Bogachev-Resume (Рефлективные гиперболические решётки), страница 3

Гиперболическая ℤ-решётка называется 2-рефлективной, если группа ′ () с точностью до конечного индекса порождена 2-отражениями.Замечание 3. Все 2-рефлективные гиперболические ℤ-решетки уже классифицированы: для ранга ≠ 4 это было сделано В. В. Никулиным в 1979, 1981 и 1984 годах,см. [30, 32, 34], а для ранга 4 это было сделано Э. Б. Винбергом в 1981–2007 годах(см. [22]). Предположительно, устойчиво рефлективные решетки должны образовывать более широкий класс рефлективных решеток.Основной задачей в данной главе является классификация устойчиво рефлективных анизотропных гиперболических ℤ-решёток ранга 4. Можно надеяться, чтоприменённый в этой работе метод наиболее удалённого ребра (являющийся модификацией метода узких частей многогранников, применявшегося В.В.

Никулиным) применим для классификации вообще всех рефлективных анизотропных гиперболических ℤ-решёток ранга 4.Пусть — остроугольный компактный многогранник в ℍ3 и пусть — некоторое его ребро. Обозначим через 1 и 2 грани многогранника , содержащие ребро , а через 3 и 4 — единичные внешние нормали к граням 3 и 4 , содержащимвершины ребра , но не само ребро.Определение 9.

Грани 3 и 4 будем называть обрамляющими гранями ребра ,а число |(3 , 4 )| — его шириной.Поставим в соответствие ребру набор ̄ = (12 , 13 , 23 , 14 , 24 ), где — уголмежду гранями и .10Рис. 1. Наиболее удалённое реброТеорема 4. Фундаментальный многогранник всякой ℚ-арифметической кокомпактной группы отражений в ℍ3 имеет ребро ширины меньше, чем 4,14.На самом деле получен более сильный результат.

А именно, доказано, что существует ребро ширины ̄ , где ̄ ≤ 4,14 — число, зависящее от набора ̄ двугранныхуглов вокруг этого ребра.Для получения этого результата мы использовали следующий прием. Пусть —фундаментальный многогранник ℚ-арифметической кокомпактной группы отражений в ℍ3 . Следуя Никулину, рассмотрим точку внутри многогранника . Пусть — наиболее удалённое2 от неё ребро. Обозначим вершины ребра через 1 и 2 ,а двугранные углы между гранями и обозначим через .Пусть 1 и 3 — ребра многогранника , выходящие из вершины 1 , а ребра 2 и4 — из 2 , причем ребра 1 и 2 лежат в грани 1 . Длину ребра обозначим через, а плоские углы между ребрами и — через (см.

рис. 1).Следующий результат верен для произвольного компактного остроугольногомногогранника в ℍ3 .Теорема 5. Длина наиболее удалённого ребра удовлетворяет неравенству:th(ln(ctg( 412 )))th(ln(ctg( 412 ))) < arsh () + arsh ().tg ( 24 )tg ( 23 )2В остроугольном многограннике расстояние от внутренней точки до грани (любой размерности) равно расстояниюдо плоскости этой грани.11Затем остается оценить с помощью линейного неравенства ширину ребра через его длину. Для этого уже используется тот факт, что изначально мы рассматривали именно фундаментальный многогранник ℚ-арифметической кокомпактнойгруппы отражений в ℍ3 .

Как мы видим, оценки в теореме 5 зависят от набора углов при этом ребре, следовательно, и оценки на ширину ребра тоже будут от негозависеть.Для формулировки результатов классификации устойчиво рефлективных гиперболических решёток введём некоторые обозначения:• [] — квадратичная решётка, скалярное умножение в которой в некоторомбазисе задается симметричной матрицей ,• () ∶= det — дискриминант решётки = [],• ⊕ — ортогональная сумма решёток и ,• [] — квадратичная решётка, полученная из умножением всех скалярныхпроизведений на ∈ ℤ.Теорема 6.

Всякая устойчиво рефлективная анизотропная гиперболическая ℤрешётка ранга 4 изоморфна либо одной из двух решёток [−7] ⊕ [1] ⊕ [1] ⊕ [1] и[−15] ⊕ [1] ⊕ [1] ⊕ [1], либо чётной подрешётке индекса 2 одной из них.Указанные решётки на самом деле являются даже 2-рефлективными (см. [22]).Глава 5. Устойчиво рефлективные ℤ[√2]-решетки ранга 4Теорема 7. Фундаментальный многогранник всякой ℚ[√2]-арифметической группы отражений в ℍ3 имеет ребро ширины меньше, чем 4,14.Как и ранее, на самом деле получен более сильный результат.

