Автореферат (1137358), страница 4

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 4)

рис. 7 в), например,µ(ξ) = A exp(−ξ 2 ), где A — высота горба.а) угол:µξ→−∞ → 0,∂µ → const;∂ξ ξ→+∞б) ступенька:µξ→−∞ → 0,∂µ → 0,∂ξ ξ→+∞µξ→+∞ → const;в) горб:µξ→−∞ → 0,∂µ → 0,∂ξ ξ→+∞µξ→+∞ → 0;Рис. 7. Типы рассматриваемых неровностей, u0 = 1, x0 > δ > 0Данная задача описывается системой уравнений Навье–Стокса и неразрывности U, ∇U = −∇p + ε2 4U,∇, U = 0,14(13)дополненной граничными условиями (2), приведенными ранее.В § 2 второй главы производится построение формального асимптотического решения поставленной задачи. Полученное решение имеет двухпалубную структуру, аналогичную приведенной в предыдущей главе, см. рис.

2. Также отметим, что далее приняты те жеобозначения: верхний индекс над функцией означает область двухпалубной структуры, вкоторой она определена. Однако, в отличии от задачи, рассмотренной в первой главе, вэтой задаче, в силу отсутствия периодичности, не требуется применять метод осреднения.Основным результатом является следующая теорема.Теорема 2.1. Пусть x > δ > 0. Тогда формальное асимптотическое решение задачи (13),(2), (12) имеет вид√2/3),u = f 0 (τ / x) + ε1/3 uI1 (x, ξ, θ) + uII1 (x, τ ) + O(εv = ε2/3 v2I (x, ξ, θ) + v2II (x, ξ, τ ) + O(ε),p = p0 + ε2/3 pII3 (x, ξ, τ ) + O(ε),√где θ = y/ε4/3 , τ = y/ε, ξ = x/ε, а f (τ / x) — функция Блазиуса. Функцииu∗1=uI1f 00 (0)+θ √ ,xv2∗=v2I+v2II ,τ =0описывающие течение в тонком погранслое, являются решением следующей краевой задачи∗∗∂pII∂ 2 u∗12 ∗ ∂u1∗ ∂u1u 1+ v2=−+,∂ξ∂θ∂ξ τ =0∂θ2(14)∂u∗1 ∂v2∗+= 0,∂ξ∂θ00∗f(0)∂uf 00 (0)1√ ,→u∗1 θ=µ = µ √ , v2∗ θ=µ = 0,∂θ θ→∞xx(15)∂u∗1 ∂u∗1 f 00 (0)∗→ 0, u1 ξ→−∞ → θ √ ,→ 0.∂ξ θ→∞∂ξ ξ→∞xФункция v2II , описывающая течение в классическом погранслое, является решением уравнения типа Рэлея 2 II√000√∂ v2∂ 2 v2II0II f (τ / x)+− v2= 0,(16)f (τ / x)∂ξ 2∂τ 2xII ∂v2 → 0.(17)v2II τ =0 = lim v2∗ , v2II τ →∞ → 0, v2II ξ→−∞ → 0,θ→∞∂ξ ξ→∞Давление pII2 определяется из следующего выражения:√ 00II√fτ/x∂pII∂v22√= f0 τ/ x− v2II.∂ξ∂τx(18)Отметим, что мы будем решать систему уравнений (14) численно с помощью методаустановления.

Это означает, что формально вместо системы уравнений (14) мы рассмат15риваем ∗∗∗II ∂u∂u∂u∂p∂ 2 u∗1 1 + u∗1 1 + v2∗ 1 = − 2 +,∂t∂ξ∂θ∂ξ τ =0∂θ2∂u∗1 ∂v2∗+= 0,∂ξ∂θ(19)и решаем ее численно на больших временах (т.е. при большом количестве итераций). Если полученное решение стабилизируется, значит мы нашли стационарное решение системы (14). В случае отсутствия стабилизации, необходимо рассматривать исходно нестационарную задачу, которая будет описываться нестационарной системой уравнений Навье–Стоксаε−2/3 ∂U + U, ∇U = −∇p + ε2 ∆U,∂t(20)∇, U = 0.и для нее в диссертации сформулирована теорема 2.2, аналогичная приведенной вышетеореме 2.1.

Отличием в ней является только лишь замена системы уравнений (14) на (19),а также заменой уравнения типа Рэлея (16) на его нестационарный аналог (5), и в силуэтого здесь мы ее не приводим. Отметим, что наличие коэффициента ε−2/3 перед производной по времени в (20) обусловлено тем, чтобы в уравнения тонкого пограничного слояпроизводная по времени входила без коэффициентов, см. (19).В § 3 второй главы приводится алгоритм нахождения решения задачи (13), (2),(12):1. Найти функции u∗1 , v2∗ , описывающее течение в тонком пограничном слое, решивзадачу (14), (15) (см. п. 3.1 из данного параграфа).2. Найти lim ve2∗ , являющийся граничным условием для задачи (16), (17).θ→∞3.

