Bogachev-Resume (Рефлективные гиперболические решётки)

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждениевысшего образования «Московский государственный университет имениМ. В. Ломоносова»Механико-математический факультетКафедра высшей алгебрыБогачев Николай ВладимировичРефлективные гиперболические решёткиРезюме диссертациина соискание учёной степеникандидата математических наук НИУ ВШЭНаучный руководитель:профессор, доктор физико-математических наукЭрнест Борисович ВинбергМосква 2019Глава 1. ВведениеАннотацияДанная диссертация посвящена задаче классификации рефлективных гиперболических решёток, которая является открытой проблемой примерно с 70-х годовпрошлого века.

Диссертация была написана под руководством Э. Б. Винберга вовремя моей аспирантуры на кафедре высшей алгебры механико-математическогофакультета МГУ им. М. В. Ломоносова.Диссертация состоит из пяти глав. Первая глава является введением в областьисследования. В ней формулируются основные определения, известные результаты, открытые проблемы, а также основные результаты самой диссертации. Глава2 представляет из себя подробный набор предварительных сведений, включающих в себя описание моделей пространств постоянной кривизны, остроугольныхмногогранников в них, дискретных групп отражений, и, наконец, основы теориирефлективных гиперболических решёток и арифметических групп отражений.Основные результаты настоящей диссертации получены в главах 3, 4 и 5. Глава3 содержит теоретическое описание алгоритма Винберга, а также описание проекта (совместного с А.Ю.

Перепечко) VinAl компьютерной реализации алгоритмаВинберга для гиперболических решёток над ℤ. Наконец, последние главы 4 и 5содержат результаты классификации устойчиво рефлективных гиперболическихрешёток ранга 4 над ℤ и ℤ[√2] соответственно.Дискретные группы отраженийПусть — одно из трех пространств постоянной кривизны, то есть либо мерное евклидово пространство , либо -мерная сфера , либо -мерное (гиперболическое) пространство Лобачевского ℍ .Рассмотрим выпуклый многогранник в пространстве . Если мы подействуем на группой , порождённой отражениями в гиперплоскостях его граней, томожет получиться так, что образы этого многогранника при действии разнымиэлементами группы покроют всё пространство и не будут иметь попарно общих внутренних точек.

В таком случае мы будем говорить, что группа являетсядискретной группой отражений, а многогранник является её фундаментальныммногогранником. Если многогранник является ограниченным (или, эквивалентно, компактным), то группа называется кокомпактной группой отражений, если же многогранник имеет конечный объём, то группа называется коконечнойили дискретной группой конечного кообъёма.1Какие свойства характеризуют фундаментальные многогранники для дискретных групп отражений? Например, всякие две гиперплоскости и , ограничивающие , либо не пересекаются, либо образуют двугранный угол, равный/ , где ∈ ℤ, ≥ 2.Такие многогранники называют многогранниками Кокстера, поскольку дискретные группы отражений (значит, и их фундаментальные многогранники) для = , были определены и найдены Г. Кокстером в 1933 году (см. работу [25]).В 1967 году (см. [17]) Э.

Б. Винберг разработал теорию дискретных групп, порождённых отражениями в пространствах Лобачевского. Он предложил новые методы исследований гиперболических групп отражений, в частности, описание таких групп в виде схем Кокстера, сформулировал и доказал критерий арифметичности для гиперболических групп отражений, а также привел ряд различных примеров.Арифметические группы отражений и рефлективные гиперболические решёткиПусть — вполне вещественное поле алгебраических чисел, — кольцо егоцелых элементов.

Для удобства будем считать, что оно является кольцом главныхидеалов.Определение 1. Свободный конечно-порождённый -модуль , снабжённый скалярным умножением (⋅ , ⋅) сигнатуры (, 1) со значениями в , называется гиперболической решёткой, если для всякого нетождественного вложения ∶ → ℝ квадратичное пространство ⊗() ℝ положительно определено.Пусть — гиперболическая решётка. Тогда векторное пространство,1 = ⊗id() ℝявляется ( + 1)-мерным вещественным пространством Минковского.