А именно, доказано, что существует ребро ширины ̄ , где ̄ ≤ 4,14 — число, зависящее от набора̄ двугранных углов вокруг этого ребра.Теорема 8. Всякая максимальная устойчиво рефлективная гиперболическая решетка ранга 4 над ℤ[√2] изоморфна одной из следующих семи решёток:12№# граней1[−1 − √2] ⊕ [1] ⊕ [1] ⊕ [1][−1 − 2√2] ⊕ [1] ⊕ [1] ⊕ [1]5234567[−5 − 4√2] ⊕ [1] ⊕ [1] ⊕ [1][−11 − 8√2] ⊕ [1] ⊕ [1] ⊕ [1][−√2] ⊕ [1] ⊕ [1] ⊕ [1]−1− √2 ⎤⎡ 2⎢ −1√2 − 1⎥ ⊕ [1]2⎢⎥⎣−√2 √2 − 1 2 − √2⎦[−7 − 5√2] ⊕ [1] ⊕ [1] ⊕ [1]()−1 − √2−1 − 2√2−5 − 4√2656−11 − 8√2−√ 26−√ 25−7 − 5√217Апробация работыРезультаты диссертации докладывались:• на семинаре „Группы Ли и теория инвариантов“ под руководством Э.Б.

Винберга, Д.А. Тимашёва и И.В. Аржанцева, Механико-математический факультет МГУ им. М.В. Ломоносова, май 2016 г. и октябрь 2017 г.;• на шестой школе-конференции „Алгебры Ли, алгебраические группы и теория инвариантов“ (МГУ&НМУ, Москва, Россия), январь-февраль 2017 г.;• на семинаре С.П. Новикова „Геометрия, топология и математическая физика“, Кафедра ВГТ, Механико-математический факультет МГУ им. М.В.

Ломоносова, март 2017 г.;• на международной конференции „Геометрия и топология“ в честь К. Бавара,Институт математики, Бордо, Франция, ноябрь 2017 г.;• на семинаре „Гиперболическая геометрия и комбинаторные структуры“, Институт математики, Невшатель, Швейцария, ноябрь 2017 г.;• на семинаре „Автоморфные формы и их приложения“ под руководством В.А.Гриценко, Математический факультет НИУ ВШЭ, Москва, Россия, февраль2018 г;• на международной конференции „Автоморфные формы и алгебраическая геометрия“, ПОМИ им. Стеклова РАН, г.

Санкт-Петербург, Россия, май 2018 г.13Литература[1] Ian Agol, Finiteness of arithmetic Kleinian reflection groups. In Proceedings of theInternational Congress of Mathematicians: Madrid, August 22–30, 2006: invitedlectures, pages 951–960, 2006.[2] Ian Agol, Mikhail Belolipetsky, Peter Storm, and Kevin Whyte. Finiteness ofarithmetic hyperbolic reflection groups. — Groups Geom. Dyn., 2008, Vol. 2(4),p.

481 — 498.[3] D. Allcock. “Infinitely many hyperbolic Coxeter groups through dimension 19”,Geom. Topol. 10 (2006), 737–758.[4] D. Allcock. The reflective Lorentzian lattices of rank 3. — Mem. Amer. Math. Soc.220, no 1033., American Mathematical Society, 2012, p. 1 — 125.[5] Е. М. Андреев. О выпуклых многогранниках в пространствах Лобачевского. —Мат. сб., 1970, 81, с.

445–478.[6] Е. М. Андреев. О выпуклых многогранниках конечного объема в пространствеЛобачевского.— Мат. сб., 1970, 83, с. 256–260.[7] M. Belolipetsky. Arithmetic hyperbolic reflection groups. — Bulletin (New Series)of the Amer. Math. Soc., 2016, Vol. 53 (3), p. 437 — 475.[8] N. V. Bogachev. Reflective anisotropic hyperbolic lattices of rank 4. ArXiv: https://arxiv.org/abs/1610.06148v1[9] N. Bogachev, A. Perepechko, Vinberg’s algorithm, DOI:10.5281/zenodo.1098448,https://github.com/aperep/vinberg-algorithm, 2017.[10] Н. В. Богачев. Классификация (1,2)-рефлективных анизотропных гиперболических решёток ранга 4. — Известия РАН, Серия математическая, 2019, том81, выпуск 1, стр. 3–24.[11] Armand Borel and Harish-Chandra.

Arithmetic subgroups of algebraic groups.Ann. of Math. (2), 75:485–535, 1962.14[12] R. Borcherds, Automorphism groups of Lorentzian lattices, J. Algebra 111 (1987),133–153.[13] V. O. Bugaenko. Groups of automorphisms of unimodular hyperbolic quadraticforms over the ring ℤ[(√5 + 1)/2]. Vestnik Moskov. Univ. Ser. I Mat. Mekh., (5):6–12, 1984.[14] V. O. Bugaenko.

