Автореферат (1137358), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Определение геометрических параметров неровностей на поверхности, приводящих кдвухпалубной структуре пограничного слоя в задачах о течении в трубах и каналах.2. Построение формального асимптотического решения, имеющего двухпалубную структуру, для задачи обтекания пластины с малой локализованной неровностью и длязадач о течении жидкости в аксиально-симметричной трубе и двумерном канале смалыми периодическими неровностями на стенке при больших числах Рейнольдса.12Smith F.T., Duck P.W. Separation of Jets or Thermal Boundary Layers From a Wall // Quarterly Journalof Mechanics and Applied Mathematics. — 1977.
— Vol. XXX. — Pp. 143–156.13Yapalparvi R. Double-deck structure revisited // European Journal of Mechanics – B/Fluids. — 2012. —Vol. 31. — Pp. 53–70.14Blokhin A.M., Yegitov A.V., Tkachev D.L. Linear instability of solutions in a mathematical modeldescribing polymer flows in an infinite channel // Computational Mathematics and Mathematical Physics. —2015. — Vol. 55. — Pp.848–873.15Блохин А.М., Ткачев Д.Л. Линейная асимптотическая неустойчивость стационарного течения полимерной среды в плоском канале в случае периодических возмущений // Сибирский журнал индустриальной математики.
— 2014. — Т. 17. — С. 13–25.16Smith F.T. Flow through constricted or dilated pipes and channels: part 1 // Quarterly Journal ofMechanics and Applied Mathematics. — 1976. — Vol. XXIX. — Pp. 343–364.53. Определение условий существования стационарного решения и исследование устойчивости этого решения для уравнения типа Рэлея, возникающего в области классического пограничного слоя Прандтля (на «верхней палубе» пограничного слоя cдвухпалубной структурой).Отметим, что целью диссертационного исследования является построение формальных асимптотических решений рассматриваемых задач, а не обоснование асимптотики.Задача обоснования асимптотики эквивалентна (или даже сложнее) доказательству существования и гладкости решения уравнений Навье–Стокса в неограниченной области,входящей в список нерешенных «Задач тысячелетия».Также отметим, что при асимптотическом анализе задача с малым параметром всегдасводится к какой-то серии задач, не содержащих малого параметра, и задачи из этой сериимогут либо иметь явное аналитическое решение, либо могут допускать только комбинациюаналитического и численного исследований.
В.П. Маслов неоднократно подчеркивал, чтовторой класс задач не менее важен, чем первый, и именно с такой ситуацией мы имеемдело в этой работе.Научная новизнаВ диссертационной работе представлены новые методы исследования математическойзадачи, описывающей обтекание несжимаемой вязкой жидкостью поверхностей с малыминеровностями при больших числах Рейнольдса.Положения, выносимые на защиту1. Определены характерные масштабы (степени малого параметра, входящие в решение), приводящие к двухпалубной структуре, и получено формальное асимптотическое решение задачи о течении жидкости в аксиально-симметричной трубе и двумерном канале с малыми периодическими неровностями на стенке, имеющее двухпалубную структуру пограничного слоя.2.
Доказано существование стационарного решения и его устойчивость для уравнениятипа Рэлея, описывающего осцилляции течения на «верхней палубе» пограничногослоя c двухпалубной структурой (т.е. в области классического пограничного слояПрандтля) для задачи обтекания пластины с малыми периодическими неровностями.3. Получено формальное асимптотическое решение задачи обтекания жидкостью пластины с малой локализованной (уединенной) неровностью типа горбика, ступенькиили излома в виде угла, имеющее двухпалубную структуру пограничного слоя.4.
Построеналгоритмдлячисленногорешенияуравненийнафункции, описывающие течение жидкости в пограничном слое с двухпалубной структурой, основанный на разностных схемах, удовлетворяющих принципу максимума,и приведены результаты его применения.6Заметим, что в построенных формальных асимптотиках значимым результатом также являются найденные нецелые степени малого параметра, по которому строится асимптотическое разложение, что является нетривиальным моментом, т.к. малый параметр входит вуравнения Навье-Стокса в целой степени, и асимптотика решения обычно строится толькопо целым или полуцелым его степеням.Методология и методы диссертационного исследованияНаучное исследование, результаты которого изложены в данной диссертационной работе, проводится при помощи математических методов.
В частности, используются следующие математические методы: методы функционального анализа и теории линейныхдифференциальных операторов; асимптотические методы; метод осреднения; теория разностных схем.Теоретическая и практическая значимость работыРабота имеет теоретический характер. Полученные в диссертационной работе теоретические результаты вносят вклад в математическую теорию пограничного слоя.
Показано, что исследованная в данной работе двухпалубная структура пограничного слояявляется также неотъемлемым свойством модели Навье–Стокса, равно как и общеизвестная трехпалубная структура. Полученные в диссертации теоретические результаты можноприменять для дальнейших исследований течений вдоль поверхностей с малыми шероховатостями.Степень достоверности результатов диссертацииОсновные результаты диссертации оформлены в виде математических утвержденийи строго доказаны.Личный вклад автораПостановка задачи принадлежит научному руководителю В.
