Автореферат (1137358), страница 3

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

Для любой 2π-периодической гладкой функции ge(x, ξ), определеннойZξdefge(x, ξ) dξ так,на R × [0, 2π], и такой, что g(x, ξ) = 0, определим функцию G(x, ξ) =чтобы G(x, ξ) = 0.В работе В. Г. Данилова и М. В. Макаровой17 было получено асимптотическое решение задачи (1), (2) для стационарного случая. Полученное решение имеет двухпалубннуюструктуру, состоящую из тонкого пограничного слоя (область I), классического пограничного слоя (область II) и области внешнего (невозмущенного) течения (область III),см. рис.

2. Далее принято следующее обозначение: верхний индекс над функцией обозна17Danilov V.G., Makarova M.V. Asymptotic and numerical analysis of the flow around a plate with smallperiodic irregularities // Russian Journal of Mathematical Physics. — 1994. — Vol. 2. — Pp. 49–56.9чает область двухпалубной структуры, в которой эта функция определена. Приведеннаяниже Теорема 1.1 — это аналог теоремы из работы17 для нестационарной задачи.Рис. 2.

Двухпалубная структура пограничного слоя и замена переменныхПриведенные ниже утверждения об асимптотиках сформулированы в виде теорем.Основной смысл этих теорем состоит в предъявлении такой структуры асимптотическогорешения, которая позволяет вычислить любое количество слагаемых в асимптотике (вформулировках мы ограничиваемся главными слагаемыми и первыми поправками).Теорема 1.1. Пусть x > δ > 0.

Тогда формальное асимптотическое решение задачи (1),(2) имеет видII1/3Iuu(t, x, y) = 1 + uII(t,x,τ)+ O(ε2/3 ),(x,τ)+εu(t,x,ξ,θ)+101v(t, x, y) = ε2/3 ve2I (t, x, ξ, θ) + ve2II (t, x, ξ, τ ) + O(ε),p(t, x, y) = p0 + ε2/3 peII2 (t, x, ξ, τ ) + O(ε),где θ = y/ε4/3 , τ = y/ε, ξ = x/ε. Функции uI1 и v2I определяются следующими соотношениями:∂uII0 I∗II II I∗,ve(t,x,ξ,θ)=v−ve,u1 (t, x, ξ, θ) = u1 − u1 τ =0 − θ222τ =0∂τ τ =0где функции u∗1 и v2∗ являются решением системы уравнений пограничного слоя Прандтляс индуцированным давлением ∗∗∗II ∂u∂u∂pe∂ 2 u∗1∂u1112 ∗∗+u+v=−+,12∂t∂ξ∂θ∂ξ τ =0∂θ2 ∂u∗1 ∂v2∗+= 0,∂ξ∂θ∂uII0 ∗∗u1 θ=µ = µ,ve2 θ=µ = 0,∂τ τ =0u∗1 ξ = u∗1 ξ+2π , v2∗ ξ = v2∗ ξ+2π ,∗∂u∗1 ∂uII∂u0 1→,→ 0.∂θ θ→∞∂τ τ =0 ∂ξ θ→∞√ ††018Функция uII0 = u0 − 1, где функция u0 = f τ / x , f (γ) — функция Блазиуса .18Решение краевой задачи f 000 = −0.5 f f 00 , f (0) = f 0 (0) = 0, f 0 γ→∞ → 1.10(3)(4)Функция ve2II есть решение задачи ∆ = ∂ 2 /∂ξ 2 + ∂ 2 /∂τ 2 :∂ε1/3 ∆∂tZξve2IIdξ +v2IIu†0 ∆e−2 †u0∂τ 2∂ve2II= 0,(5)(6)ve2II τ =0 = lim ve2∗ , lim ve2II = 0, ve2II ξ = ve2II ξ+2π .τ →∞θ→∞IIФункция u1 является решением следующей задачи (системы линеаризованных уравненийПрандтля):††IIIIII∂ 2 u†0† ∂u1† ∂u1† ∂u0II ∂u0−2/3 ∂u1+ u0+ u1+ v3+ v4−= 0,ε∂t∂x∂x∂τ∂τ∂τ 2∂uII ∂v † 1 + 4 =0∂x∂τс некоторыми естественными граничными условиями19 .