On reflective unimodular hyperbolic quadratic forms. SelectaMath. Soviet., 9(3):263–271, 1990. Selected translations.[15] V. O. Bugaenko. Arithmetic crystallographic groups generated by reflections, andreflective hyperbolic lattices. — Advances in Soviet Mathematics, 1992, Volume 8,p. 33 — 55.[16] Б. А. Венков. Об арифметической группе автоморфизмов неопределеннойквадратичной формы.

— Изв. АН СССР, 1937, том 1, выпуск 2, стр. 139–170[17] Э. Б. Винберг. Дискретные группы, порожденные отражениями, в пространствах Лобачевского. — Матем. сб., 1967, том 72(114), номер 3, c. 471 — 488.[18] Э. Б. Винберг. О группах единиц некоторых квадратичных форм. — Мат. сб.,1972, 87, с. 18 — 36[19] Э. Б. Винберг. Об унимодулярных целочисленных квадратичных формах //Функц. анализ и его прил. Т. 6, вып.

2. С. 24–31[20] E. B. Vinberg. Some arithmetical descrete groups in Lobachevskii spaces. — In:Proc. Int. Coll. on Discrete Subgroups of Lie Groups and Appl. to Moduli (Bombay,January 1973). — Oxford: University Press, 1975, p. 323 — 348.[21] Э. Б. Винберг. Отсутствие кристаллографических групп отражений в пространствах Лобачевского большой размерности.

— Труды ММО, 1984, T. 47,с. 68 — 102.[22] Э. Б. Винберг. Классификация 2-рефлективных гиперболических решетокранга 4. — Труды ММО, 2007, т.68, с. 44 – 76.[23] R. Guglielmetti. Hyperbolic isometries in (in-)finite dimensions and discretereflection groups: theory and computations. — Switzerland, PhD Thesis, Universityof Fribourg, 2017.15[24] Frank Esselmann. �ber die maximale Dimension von Lorentz-Gittern mitcoendlicher Spiegelungsgruppe. — Journal of Number Theory, 1996, Vol. 61,p. 103 — 144.[25] H. S.

M. Coxeter. Discrete groups generated by reflections, — Ann. of Math. (2),35:3 (1934), 588–621.[26] D.D. Long, C. Maclachlan, and A.W. Reid. Arithmetic fuchsian groups of genuszero. Pure and Applied Mathematics Quarterly, 2(2):569–599, 2006.[27] A. Mark. The classification of rank 3 reflective hyperbolic lattices over ℤ[√2] —Mat. Proc. Camb. Phil. Soc. 12, 2016, p.

1–37.[28] A. Mark. The classification of rank 3 reflective hyperbolic lattices over ℤ[√2], Ph.D.thesis, University of Texas at Austin, 2015.[29] G. D. Mostow and T. Tamagawa. On the compactness of arithmetically definedhomogeneous spaces. Ann. of Math, 1962, Vol.76, No. 3, pp. 446–463.[30] В. В.

Никулин. О факторгруппах групп автоморфизмов гиперболическихформ по подгруппам, порожденным 2-отражениями. — Докл. АН СССР, 1979,Т. 248, вып. 6, с. 1307–1309.[31] В. В. Никулин, Об арифметических группах, порожденных отражениями, впространствах Лобачевского, Изв. АН СССР, Сер. матем., 1980, том 44, выпуск3, 637–669.[32] В. В. Никулин. О факторгруппах групп автоморфизмов гиперболическомформ по подгруппам, порожденным 2-отражениями.

Алгебро-геометрическиеприложения — Итоги науки и техники. Совр. пробл. матем. М.: ВИНИТИ,1981, Т. 18, с. 3 — 14.[33] В. В. Никулин. О классификации арифметических групп, порожденных отражениями, в пространствах Лобачевского. — Изв. АН СССР.

Сер. матем., 1981,Т. 45, выпуск 1, с. 113 – 142[34] В. В. Никулин. Поверхности типа 3 с конечной группой автоморфизмов игруппой Пикара ранга 3. — Тр. МИАН. 1984. Т. 65. с. 119 — 142.[35] В. В. Никулин. О классификации гиперболических систем корней ранга 3.

—Тр. МИАН. 2000. Т. 230, с. 1 — 255.16[36] В. В. Никулин. Конечность числа арифметических групп, порожденных отражениями, в пространствах Лобачевского. — Изв. РАН. Сер. матем., 2007, Т. 71,выпуск 1, с. 55 — 60.[37] H. Poincare . Theorie des groupes fuchsiennes.— Acta math., 1882, 1, p.