Группа =′ () целочисленных (то есть с коэффициентами из ) линейных преобразований,сохраняющих решётку и отображающих на себя каждую связную компонентуконусаℭ = { ∈ ,1 ∣ (, ) < 0} = ℭ+ ∪ ℭ− ,является дискретной группой движений пространства Лобачевского. Здесь подразумевается векторная модель пространства Лобачевского ℍ , заданная как множество точек гиперболоида{ ∈ ,1 ∣ (, ) = −1},2лежащих внутри конуса ℭ+ . Группа движений Isom(ℍ ) = ′ (, 1) есть группапсевдоортогональных преобразований пространства ,1 , оставляющая на местеконус ℭ+ .Из общей теории арифметических групп (см. статью [11] А. Бореля и ХаришЧандры 1962 года, а также работу [29] Г. Мостова и Т. Тамагавы 1962 года) известно, что если решётка изотропна (то есть ассоциированная с ней квадратичная форма представляет нуль; заметим, что это может быть выполнено только длярешеток над = ℚ), то факторпространство ℍ / (то есть фундаментальная область группы ) некомпактно, но имеет конечный объём (в таком случае говорят,что — дискретная подгруппа конечного кообъёма), а во всех остальных случаяхоно компактно.

При = ℚ доказательство этих утверждений было впервые данов 1937 году в работе [16] Б. А. Венкова.Определение 2. Две подгруппы 1 и 2 какой-либо группы называются соизмеримыми, если группа 1 ∩ 2 является подгруппой конечного индекса в каждой изних.Определение 3. Группы , полученные указанным выше способом, и все соизмеримые с ними дискретные подгруппы группы Isom(ℍ ) называются арифметическими дискретными группами простейшего типа.

Поле называется полем определения (или основным полем) группы (и всех групп, соизмеримых с ней).Примитивный вектор ∈ называется корнем или, более точно, -корнем,где = (, ) > 0, если 2(, ) ∈ для всех ∈ . Всякий корень определяетортогональное отражение (называемое -отражением, где = (, )) в пространстве ,1 = ⊗id() ℝ2(, ),ℛ ∶ ↦ −(, )которое сохраняет решётку . Отражение ℛ определяет отражение в пространстве ℍ относительно гиперплоскости = { ∈ ℍ ∣ (, ) = 0},называемой зеркалом отражения ℛ .Обозначим через () подгруппу группы ′ (), порождённую всеми содержащимися в ней отражениями.Определение 4. Гиперболическая решётка называется рефлективной, если индекс [′ () ∶ ()] конечен.3Теорема 1.

(Винберг, 1967, см. [17])Дискретная группа отражений конечного кообъёма является арифметическойгруппой отражений c полем определения (или -арифметической), если она содержится в качестве подгруппы конечного индекса в группе вида ′ (), где — какаято (автоматически рефлективная) гиперболическая решетка над вполне вещественным полем .Теперь мы сформулируем несколько фундаментальных теорем о существовании арифметических групп отражений и кокомпактных групп отражений в пространствах Лобачевского.Теорема 2. (Винберг, 1984, см.

[21])1. Компактные многогранники Кокстера отсутствуют в пространствах Лобачевского ℍ при ≥ 30.2. Арифметические группы отражений отсутствуют в пространствах Лобачевского ℍ при ≥ 30.Следующий важный результат принадлежит сразу нескольким авторам.Теорема 3. Для каждого ≥ 2 существует лишь конечное с точностью до подобия число рефлективных гиперболических решёток сигнатуры (, 1). Аналогично,для каждого ≥ 2 существует лишь конечное с точностью до сопряжения числомаксимальных арифметических групп отражений в пространствах ℍ .Доказательство этой теоремы разбивается на следующие этапы:• 1980, 1981 — В.

В. Никулин доказал конечность числа максимальных арифметических групп отражений в пространствах ℍ при ≥ 10, см. [31, 33];• 2005 — Д. Д. Лонг, К. Маклахлан и А. В. Рид доказали конечность числа максимальных арифметических групп отражений в размерности = 2, см.

[26];• 2005 — И. Агол доказал конечность в размерности = 3, см. [1];• 2007 — В. В. Никулин по индукции доказал конечность в оставшихся размерностях 4 ≤ ≤ 9, см. [36];• 2008 — И. Агол, М. В. Белолипецкий, П. Сторм и К. Уайт независимо провелидоказательство теоремы конечности для всех размерностей с помощью спектрального метода, см.

[2] (см. также недавний обзор [7] М. В. Белолипецкого).4Данные результаты дают надежду на то, что все рефлективные гиперболические решётки, а также и максимальные арифметические группы отражений можно классифицировать.Открытые проблемыСказанное выше подводит нас к следующим фундаментальным открытым проблемам, связанным с теорией дискретных групп отражений и многогранников Кокстера в пространствах Лобачевского ℍ .Проблема 1. Какова максимальная размерность пространства Лобачевского, вкотором существует компактный многогранник Кокстера? Аналогичный вопросоткрыт и для многогранников Кокстера конечного объёма.Проблема 2. Классификация всех рефлективных гиперболических решёток и максимальных арифметических групп отражений.Замечание 1.