Давление определяется равенством†v2II∂ peII† ∂e2II ∂u0= u0− ve2, p0 = const.(7)∂ξ∂τ∂τПриведенные выше уравнения нужно дополнить некоторыми начальными условиями. Уравнение (5) аналогично уравнению Рэлея для плоскопараллельного течения20 . Отметим, что решение задачи (5), (6) зависит от времени t0 = ε−1/3 t, а решение задачи (3),(4) — от времени t. В связи с этим, помимо вопросов существования и единственностирешения уравнения типа Рэлея (5), возникает также вопрос об устойчивости его решенияна больших временах.В § 2 первой главы доказывается, что уравнение типа Рэлея (5) имеет единственное стационарное решение в области позади передней кромки пластины (x > M , гдеM ≈ 0.1442 определено ниже, см. (9)), а также что оно устойчиво (в смысле орбитальнойустойчивости).

Основным результатом является следующая теорема.Теорема 1.2. Стационарное решение vest уравнения (5) существует и устойчиво ∀ x > M ,т.е. для малых возмущений δevst стационарного решения vest уравнения (5) следует, что√ Z∞ Z2π 22 1 − f 0 τ / x e dξdτ 6∇Veδ + x f 000 τ /√x ∆Vδ00Z t Z∞Z2π 6√ 2 1 − f 0 τ / x 2∇Veδ + x e dξdτ dt+ f 000 τ /√x ∆Vδ0 0 0Z t Z∞Z2π +√ 2 1 − f0 τ/ x ∂1 + x 000√ ∆Vest dξdτ dt, (8)∂tf τ/ x0 0 0где1920 000 f (γ) ,M = max 0γ∈[0,∞) f (γ) ZξVest =Zξvest ,Veδ =δevst .(9)Решение этого уравнения не играет значимой роли при изучении свойств течения около пластины.Арнольд В.И.

Математические методы классической механики. М.:УРСС. — 2003. (Добавление 2).11Хорошо известно, что из априорной оценки (8) следует (в силу линейности) существование и единственность решения уравнения типа Рэлея при x > M .В § 3 первой главы рассматривается вопрос о существовании решения уравнениятипа Рэлея (5) в области передней кромки пластины (0 < x 6 M ). Показано, что разлагаяфункцию ve2II в ряд Фурье по переменной ξ с коэффициентами vk , и проделав некоторыепреобразования, можно перейти от краевой задачи (5), (6) (точнее от ее стационарногоаналога) к следующей задаче:Ĥ φ = −V Ĥ g , k ∈ Z \ {0}k k0k k kφ =0,φk γ=0k γ→∞ → 0,(10)d2где оператор Ĥk = − 2 + U (γ) + xk 2 — оператор типа Шредингера с потенциалом U (γ)√dγ(см.

рис. 3), γ = τ / x, φk = vk − gk V0k , gk ∈ C ∞ [0, ∞) — некоторая функция, такая,что gk τ =0 = 1, gk τ →∞ = O τ −N , ∀ N ∈ Z+ , а V0k — коэффициенты разложения краевогоусловия v2∗ θ→∞ из (6).Потенциал U (γ) = f 000 (γ)/f 0 (γ), изображенныйна рисунке справа, представляет собой ямку глубины M (см. (9), M ≈ 0.1442) и обладает следующимисвойствами: U (0) = 0, U γ→∞ = O |γ|−N , где N —любое число.Очевидно, что задача (10) имеет решение, еслиРис. 3.

