, перемножив блочные матрицы и приравняв коэффициенты, мыполучим, что 21 = 31 = 41 = 32 = 42 = 43 = 23 = 0, 11 = 22 =33 = 44 .

Кроме того, 22 1 = 2 44 , 22 1 = 2 44 . Поэтому мы получи­ли сплетающий оператор для представлений 1 , 2 . Он обратим, так как всилу равенства нулю всех нижних блоков блочной матрицы и равенства4всех ее диагональных блоков, det = det 22, то есть матрица 22 обрати­ма. Значит, описываемый функтор переводит неизоморфные представления7в неизоморфные. Этот факт завершает доказательство дикости двумернойабелевой алгебры Ли.Следовательно, все двумерные алгебры Ли – дикие.2.1.2. Разрешимые алгебры – дикиеПусть теперь B , dim(/) = 2. Тогда – дикая, так как / –двумерная, следовательно, дикая.В частности, если – разрешимая алгебра Ли, то в силу Теоремы Ли вней есть флаг из идеалов, в частности, идеал любой размерности, не превы­шающей размерность .

Следовательно, если размерность не меньше двух,то в ней существует идеал коразмерности 2. Таким образом, верно следующееутверждение:Предложение 2.1.6. Все разрешимые алгебры Ли являются дикими.2.1.3. Полупростые алгебры – ручныеС другой стороны, из классической теории представлений полупростыхалгебр Ли известно, что все неприводимые представления параметризуют­ся целочисленными доминантными формами на корневой решетке, то естьдискретным множеством параметров и исчерпывают все неразложимые пред­ставления. Поэтому все полупростые алгебры ручные.2.1.4. Одномерные расширения полупростых – ручныеСледующее утверждение должно быть известным, но автору не удалосьнайти подходящую ссылку, поэтому оно здесь приведено с полным доказа­тельством.

Это доказательство аналогично доказательству из книги ([GG], с.225).̂︀ ⊕ 1 – алгебра Ли, такая что ̂︀ Предложение 2.1.7. Пусть = полупростая; (, ) – неразложимое представление . Тогда существуют̂︀ и (2 , 2 ) – алгебрытакие неразложимые представления (1 , 1 ) алгебры ̂︀, ∈ 1 ,1 , что = 1 ⊗2 , ( + ) = 1 ()⊗+⊗2 ( ), где ∈ – тождественный оператор.̂︀ ∋ ↦→ () – вполне приводимое представ­Доказательство. Поскольку ̂︀), мы можем считать, что () =ление (в силу полупростоты алгебры 8⎞1 ()0...0⎜ 02 () . . .0 ⎟⎟⎜⎟ , где – неприводимое представление ал­⎜............⎠⎝00.

. . ()̂︀ размерности ℎ1 . Далее можно считать, что 1 = ... , а пред­гебры ставления , > ⎞не эквивалентны 1 . Пусть – ℎ × ℎ -матрицы и⎛11 . . . 1⎜ .. . .. ⎟. .. ⎠ ∈ (, K). Предположим, что () = () для = ⎝ .1 . . . ̂︀. Тогда () = () при , = 1, . . . . По лемме Шуралюбого ∈ ([GG], с. 225) имеем, что = 1ℎ1 , ∈ K при , = 1, . .

. и = 0 при ≤ < и ≤ < .Теперь применим этот результат к = ( ), ∈ 1 . Если бы ̸= , тоиз соотношений = 0 при ≤ < и ≤ < следовало бы, что (, ) –разложимо. Значит, = .̂︀, 2 ( ) = ( ) ∈ (, K),Введем обозначение 1 () = 1 () для ∈ ∈ ⟨⟩.

очевидным образом распадается в тензорное произведение. То­гда имеем:̂︀ () = 1 () ⊗ 1 , ∈ ;⎛ ( ) = 1ℎ ⊗ 2 ( ), ∈ ⟨⟩.Очевидно, что если представление (2 , 2 ) распадается в прямую сумму дру­гих представлений, то и представление также распадается в прямую сум­му двух представлений. Следовательно, (2 , 2 ) – неразложимое представле­ние. Обратно, если (2 , 2 ) – неразложимо, то и представление (, ) такженеразложимо.Замечание 2.1.8. Прямая сумма ручной и полупростой алгебр – ручная. Пред­ставления алгебры ⟨⟩, очевидно, задаются образом элемента ↦→ 2 ().̂︀ ⊕ ⟨⟩, ̂︀ –Следовательно, все неразложимые представления алгебры = ̂︀ и жордановойпростая, задаются неприводимым представлением алгебры клеткой.

Поэтому все такие алгебры ручные.Замечание 2.1.9. Если один из сомножителей приводим, то и тензорное про­̂︀̂︀ –изведение приводимо. Поэтому неприводимые предствления = ⊕⟨⟩,̂︀, на которых элементпростая, – это неприводимые представления алгебры действует умножением на константу.92.2. Колчан алгебры с абелевым радикаломСведем теперь исследование представлений алгебры Ли с абелевым ра­дикалом к исследованию представлений некоторого колчана.̂︀ = i – алгебра Ли такая, что – полупростая,Лемма 2.2.1. Пусть ̂︀ эквивалентна – абелев идеал. Тогда категория представлений алгебры категории пар (, ), где – -модуль, : ⊗ → – морфизм модулейтакой, что ∘ ( ⊗ ) (( ∧ ) ⊗ ) = 0,(2.2.1)с морфизмами – коммутативными диаграммами: ⊗/⊗, ⊗/(2.2.2)где – морфизм модулей. В дальнейшем под парами будем понимать пары(, ).̂︀-модуль, тогда – и -модуль.

