Автореферат (Поведенческие модели участников биржи), страница 3

Аналогичные рассуждения относительно ценных бумаг из множествипозволяют рассчитать математические ожидания стоимости всех ценныхбумаг:Такимобразом,задача(1)-(4)являетсязадачейлинейногопрограммирования, решение которого можно легко найти c помощью любогосовременного математического программного обеспечения.В разделе 2.3 рассматривается задача отыскания гарантированноговыигрыша трейдера при отсутствии у него предположений о законераспределения будущих цен финансовых инструментов, которую можно13рассматривать как игру с природой, в которой природа как игрок предлагаеттрейдеру наиболее неблагоприятные для него варианты изменения цен навключенные им в портфель финансовые инструменты.Пусть– вектор размерностиобъемов покупок/продаж ценных бумаг трейдером в моментвремени– вектор размерности,цен покупок/продаж ценных бумаг в момент времени,если трейдер верно определил направление изменения стоимости этих ценныхбумаг, и– вектор размерностицен покупок/продаж ценных бумаг в момент времени, еслитрейдер ошибся в своих прогнозах.

Поскольку трейдер может также учитыватьограничения вида (2)-(4), то множестваявляютсявыпуклыми,,, а соответственно имногогранниками.Обозначимчерез– вектор возможных цен финансовых инструментов из множества, также являющегося выпуклым многогранником в силу положительностизначений цен и их конечности.Теорема 1. В каждый момент временивзаимодействие междутрейдером и биржей может быть описано в форме игры на множествахнесвязанных стратегий в виде выпуклых многогранников–множествостратегийтрейдераи, гдеи– множество стратегий фондовой биржи, с платежнойфункцией, где– матрица размерности, составленная следующим образом14где– диагональная матрица размера, у которой все элементыглавной диагонали равны , и седловая точка игры может быть найдена изрешения задач (5) и (6) линейного программирования:иобразующих двойственную пару.Замечание.

Понятно, что компоненты векторав реальной задачетрейдера должны быть целыми числами и решения задач (5) и (6) дает лишьверхнюю границу значения. Однако, прирешении прикладных задач целочисленного линейного программирования,часто переменные рассматриваются как непрерывные (релаксация задачи), инецелочисленные решения затем округляются до целых значений. Посколькукоэффициентысистемлинейныхнеравенств,описывающихвыпуклыемногогранники допустимых множеств в (5) и (6), как правило, известны лишьприближенно, замена задачи отыскания точного значения максимина задачейотыскания его верхней границы представляется оправданной.Вразделе2.4рассматриваютсязадачиотысканиястратегийвзаимодействия трейдера с биржей и поиска гарантированного результататрейдера при его работе с производными финансовыми инструментами(фьючерсами и опционами), аналогичные задачам из разделов 2.2 и 2.3, иотличающиеся от этих задач лишь учетом в формулировках этих задачматематических соотношений, описывающих платежные функции фьючерсов иопционов.Третья глава посвящена моделированию поведения трейдера в условияхфинансового кризиса.В разделе 3.1 рассматривается задача принятия решений трейдером в15условиях возможного наступления экономического или финансового кризисакак задача анализа системы массового обслуживания, в которой учет трейдеромвозможности наступления финансового кризиса моделируется с помощьюдерева решений.В момент времени трейдер получает сигнало состоянии экономики ион должен решить, что означает этот сигнал – что экономика находится встабильной ситуации ( ), либо наступает кризис ( ).

Известно, что потокисобытий типасобытий типаи типаявляются простейшими. Интенсивность потокаравна , интенсивность потока событий типаравна , причем.Задача трейдера заключается в распознавании наступившего события X.Если наступило событиеи трейдер его идентифицировал верно, то онполучает небольшое вознаграждение ; если же произошла ошибка, то трейдер«проиграет» величину . Вероятности таких исходов известны и равнысоответственно. Аналогично, для событий типаи,, если трейдер «угадает»наступление кризиса, то сможет на этом заработать величину , причема при неправильной – «проигрыш» составляет – , и,(Рис.

1).AQ-bcR-dРис. 2. Схема модели с поощрениемРис. 1. Общая схема идентификации случайного событияВ реальной работе трейдера такие исходы соответствуют открытиюдлинных и коротких позиций в период роста и спада. Длинная позиция(покупка) принесет трейдеру умеренный доход16и значительный убыток,когдарынокрастет(«регулярное»событие)ипадает(«кризис»),соответственно. С короткой позицией (продажей заемных ценных бумаг ипоследующим возвратом) в случае роста экономики трейдер немного потеряет(величина), но при сильном падении в кризис сможет заработатьзначительную сумму .Теорема 2.

Ожидаемое значениеМатематическоеравноожиданиевыигрышатрейдерабудетнеотрицательным при выполнении системы неравенств:приприВ разделе 3.2 приведены более сложные модели, учитывающиевозможное пообщрение и обучение трейдера на своих действиях. Так какинтенсивность регулярных событийнамного больше интенсивности редкихкризисных событий, то регулярные события часто появляются одно за другим иформируют последовательность таких событий. Предположим, что устройствоможет «обучаться» на таких последовательностях и получать выгоду за счетраспознавания подобных периодов.3.2.1.