Г. Данилову. Все представленные результаты получены автором самостоятельно.Апробация результатов диссертационного исследованияРезультаты диссертационной работы были представлены автором лично на следующих российских и международных научных конференциях и семинарах:1. Days on Diffraction 2013 (DD 2013) (Санкт-Петербург, ПОМИ РАН, 2013).2. VII Отраслевая научно-техническая конференция «Технологии информационногообщества» (Москва, МТУСИ, 2013).3. Научно-техническая конференция студентов, аспирантов и молодых специалистовНИУ ВШЭ (Москва, МИЭМ НИУ ВШЭ, 2014).4. Международная научная конференция «Современные проблемы вычислительной математики и математической физики», посвященная памяти академика А.А.Самарскогов связи с 95-летием со дня его рождения (Москва, МГУ, 2014).75.
The Seventh International Conference on Differential and Functional Differential Equations(DFDE 2014) (Москва, РУДН, 2014).6. 5-ая международная научная школа молодых ученых «Волны и вихри в сложныхсредах» (Москва, ИПМех РАН, 2014).7. Семинар «Методы суперкомпьютерного моделирования» (Таруса, «Интеркосмос»ИКИ РАН, 2015).8. Научно–исследовательский семинар «Асимптотические методы в математическойфизике» (Москва, ИПМех РАН, 2015).9.
Общегородской семинар им. А.М. Ильина по дифференциальным уравнениям математической физики (Уфа, Институт математики с ВЦ УО РАН, 2016).10. Семинар кафедры математики физического факультета МГУ (Москва, МГУ, 2016).ПубликацииОсновные результаты диссертации были опубликованы совместно с научным руководителем в 4 работах, 3 из которых опубликованы в журналах, входящих в утвержденныйВАК перечень ведущих рецензируемых научных изданий, в которых должны быть опубликованы результаты кандидатских диссертаций. Список публикаций приведен в конценастоящего автореферата. В указанных публикациях содержатся все основные результаты диссертации.Структура и объем диссертацииДиссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы, содержащего 96 наименований.
Объем диссертации 154 стр.Содержание работыВо введении приводятся подробный обзор литературы, посвященной исследуемойпроблеме, постановка исследуемой задачи, формулируются цель работы, научная новизна,а также теоретическая и практическая значимость диссертационной работы.В первой главе исследуется уравнение типа Рэлея, описывающее течение во второй палубе двухпалубной структуры пограничного слоя в задаче обтекания пластины смалыми периодическими неровностями при больших значениях числа Рейнольдса.В § 1 первой главы рассмотрена задача обтекания вязкой несжимаемой жидкостьюполубесконечной пластины с малыми периодическими неровностями на поверхности прибольших значениях числа Рейнольдса Re, см. рис.
1.Поверхность пластины описывается уравнением ys = ε4/3 µ x, x/ε , где ε = Re−1/2 —малый параметр. Эта задача описывается системой уравнений Навье–Стокса и неразрывностиε−2/3 ∂U + U, ∇U = −∇p + ε2 4U,∂t(1)∇, U = 0,8Рис. 1. Задача обтекания пластины, U0 = (1, 0)где U = (u, v) — вектор скорости, p — давление. Наличие коэффициента ε−2/3 передпроизводной по времени в (1) связано с тем, что течение в окрестности поверхности имеет двухслойную структуру (см. рис. 2), которая порождает специальную иерархию времен. Масштаб времени для флуктуаций скорости в тонком пограничном слое существенноменьше, чем масштаб времени для флуктуаций в пограничном слое Прандтля, см.
нижеТеорему 1.1. Система уравнений (1) дополняется следующими граничными условиями:U!!!011∂u =,= 0, v = 0, U→, U→.y=ysy=0∂y y=0000y→±∞x→−∞x>0x<0(2)x<0Для дальнейшего изложения нам потребуются следующие определения.Определение 1.1. Для любой 2π-периодической гладкой функции g(x, ξ), определеннойZ2π1defна R × [0, 2π], определим среднее значение формулой g(x) =g(x, ξ) dξ, и осциллиру2π0defющую часть формулой ge(x, ξ) = g(x, ξ) − g(x).В этой задачи мы имеем дело с двумя типами быстрых переменных: периодическойпеременной и переменной типа пограничного слоя.
В связи с этим необходимо разделятьосциллирующую часть и среднее значение. Это необходимо ввиду того, что граничныеусловия для средней и осциллирующей частей компонент скорости являются различными для величин одного порядка. Например, в тонком пограничном слое (см. (4) ниже)граничное условие для осциллирующей части функции v2∗ отсутствует, но присутствуетграничное условие для средней. Эта особенность, в частности, приводит к особенностямпостроения алгоритма численного решения задачи в пристеночной области.Определение 1.2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
