Автореферат (Асимптотики решений задач обтекания несжимаемой жидкостью поверхностей с малыми неровностями при больших числах Рейнольдса)

На правах рукописиГайдуков Роман КонстантиновичАсимптотики решений задач обтеканиянесжимаемой жидкостью поверхностейс малыми неровностями при большихчислах РейнольдсаСпециальность 01.01.03 — Математическая физика(физико–математические науки)АВТОРЕФЕРАТдиссертации на соискание ученой степеникандидата физико–математических наукМосква — 2016Работа выполнена в ордена Трудового Красного Знамени федеральном государственномбюджетном образовательном учреждении высшего образования «Московский техническийуниверситет связи и информатики».Данилов Владимир Григорьевич,докторфизико-математическихнаук,Научный руководитель:профессор.Блохин Александр Михайлович,Официальные оппоненты:докторфизико-математическихнаук,профессор,ФГБУН Институт математики им. С.

Л. СоболеваСибирского отделения РАН, заведующий Лабораториейвычислительных проблем задач математической физики,Нефедов Николай Николаевич,докторфизико-математическихнаук,профессор,ФГБОУ ВО «Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова», физический факультет,заведующий кафедрой математики.Ведущая организация:ФГБУН Институт математики с вычислительным центромУфимского научного центра РАН.Защита состоится 28 июня 2016 года в 16:00 на заседании диссертационного советаД 212.048.17, созданного на базе федерального государственного автономного образовательного учреждения высшего образования «Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики», по адресу: 123458, Москва, ул. Таллинская, д.

34, к. 208.С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Национального исследовательскогоуниверситета «Высшая школа экономики» по адресу: 101000, Москва, ул. Мясницкая,д.20, и на сайте: http://www.hse.ru/sci/diss/179776527.Автореферат разослан«»2016 г.Ученый секретарьдиссертационного совета,к.ф.-м.н., доцентШнурков Петр Викторович2Общая характеристика работыАктуальность темы исследования и степень ее разработанностиВ диссертационной работе исследуются задачи обтекания несжимаемой вязкой жидкостью различных поверхностей при больших значениях числа Рейнольдса. Подобные задачи исследуются уже достаточно давно.

В основе решения подобных задач лежит теорияпограничного слоя, которая впервые была предложена Л. Прандтлем1 более века назад. Врамках этой теории, в тонкой пристеночной области (которая и называется пограничнымслоем) при большом значении числа Рейнольдса можно перейти от уравнений Навье–Стокса, которые содержат малый параметр при старших производных, к уравнениям, несодержащим малого параметра, которые носят название уравнений пограничного слояПрандтля.

Затем было выяснено, что структура пограничного слоя возникает и в другихзадачах течения жидкости2 .Большим шагом вперед стало появление в работе К. Стюартсона иП. Г. Вилльямса3 , и в работе В. Я. Нейланда4 концепции трехпалубной структуры пограничного слоя, в рамках которой стало возможным изучение явления отрыва пограничногослоя от обтекаемой поверхности, в случае которого представления Прандтля не верны,и, как показал С.

Гольдштейн5 , решение уравнений пограничного слоя Прандтля имеетнеустранимую особенность.В результате отрыва пограничного слоя от обтекаемой поверхности, в некоторой области около точки отрыва происходит вытеснение пограничного слоя во внешнее течение.В результате возникает задача о взаимодействии пограничного слоя с внешним потоком.В рамках трехпалубной структуры пограничный слой имеет три разномасштабные области: тонкий пристеночный пограничный слой («нижняя палуба»), область классическогопограничного слоя Прандтля («средняя палуба») и область взаимодействия течения пограничного слоя с внешним потоком («верхняя палуба»).

Взаимодействие устроено следующим образом. Возмущение вязкого течения в нижней палубе, проходя через среднююпалубу приводит к возмущению давления в верхней палубе, которое индуцирует градиентдавления в нижней палубе. В пристеночной области (т.е. в нижней палубе) течение описывается уравнениями Прандтля, но с индуцированным давлением, т.е. градиент давленияв них не является заранее заданной величиной, как в теории Прандтя, а определяется впроцессе решения задачи во всей области.1Prandtl L.

Über Flüssigkeitsbewegung bei sehr kleiner Reibung // Verhandlungen des III InternationalenMathematiker– Kongresses. — Heidelberg, 1904. — Pp. 484–491.2Белоносов В.С., Пухначев В.В. Уравнения пограничного слоя в задаче истечения осесимметричнойструи // Записки научных семинаров ПОМИ. — 2008.— Т. 362. — C. 48–63.3Stewartson K., Williams P.G. Self-Induced Separation // Proceedings of the Royal Society A. — 1969. —Vol. 312. — Pp.

181–206.4Нейланд В.Я. К теории отрыва ламинарного пограничного слоя в сверхзвуковом потоке // ИзвестияАН СССР. Механика жидкости и газа. — 1969. — Т. 4. — С. 53–57.5Goldstein S. On Laminar Boundary-Layer Flow Near a Position of Separation // Quarterly Journal ofMechanics and Applied Mathematics. — 1948.