Модель с поощрениемНакопление опыта моделируется функцией опытаколичеству подряд произошедших событий типабыло распознано трейдером правильноза распознавание события , равнуюна -м шаге, равной(Рис. 2). Если событие типараз подряд, то он получает премию(вместов базовой модели).Теорема 3. Ожидаемое значение общего выигрыша в модели споощрением равно17где– интенсивность потока неизвестных событий,случайные величины выигрыша дляии–с законами распределения3.2.2. Модель со снижающимся поощрениемТеперь изменим условия модели с поощрением: если событие типабыло распознано устройством правильнораз подряд, то оно поощряетсяувеличением премии за распознавание события , но эта премия снижается сростом числа правильно распознанных регулярных событий, т.е.

прибавка квыигрышу есть функция от значения функции опытафункции, параметрТеорема4.в виде степеннойотвечает за дисконт выигрыша.Ожидаемыйвыигрышвмоделисоснижающимсяпоощрением равен3.2.3. Модель с обучением.В этой модели если событиераз подряд (было распознано трейдером правильно), то он будет распознавать события18правильно с большейвероятностью, причем(Error! Reference source not found.).q210.501 q1Рис. 4. Область параметров, дающихнеотрицательный ожидаемый выигрыш (S&P500).Рис.

3. Схема модели с обучениемТеорема 5. 1) Вероятность2) Последовательность0.5равнасходится и ее предел равенТеорема 6. Математическое ожидание суммарного выигрыша в модели собучением равногдеВ разделе 3.3 приведены расчеты по дневным значениям различныхиндексов мировых фондовых бирж и акций некоторых компаний за период192000-2010гг. Для определения «кризисных» дней, использовались значенияволатильности индекса со скользящим интервалом в 20 дней и пороговоеправило. Результаты расчетов по фондовым индексам приведены в Табл.

1. Вдиссертации анализируются данные крупнейших американских компаний.Табл. 1. Оценки параметров базовой модели (порог 6%), %ИндексS&P 500 246 4 0,6 -0,6 2,8 -2,9Dow Jones 246 4 0,6 -0,6 1,9 -2,4CAC 40 243 7 0,8 -0,8 3,0 -2,5DAX239 11 0,8 -0,9 2,1 -2,5Nikkei 225 245 5 0,8 -0,9 2,6 -3,2Hang Seng 241 9 0,9 -0,9 2,6 -3,0Для рассчитанных оценок параметров можно оценить минимальныезначений вероятности ошибиться при идентификации событий, позволяющиетрейдеру получать неотрицательный ожидаемый выигрыш.

Для порога 6% дляиндекса S&P500 область значений параметров выглядит так, как показано наРис. . Видно, что достаточно распознавать события типав чуть более, чем вполовине случаев для обеспечения положительного результата всей игры (призначениедолжно быть не более). Также в разделе 3.3 приведеныоценки для порогового правила определения параметров по доходности иценам закрытия, численные оценки зависимости ожидаемого выигрышатрейдера отив моделях с поощрением и обучением.Четвертая глава посвящена описанию программного комплекса дляматематического моделирования и анализа поведения участников фондовойбиржи.

В разделе 4.1 приведено общее описание программного комплекса дляанализа поведения участников биржи методами имитационного моделирования.Разработанный программный комплекс реализован в среде R и позволяетпроводить количественный анализ различных моделей поведения трейдеров,предоставляя статистику по различным показателям финансовых результатовдеятельности трейдера при работе с одним финансовым инструментом.Разработаны три программы для оценки финансовых результатовтрейдера, использующего различные стратегии: 1) самостоятельное принятие20решений трейдером с известной вероятностьюпринятия им правильногорешения относительно будущего направления движения цены финансовогоинструмента, 2) стратегию «последователя», когда трейдер повторяет действиявыбранного им лидера с некоторой вероятностью3)стратегию«искателяЧерногоЛебедя»,с задержкой на один такт,моделирующуюдействияпоследователя Талеба.В качестве критериев для оценки успешности стратегий рассматриваютсятри критерия: ожидаемое благосостояние в конце экспериментов, вероятностьполучения положительной доходности и вероятность обанкротиться за этотпериод (банкротство наступает при снижении благосостояния агента докритического уровня в размере половины начального состояния).

Для этогооценивается (1) среднее благосостояние агентов на финальную дату, (2) доляагентов, чье благосостояние на финальную дату превысило начальноеблагосостояние и (3) доля банкротов в общей выборке.В разделе 4.2 приведено описание схемы экспериментов по изучениютрех стратегий участников биржи. В подразделе 4.2.1 описана схемаэкспериментов для базовой модели. Если агент принял решение «купить», тообъем заявки выставляется в видепри запрете использованиязаемных средств и в видепри возможности использованиямаржинальных сделок, где– случайная величина, имеющая законраспределения R[0,1],обозначает кредитное плечо (соотношениезалога и заемного капитала).

Наличие случайной величиныотражает тот факт,что агент может хотеть продать не все имеющиеся у него акции или купить нена все деньги в случае торговли без кредитного плеча или использовать неполностью максимально доступный заемный капитал в случае маржинальнойторговли. Аналогично выставляются заявки для решения трейдера «продать».В подразделе 4.2.2 описана схема экспериментов для модели споследователями. Агенты делятся на две равные группы – первая из них ведет21себя так же, как и в базовой модели, т.е. пытается предсказать движение цен свероятностью , а вторая группа копирует действия агентов из первой группы сопозданием на один шаг, и агент-последователь, наблюдая предыдущеедействие своего лидера i, повторяет его на следующем шаге.