Автореферат (1137358), страница 5
Текст из файла (страница 5)
12. Отметим, что мы не исследовали поведениерешения на больших временах, т.е. не известно останется ли этот вихрь или произойдетего разрушение.Также мы исследовали влияние радиуса трубы на характер течения, в результатекоторого мы пришли к следующему выводу: критические амплитуды A∗ и A∗∗ уменьшаются при увеличении радиуса трубы R0 .
Например, при R0 = 0.3 и A = 1.1 наблюдаетсяламинарное течение (см. рис. 10 б)), а при R0 = 1 и A = 1.1, как уже написано выше, впотоке наблюдается формирование вихрей (см. рис. 11).а) A = 0.5, R0 = 1б) A = 1.1, R0 = 0.3Рис. 10. Ламинарный (стационарный) поток, t > 0В п. 3.2 из § 3 третьей главы производится построение алгоритма для численногорешения уравнения Лапласа, описывающего осцилляции в толстом пограничном слое (26),(27) и приводятся результаты численного моделирования течения в толстом пограничномслое.20б) Формирование вихря, t = t1 > t0 = 0;в) Перемещение вихря, t = t2 > t1 ;г) Разрушение вихря, t = t3 > t2 ;д) Стационарный поток, t = t4 > t3 ;Рис.
11. Динамика вихреобразования, A = 1.1, R0 = 1а) Два вихря, t = t1 > 0.б) Стационарный поток, t = t2 > t1 .Рис. 12. Вихревое течение, A = 1.5, R0 = 1Компоненты скоростей течения в толстом пограничном слое имеют следующий вид(см. теорему 3.1):v ‡ = ε6/5 ve2II ,u‡ = ε2/5(30)τ + (θmax + µ)ε2/5 u00 (0) + ε4/5 τ 2 u000 (0) + uIII+ ε6/5 ueII12.(31)Функция ve2II является решением краевой задачи на уравнения Лапласа (26), (27). ЕеP∗легко найти путем разложения в ряд Фурье: ve2II =vk (τ )eikξ , где vk (τ ) = v2,k,∞e−|k|τ , а k6=0∗v2,k,∞— коэффициенты разложения функции ve2∗ θ→∞ (граничного условия) из (27).Zξ IIRξ∂ev2IIФункция ueIIопределяетсяпоформулеue=dξ,гдепервообразнаяG=ge22∂τ(см.
определение 1.2) вычисляется путем разложения ее в ряд Фурье с коэффициента-21ми Gk , которые определяются по следующей формуле (k 6= 0, т.к. отсутствует средняя):Gk (τ ) =1 dvk.ik dτВ смысле теории асимптотических методов, пристеночный (тонкий) пограничныйслой в координатах толстого пограничного слоя имеет нулевую толщину. Однако, стабилизация решения в пристеночном слое, которая в теории наступает при θ → ∞, реальнонаблюдается при θ > θmax . Для построения совместной картины течения в пристеночнойобласти (т.е. тонком погранслое) и в втором (т.е.
толстом) пограничном слое мы бралидостаточно большие значения ε (ε = 0.1), поэтому толщина пристеночного слоя оказывается вполне конечной и ее учет приводит к появлению слагаемого (θmax + µ)ε2/5 в (31).При меньших значениях ε течения в погранслоях можно графически представить толькоотдельными картинками.На рис. 13 а) изображены линии тока в толстом пограничном слое для случая A = 0.5.Как было написано ранее, в этом случае в тонком пограничном слое наблюдается ламинарное течение, см. рис. 10 а).
На рис. 13 б) изображен случай амплитуды A = 1.5, прикоторой в тонком погранслое наблюдается образование вихрей, см. рис. 12. Видно, чтовихри из тонкого пограничного слоя не вносят возмущения в течение в толстом погранслое. Сама структура течения в толстом погранслое похожа на структуру течения в тонкомпогранслое «на бесконечности», см.
рис. 14. Отметим, что в отличии от рассмотренногов первой главе случая пластины, в котором течение в толстом погранслое есть течениеБлазиуса, в задаче рассматриваемой здесь нет нетривиального пограничного слоя, а естьтолько основной поток — течение Пуазейля.а) A = 0.5б) A = 1.5Рис.