Найти функцию ve2II , описывающую осцилляции в классическом пограничном слое,решив задачу (16), (17) (см. п. 4.2 из § 4 первой главы).В п. 3.1 из § 3 второй главы производится построение алгоритма численного решения методом установления задачи (14), (15) на функции, описывающие течение в тонкомпограничном слое, основанного на методе конечных разностей. Построенная разностнаясхема устойчива (удовлетворяет принципу максимума).В п. 3.2 из § 3 второй главы приводятся результаты численного моделирования.

Сначала рассмотрена задача обтекания неровности типа горба (см. 7 в)). В качестве2функции, описывающей неровность, мы взяли µ(ξ) = Ae−ξ /4 . Характер течения в целоманалогичен задаче обтекания пластины с периодическими неровностями, рассмотреннойв первой главе. Существует некоторая критическая амплитуда горба A∗ , такая, что приA < A∗ течение ламинарное и стационарное, а при A > A∗ в течении начинают образовываться вихри, см.

рис. 8.В задаче обтекания угла (см. рис. 7 а)) и ступеньки (см. рис 7 б)) наблюдается аналогичные результаты: при малом A (A = tg(α)) течение ламинарное, а при больших — впотоке образуется вихрь.16а) t = 0;б) t = t1 > 0;в) t = t2 > t1 ;г) t = t3 > t2 ;Рис. 8. Обтекание горба при A = 4.0 > A∗В третьей главе исследуются задачи о течении вязкой несжимаемой жидкости внутри аксиально–симметричной трубы и двумерного канала с малыми периодическими неровностями на стенках при больших значениях числа Рейнольдса.В § 1 третьей главы приводится математическая постановка задачи.

Мы рассматриваем течение вязкой несжимаемой жидкости в аксиально–симметричной трубе радиусаR0 (см. риc. 9) с малыми периодическими неровностями на стенке при больших значенияхчисла Рейнольдса Re. Для определенности, далее будем считать что координатная ось Ozсовпадает с осью трубы (см. рис. 9) и сонаправлена с направлением основного течения —течения Пуазейля. Неровности на стенке имеют видrs = R0 − ε4/5 µ(ξ),(21)где ε = Re−1/2 — малый параметр, ξ = z/ε2/5 , а функция µ(ξ) является 2π — периодичеR 2πской, гладкой и имеющей нулевое среднее, т.е.

0 µ(ξ) dξ = 0.Рис. 9. Течение в аксиально–симметричной трубе и схема пограничных слоев двухпалубной структурыДанная задача описывается системой уравнений Навье–Стокса и неразрывности, которая в цилиндрических координатах (r, ϕ, z) с учетом аксиальной симметрии (т.е., вектор17скорости U = (v, w, u) и давление p не зависят от угла ϕ) имеет следующий вид:2∂v∂v∂p1∂∂v∂vvv+u= − + ε2r+ 2− 2 ,∂r∂z∂rr ∂r ∂r∂zr∂u∂u∂p∂u∂ 2u2 1 ∂v+u=−+εr+,2∂r∂z∂zr∂r∂r∂z 1 ∂ rv + ∂u = 0.r ∂r∂z(22)Система уравнений (22) дополняется граничным условиемU= 0.(23)r=rsВ § 2 третьей главы производится построение формального асимптотического решения поставленной задачи. Полученное решение имеет двухпалубную структуру, аналогичную приведенной ранее в первой и второй главах, за исключением течения в толстомпограничном слое: здесь вместо уравнения Рэлея получается хорошо изученное уравнение Лапласа.