Зададим отоб­Доказательство. Пусть – ражение : ⊗ → : ⊗ ↦→ . Тогда для любых , ∈ , ∈ : ∘ ( ⊗ )(( ⊗ − ⊗ ) ⊗ ()) = () − () = [, ] = 0.Поэтому условие 2.2.1 выполняется.Кроме того:( ⊗ ) = = [, ] + = (( ⊗ ))Поэтому – морфизм модулей.Обратно, пусть – морфизм модулей : ⊗ → с условием 2.2.1.Зададим действие для ∈ , ∈ : := ( ⊗ ). В силу условия 2.2.1получим для , ∈ , ∈ : [, ] = − = 0, кроме того, для ∈ , ∈ , ∈ :[, ] = ([, ] ⊗ ) = (( ⊗ ) − ⊗ ) = ( ⊗ ) − == − .̂︀-модулем.Поэтому с таким действием является 10Очевидно, что композиция двух описанных отображений является изо­морфизмом. Тем самым задано соответствие на объектах категорий.̂︀-модулей : → , тогда зададим мор­Пусть теперь – морфизм физм -модулей = . Тогда для ∈ , ∈ :(( ⊗ )) = () = () = () = () = ( ⊗ ()).Поэтому это отображение задает коммутутивный квадрат (2.2.2).

Далее, еслидва морфизма модулей делают коммутативным квадрат (2.2.2), то и их ком­позиция – тоже в силу функториальности тензорного произведения. Из техже вычислений следует, что каждый коммутативный квадрат (2.2.2) задает̂︀-модулей и построенные в обе стороны функторы фвляютсяотображение взаимно сопряженными. Тем самым эквивалентность рассматриваемых кате­горий доказана.Замечание 2.2.2. Рассмотрим конечномерные представления (бесконечномер­ной) алгебры i (), где () – свободная алгебра Ли, порожденная ,причем действует на естественным образом, а действие на члены гра­дуировки высших степеней определяется по правилу Лейбница. Тогда анало­гично доказательству предудущей Леммы получаем, что категория конечно­мерных представлений i () эквивалентна категории пар (, ), где – -модуль, : ⊗ → , с морфизмами – коммутативными квадратами(2.2.2) (но без условия (2.2.1)).Зафиксируем теперь до конца пункта полупростую алгебру Ли и-модуль .

Занумеруем как-нибудь все попарно неэквивалентные неприво­димые представления полупростой алгебры (это можно сделать, так как ихсчетное множество), представление с номером будем обозначать . Введемтеперь для данной алгебры Ли с абелевым радикалом i счетный колчан . Стрелок из точки в точку будет столько, какова кратность вхождения в разложение ⊗ . С этого момента и до конца пункта буквы и будут означать стрелки , а будет означать пути длины 2. Для стрелкиили пути обозначим () и () начало и конец соответственно. Такимобразом, мы имеем: ⊗ ≃⨁︁():()=Следующяя лемма является почти очевидной.11(2.2.3)Лемма 2.2.3. В вышепринятых обозначениях мы имеем:⨁︁ ⊗ ⊗ ≃(2.2.4)() .:()=Доказательство. Пользуясь форулой (2.2.3) два раза, вычисляем: ⊗ ⊗ ≃⨁︁ ⊗ () ≃()=⨁︁⨁︁() ≃()= ()=()⨁︁() .(2.2.5)()=Лемма 2.2.4.

(i)Категория конечномерных представлений колчана эк­вивалентна категории пар (, : ⊗ → ), с морфизмами – комму­тативными квадратами (2.2.2). (ii) Категория пар (, : ⊗ → ) сосвойством (2.2.1) эквивалентна категории конечномерных представленийколчана с однородными соотношениями степени 2, причем размерностьпространства соотношений на путях длины 2 из точки в точку равнакратности вхождения простого модуля в разложение модуля ∧ ⊗ .Доказательство. (i)Рассмотрим пару 1 = (, : ⊗ → ). Разложим в сумму неприводимых компонент:=∞⨁︁ ⊗ ,=1где – конечномерное пространство и dim( ) – кратность вхождения в .

При этом в силу конечномерности лишь конечное число пространств ненулевые. Тогда в силу формулы (2.2.3) мы имеем: ⊗ ≃∞⨁︁ ⊗ ⊗ ≃=1∞ ⨁︁⨁︁ ⊗ ()(2.2.6)=1 ()=Следовательно, отображение распадается в прямую сумму отображений из ⊗() для всех таких, что () = в ⊗ . В силу леммы Шура имеем,что для неизоморфных модулей () и (то есть в случае если () ̸= )существуют только нулевые морфизмы между ⊗ () и ⊗ , а дляизоморфных морфизм имеет вид 1 , ⊗ . Заметим, что построенный наборпространств { } и отображений {1 , } является представлением колчана .12Рассмотрим морфизм пар из 1 = (, ) в 2 = (, ), то есть ком­⨁︀∞мутативную диаграмму (2.2.2).