— Vol. 1. — Pp. 43–69.3Одной из первых работ, в которой была получена трехпалубная структура пограничного слоя в задаче обтекания поверхности с малыми неровностями, является работаФ. Т. Смита6 , в которой исследовалась задача обтекания локализованной неровности типагорба. Теория трехпалубного пограничного слоя нашла отражение во множестве работФ. Т. Смита, К. Стюартсона, В. Я. Нейланда, О. С. Рыжова, В. В. Сычева и других.Помимо асимптотических решений, имеющих многопалубные структуры пограничных слоев, в литературе известны другие погранслойные структуры, например, теорияасимптотических решений с внутренними погранслоями, развиваемая А.Б. Васильевой,В.Ф. Бутузовым, Н.Н. Нефедовым и др7, 8 .Однако, наряду с трехпалубной структурой возможна еще другая — двухпалубная.Впервые этот факт обнаружил Ж.

Мосс9 . Исследуя масштабы неровностей, приводящиек возникновению трехпалубной структуры, он обнаружил, что наряду с трехпалубнойструктурой пограничного слоя возможна и двухпалубная, но при других масштабах. Независимо от работы Ж. Мосса и раньше нее в работе В. Г. Данилова и М. В. Макаровой10были получены уравнения, описывающие двухпалубную структуру. В этой работе исследовалась задача обтекания вязкой несжимаемой жидкостью пластины с малыми периодическими неровностями при больших значениях числа Рейнольдса. Отметим, что в этойзадаче, помимо асимптотических методов, необходимо применение метода осреднения.В двухпалубной структуре отсутствует «верхняя палуба», находящаяся над погранслоем Прандтля, характерная для трехпалубной структуры, и все взаимодействие происходит внутри классического пограничного слоя, не оказывая влияние на внешний поток.В «нижней палубе» — тонком пристеночном слое течение также, как и в трехпалубнойструктуре, описывается уравнениями пограничного слоя Прандтля с самоиндуцированным давлением.

Однако, в «средней палубе», т.е. области классического пограничногослоя, возмущение течения, возникающее из-за неровностей на поверхности (точнее — изза возмущения течения в «нижней палубе»), описывается уравнением типа Рэлея, котороемало исследовано в литературе, и остается отрытым вопрос о существовании его решения.Отметим, что для задачи обтекания пластины с малыми периодическими неровностями, но с другим их масштабом, в работе В. Г. Данилова и К. Ю. Россинского11 полученаклассическая трехпалубная структура.Двухпалубная структура также была обнаружена в задаче о течении затопленнойструи вдоль пластины с локализованной неровностью типа угла (а также горбика) в ра6Smith F.T.

Laminar flow over a small hump on a flat plate // Journal of Fluid Mechanics. — 1973. —Vol. 57. — Pp. 803–824.7Васильева А.Б., Бутузов В.Ф., Нефедов Н.Н. Сингулярно возмущенные задачи с пограничными ивнутренними слоями. // Труды МИАН. — 2010. — Т. 268. — C. 268–283.8Nefedov N.N., Nikulin E. I. Existence and stability of periodic contrast structures in the reaction-advectiondiffusion problem //Russian Journal of Mathematical Physics. — 2015. — Vol. 22. — Pp.

215–226.9Mauss J. Asymptotic Modelling for separating boundary layers // Lecture Notes in Physics. — 1995. —Vol. 442. — Pp. 239–254.10Danilov V.G., Makarova M.V. Asymptotic and numerical analysis of the flow around a plate with smallperiodic irregularities // Russian Journal of Mathematical Physics. — 1994. — Vol. 2. — Pp. 49–56.11Данилов В.Г., Россинский К.Ю. Обтекание плоской пластины с периодическими неровностями малойамплитуды // Математическое Моделирование. — 2003. — Т.

15. — С. 91–109.4боте Ф. Т. Смита и П. В. Дака12 , и работе Р. Япалпарви13 . Однако, уравнения, описывающие течение во втором пограничном слое, отличны от уравнений, полученных в работеВ. Г. Данилова и М. В. Макаровой10 . И это отличие существенно: уравнения из этих работ перестанут быть справедливыми, если вместо задачи о течении затопленной струирассмотреть задачу о плоскопараллельном обтекании. В связи с этим возникает вопрос осуществовании решения с двухпалубной структурой пограничного слоя в задаче обтекания пластины с локализованной неровностью.Также интерес представляют задачи о течении в трубе или двумерном канале с малыми неровностями на стенках.

Течение в каналах изучается в разных ситуациях разнымиавторами. Например, течение жидкости с нелинейной вязкостью исследовано в работахА.М. Блохина и др14, 15 .В работе Ф. Т. Смита16 изучалась задача о течении жидкости в двумерном каналес малыми локализованными неровностями на стенке, типа горбика или ямки. Однако,полученная им структура решения, отличная от классической трехпалубной структуры,и также, отличная от двухпалубной структуры, не применима для задачи о течении втрубе (или двумерном канале) с малыми периодическими неровностями на стенке.Все это позволяет сделать предположение о том, что двухпалубная структура является неотъемлемым свойством модели Навье–Стокса, как и хорошо известная трехпалубнаяструктура.Цели и задачи диссертацииЦелью данной диссертационной работы является исследование условий существования двухпалубной структуры пограничного слоя в задачах обтекания несжимаемойвязкой жидкостью поверхностей с малыми неровностями при больших значениях числаРейнольдса.Задачи диссертационного исследования следующие.1.