В силу периодичности в этой задаче возникает необходимость применениятехники осреднения, см. определения 1.1 и 1.2 в первой главе. Также, как и раньше, здесьиспользуется следующее обозначение: верхний индекс над функцией обозначает областьдвухпалубной структуры, в которой она определена, см. рис. 2 и 9. Одним из основныхрезультатов является следующая теорема.Теорема 3.1 Формальное асимптотическое решение задачи (22), (23) имеет следующийвид:8/5+ ε6/5 uI2 (ξ, θ) + uu = u0 (ρ) + ε4/5 uI1 (ξ, θ) + uIIIeII),12 (ξ, τ ) + O(εv = ε6/5 ve2I (ξ, θ) + ve2II (ξ, τ ) + O(ε8/5 ),12/5p = p0 + ε2 p01 z + ε8/5 peII),3 (ξ, τ ) + O(εгде θ = ρ/ε4/5 , τ = ρ/ε2/5 , ξ = ρ/ε2/5 , ρ = R0 − r, а u0 (ρ) — скорость Пуазейля. Функции0u∗1 = uI1 + uIII1 + θu0 (0),v2∗ = ve2I + ve2II τ =0являются решением краевой задачи∗∗∂u∂u∂pe∂ 2 u∗13u∗1 1 − v2∗ 1 = −+,∂ξ∂θ∂ξ τ =0∂θ2∂u∗1 ∂v2∗−= 0,∂ξ∂θu∗1 θ=µ = 0,v2∗ θ=µ = 0, u∗1 ξ =u∗1 ξ+2π , v2∗ ξ = v2∗ ξ+2π ,∂u∗1 du0 ∂u∗1 →,→ 0.∂θ θ→∞dρ ρ=0∂ξ θ→∞18(24)(25)Функция ve2II является решением задачи Дирихле для оператора Лапласа∂ 2 ve2II ∂ 2 ve2II+= 0,∂τ 2∂ξ 2ve2II τ →∞ → 0,а функцияueII2имеет видueII2Zξ=ve2II ξ = ve2II ξ+2π ,(26)ve2II τ =0 = lim ve2∗ ,θ→∞(27)∂ev2IIdξ.

Функция pe3 (z, ξ, τ ) имеет вид∂τ " ZξZξ II #du0 ∂ev2peIIdξ .ve2II dξ − τ3 =dρ ρ=0∂τФункция uIII1 является константой и определяется равенством0∗uIII1 = lim (u1 − θu0 (0)).θ→∞Отметим, что как и во второй главе, мы будем решать систему уравнений (24) численно с помощью метода установления. Это означает, что формально вместо системыуравнений (24) мы рассматриваем ∗∗∗∂u1∂ pe3 ∂ 2 u∗1∗ ∂u1∗ ∂u1+ u1− v2=−,+∂t∂ξ∂θ∂ξ τ =0∂θ2∂u∗ ∂v ∗ 1 − 2 = 0,∂ξ∂θ(28)и решаем ее численно на больших временах (т.е. при большом количестве итераций).

Если полученное решение стабилизируется, значит мы нашли стационарное решение системы (24). В случае отсутствия стабилизации, необходимо рассматривать исходно нестационарную задачу, которая будет описываться нестационарной системой уравнений Навье–Стоксаε2/5 ∂U + U, ∇U = −∇p + ε2 4U,∂t(29)∇, U = 0,и для нее в диссертации сформулирована теорема 3.2, аналогичная приведенной вышетеореме 3.1. Отличием в ней является только лишь замена системы уравнений (24) на (28),и в силу этого здесь мы ее не будем приводить. Отметим, что наличие коэффициентаε2/5 перед производной по времени в (29) обусловлено тем, чтобы в уравнения тонкогопограничного слоя производная по времени входила без коэффициентов, см.

(28).В § 3 третьей главы приводится алгоритм нахождения решения задачи (22), (23):1. Найти функции u∗1 , v2∗ , описывающее течение в тонком пограничном слое, решивзадачу (24), (25) (см. п. 3.1 данного параграфа).2. Найти lim ve2∗ , являющийся граничным условием для задачи (26), (27).θ→∞193. Найти функцию ve2II , описывающую осцилляции в толстом пограничном слое, решивзадачу (26), (27) (см. п. 3.2 данного параграфа).В п. 3.1 из § 3 третьей главы производится построение алгоритма для численногорешения методом установления системы уравнений тонкого пограничного слоя (24), (25)и приводятся результаты численного моделирования течения в тонком пограничном слое.В качестве функции µ мы взяли функцию µ(ξ) = A cos(ξ).

Изменяя величину амплитудынеровности A, мы наблюдаем несколько характерных типов поведения решения. Болеетого, существуют критические значения амплитуды A, в которых происходит изменениеповедения решения.А именно, при фиксированном радиусе трубы существует две критические амплитудыA∗ и A∗∗ . При амплитуде A < A∗ течение ламинарное и с некоторого момента времени —стационарное, см. рис.

10 а). При A∗ < A < A∗∗ в начале наблюдается образование вихрей,но они разрушаются после некоторого (малого) промежутка времени, и с некоторого момента времени течение становится ламинарным и стационарным, см. рис. 11. При A > A∗∗течение имеет вихревой характер: после образования вихря на левой стенке «ямки» и егоперемещения по потоку, на левой стенке снова образуется вихрь, и так далее, и спустянекоторое время течение становится стационарным, но не ламинарным — в «ямке» мынаблюдаем стационарный вихрь, см. рис.

Характеристики

Список файлов диссертации