13. Течение в толстом пограничном слоеРис. 14. «Сшивка» решений между тонким и толстым пограничными слоями, A = 1.522В § 4 третьей главы рассматривается частный случай течения рассмотренной выше задачи о течении в аксиально–симметричной трубе — течение в двумерном каналес малыми периодическими неровностями на стенках при больших значениях числа Рейнольдса Re, см. рис. 15. Для простоты будем считать, что основное течение внутри канала(исключая пограничные слои) есть течениеПуазейля. Будем считать, что стенки канала описываются уравнениями:ys± = ±l/2 + ε4/5 µ± (x, ξ),где l — ширина канала, ξ = x/ε2/5 , аε = Re−1/2 — малый параметр. ФункРис.
15. Двумерный каналции µ± (x, ξ) являются гладкими, 2πпериодическими по ξ и имеющими нулевое среднее (в смысле определения 1.1).Основным отличием задачи о течении в канале от задачи о течении в трубе являетсяиспользование в последней цилиндрической системы координат. В канале используютсядекартовы координаты. Ввиду того, что в рамках двухпалубной структуры отсутствуетвзаимодействие пограничного слоя с основным потоком, пограничные слои у каждой стенки можно рассматривать по отдельности. Формальное асимптотическое решение задачи отечении в канале аналогично решению задачи о течении в трубе (отличие состоит лишь виспользовании разных систем координат), и в диссертации сформулирована Теорема 3.3,которая не приводится здесь в силу ее аналогичности приведенной выше теореме 3.1. Всерезультаты численного моделирования течения в трубе справедливы и для этой задачи.В Заключении приведены основные результаты работы.Основные результаты работыВ диссертационной работе исследована двухпалубная структура пограничного слоя,возникающая в ряде задач.
Доказано существование, единственность и устойчивость решения уравнения типа Рэлея, описывающего осцилляции вертикальной скорости в классическом пограничном слое для задачи обтекания вязкой несжимаемой жидкостью полубесконечной пластины с малыми периодическими неровностями на поверхности при большихзначениях числа Рейнольдса (см. Теоремы 1.2 и 1.3). Построен алгоритм численного решения уравнения типа Рэлея и приведены результаты его использования.Доказано, что двухпалубная структура пограничного слоя возникает в задаче обтекания полубесконечной пластины с малыми локализованными неровностями типа горбика,скачка или излома в виде угла, а также в задаче о течении в аксимально–симметричнойтрубе и двумерном канале с малыми периодическими неровностями на стенках при больших значениях числа Рейнольдса.
Для всех рассмотренных задач построено их формальное асимптотическое решение. Для полученных уравнений построен алгоритм численногорешения (на основе разностных схем, удовлетворяющих принципу максимума, и следовательно, устойчивых) и приведены результаты его использования. Путем численного моделирования найдена зависимость между параметрами неровности (амплитудой неровности,радиусом трубы, шириной канала) и характером течения.23Работы автора по теме диссертацииРаботы, опубликованные автором в ведущих рецензируемых научных журналах иизданиях, рекомендованных ВАК:1. Данилов В.
Г., Гайдуков Р. К. Моделирование течений в канале с неровными стенками // T-Comm – Телекоммуникации и Транспорт. — 2013. — № 11. — С. 84–87. —0,5 п.л. (личный вклад автора 0,25 п.л.).2. Danilov V. G., Gaydukov R. K. Vortices in the Prandtl boundary layer induced by irregularities on a plate // Russian Journal of Mathematical Physics. — 2015. — Vol. 22, issue 2. —Pp. 161–173. — 1,56 п.л. (личный вклад автора 0,78 п.л.).3. Danilov V. G., Gaydukov R. K. Double-Deck Structure of the Boundary Layer in Problemsof Flow around Localized Perturbations on a Plate // Mathematical Notes. — 2015.
—Vol. 98, issue 4. — Pp. 561–571. — 1,32 п.л. (личный вклад автора 0,66 п.л.).Работы, опубликованные в других изданиях:4. Danilov V. G., Gaydukov R. K. Oscillations in classical boundary layer for flow withdouble-deck boundary layers structure // Proceedings of International Conference DAYSon DIFFRACTION 2013. — 2013. — P. 28–31.
— 0,5 п.л. (личный вклад автора 0,25 п.л.).Лицензия ЛР № 020832 от «15» октября 1993 г.г. Формат 60x84/16Подписано в печать « »Бумага офсетная. Печать офсетная.Усл. печ. л. 1.Тираж 100 экз. Заказ №Типография издательства НИУ ВШЭ,125319, г. Москва, Кочновский пр-д., д. 3.24.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