График потенциала U (γ)Ker Ĥk = ∅, и, следовательно, необходимо рассмотреть следующую задачу:−ψ 00 + U ψ = λ ψ ,kk kk(11)ψ(0) = 0, ψ →0,γ→∞где λk = −xk 2 , т.е. задачу на собственные значения и собственные функции операторатипа Шредингера с потенциалом U (γ), см. рис. 3. В этом параграфе показано, что такойзадачи возможно существование лишь единственного собственного значения. Справедливаследующая теорема.Теорема 1.3.

Решение задачи (10), существует и единственно при любых x > 0, заисключением точек xk , k 6= 0, таких, что xk k 2 = λ, где λ — собственное значениезадачи (11) (в случае если оно существует).В § 4 первой главы приводится алгоритм нахождения решения задачи (1), (2):1. Найти функции u∗1 , v2∗ , описывающее течение в тонком пограничном слое, решивзадачу (3), (4) (см. п. 4.1 данного параграфа).2. Найти lim ve2∗ , являющийся граничным условием для задачи (5), (6).θ→∞123. Найти функцию ve2II , описывающую осцилляции в классическом пограничном слое,решив задачу (5), (6) (см. п. 4.2 данного параграфа).В п.

4.1 из § 4 первой главы производится построение алгоритма численного решения задачи (3), (4), основанного на методе конечных разностей, и учитывающего разделение на осцилляции и средние. Построенная разностная схема устойчива (удовлетворяетпринципу максимума).В п. 4.2 из § 4 первой главы показано, что уравнение типа Рэлея (5) может бытьпредставлено в видеε√ √ ∂Gf 000 τ / x II+ f τ/ x=ve2 ,∂t∂ξx1/3 ∂G0∆ev2II =∂G,∂ξпостроен алгоритм его численного решения, основанный на методе конечных разностей иприведены результаты численного моделирования, см.

рис. 5, 6.Рис. 5. Поле скоростей течения вдоль пластины c неровностями при x = 1 и x = 5,параметре ε = 0.1, t = 0.8Рис. 4. Поле скоростей течения вдоль ровной пластины при ε = 0.1Рис. 6. Поле скоростей течения вдоль пластины c неровностями при x = 1, ε = 0.1, t = 0.8(увеличенный погранслой)Из сравнения рис. 5 и 4 видно, что малые неровности на поверхности пластины вносятсильные возмущения в течение в пограничном слое. Также отметим, что из сравненияэтих рисунков (см.

также рис. 6) может показаться что в исследуемой нами задаче стоитусловие проницаемости на нижней границе, что не верно, т.к. как уже было сказано ранее,13пограничный слой в нашей задаче имеет двухпалубную структуру, и под классическимпограничным слоем, изображенным на рис.

5, находится тонкий пограничный слой.Во второй главе исследуется задача обтекания полубесконечной пластины с локализованными на ней малыми неровностями типа горбика, ступеньки и излома в видевогнутого угла при больших числах Рейнольдса.В § 1 второй главы производится математическая постановка задачи обтеканиявязкой несжимаемой жидкостью неподвижной полубесконечной пластины с малой локализованной неровностью на поверхности при больших значениях числа Рейнольдса Re.Набегающий поток предполагается плоскопараллельным и имеющим скорость u0 = 1,см.

рис. 7. Поверхность S задается следующим равенством:ys = ε4/3 µ(ξ),(12)√где ξ = (x − x0 )/ε, а ε = 1/ Re — малый параметр.Как было написано выше, мы рассматриваем случаи, когда поверхность пластины(т.е. функция µ(ξ)) имеет одну из следующих форм:1. в точке x0 поверхность пластины имеет излом типа малого сглаженного угла, см.−eξ;рис. 7 а), например, µ(ξ) = tg (α) ξ1 − eξ2. в точке x0 функция µ имеет вид сглаженной ступеньки, см. рис. 7 б), например,eξµ(ξ) = A, где A — величина скачка;1 + eξ3. в точке x0 на поверхности пластины присутствует горб, см.

Характеристики

Список файлов диссертации