Bogachev-Resume (Рефлективные гиперболические решётки), страница 2

Проблема классификации фактически поставлена Э. Б. Винбергомв 1967 году. Дальнейшие результаты 70-80-х годов прошлого века (а также и недавние результаты) подтверждают, что есть надежда на решение этой проблемы.Хорошим инструментом для решения обеих проблем является алгоритм Винберга (1972 год, см.

[18]) построения фундаментального многогранника для гиперболической группы отражений. Практически он эффективен для арифметических групп отражений и позволяет определить, является ли заданная решётка рефлективной.Рекордный пример компактного многогранника Кокстера был найден В. О. Бугаенко при = 8 (см. [15]), хотя известно лишь, что < 30 (см. теорему 2 выше).Рекордный пример многогранника Кокстера конечного объёма принадлежитР. Борчердсу в размерности = 21 (см. [12]). При этом известно, что многогранники Кокстера конечного объёма могут существовать при < 996 (см. работы [38]М. Н.

Прохорова и [42] А.Г. Хованского, 1986 год).Оба этих примера пришли из арифметических групп отражений. Многогранник Бугаенко является фундаментальным многогранником для некоторой арифметической группы отражений над полем ℚ[√5] в пространстве ℍ8 , а многогранник Борчердса является фундаментальным многогранником для арифметическойгруппы отражений над полем ℚ в пространстве ℍ21 .Более того, Д. Аллкок, используя элегантный и простой трюк удвоения («a simpledoubling trick») построил бесконечные серии (см. [3]) многогранников Кокстера5конечного объема в пространствах Лобачевского вплоть до размерности 19, а также компактных многогранников Кокстера вплоть до размерности 6.

Отметим также, что в размерностях 7 и 8 есть как арифметические бесконечные серии, так инеарифметические.Классификация всех дискретных групп отражений конечного кообъёма в пространствах Лобачевского не представляется возможной. Эффективное описаниевсех дискретных групп отражений конечного кообъёма в пространствах ℍ получено лишь при = 2 (см. работу [37] А. Пуанкаре 1882 года) и при = 3 (знаменитые теоремы Е.

М. Андреева 1970 года, см. [5] и [6]).В классификации арифметических групп отражений достигнуты более существенные успехи. Над полем определения ℚ рефлективные гиперболические решётки сигнатуры (, 1) (а также максимальные арифметические группы отражений в ℍ ) классифицированы при = 2 (В.В. Никулин, 2000, см. [35] и Д.

Аллкок,2011, см. [4]), = 4 (Р. Шарлау и К. Вальхорн, 1989–1993, см. [40, 43]), = 5(И. Туркал, 2017, см. [41]) и для некомпактного случая при = 3 (Р. Шарлау и К.Вальхорн, 1989–1993, см. [39, 40]).Также получена классификация рефлективных гиперболических решёток сигнатуры (2, 1) с полем определения ℚ[√2] (А. Марк, 2015, см.

[27, 28]).Во всех остальных случаях проблема 2 остаётся до сих пор открытой.Глава 2. Дискретные группы отраженийГлава 2 представляет из себя подробный набор предварительных сведений, включающих в себя описание моделей пространств постоянной кривизны, остроугольных многогранников в них, дискретных групп отражений, и, наконец, основы теории рефлективных гиперболических решеток и арифметических групп отражений. Мы определяем в ней схемы Кокстера для многогранников Кокстера, и приводим также список связных эллиптических и параболических схем Кокстера.Глава 3.

Алгоритм ВинбергаПроект VinAl: для гиперболических решёток над ℤГлава посвящена алгоритму Винберга и созданию инструментария для решения проблем 1 и 2. С помощью различных компьютерных реализаций алгоритмаВинберга были исследованы на рефлективность десятки гиперболических решё-6ток над ℤ и ℤ[√2]. Таким образом удалось получить еще много новых арифметических компактных многогранников Кокстера в пространствах Лобачевского.Как было сказано выше, алгоритм Винберга является эффективным способомпостроения фундаментальных многогранников для арифметических групп отражений.Попытки реализовать на компьютере алгоритм Винберга предпринимались с80х годов прошлого века, но все они ограничивались решётками частного вида,как правило, имеющими ортогональный базис. Упоминания о таких программахможно встретить, к примеру, в работах В. О. Бугаенко (1992, см.

[15]), Р. Шарлау и К. Вальхорн (1992, см. [40]), В. В. Никулина (2000, см. [35]) и Д. Аллкока(2011, см. [4]). Но сами программы не были опубликованы, за исключением работы В. В. Никулина, в которой приведён код программы для решёток несколькихчастных видов. Единственной известной реализацией, опубликованной вместе сподробной документацией, является программа Р.

Гульельметти 2016 года1 , работающая с решётками, имеющими ортогональный базис, инвариантые множителикоторых свободны от квадратов. Р. Гульельметти применял её в своей диссертациидля классификации рефлективных решёток с ортогональным базисом, элементыкоторого имеют малые скалярные квадраты (2017, см. [23]). Эта программа работает эффективно во всех размерностях, где существуют рефлективные решётки.В данной работе представлена собственная реализация (проект VinAl) алгоритма Винберга для произвольных гиперболических ℤ-решёток, не накладывая наних никаких ограничений. Эта программа написана в 2017 году совместно с А. Ю.Перепечко и опубликована в Интернете (см. [9]).

Её подробное описание доступно в статье [45].Программа была проверена на значительном количестве известных рефлективных гиперболических решёток. Помимо этого, нами был найден ряд новых рефлективных решёток.Некоторые результаты работы нашей программы представлены в таблице 1.0 1Здесь = [] обозначает стандартную двумерную гиперболическую решёт1 0ку, а — евклидову корневую решётку типа . Все представленные в даннойтаблице решётки новые, за исключением решёток [−1] ⊕ 3 и [−4] ⊕ 3 .Также нами установлена рефлективность решёток вида[−2] ⊕ 2 ⊕ [1]⊕⎵⏟⎵…⊕[1]⏟⎵⎵⎵⎵⏟−1при ≤ 6.1см.

проект AlVin https://rgugliel.github.io/AlVin7Таблица 1: Решётки вида [−] ⊕ 3 , [−] ⊕ [1] ⊕ 2 для некоторых ≤ 15, а также ⊕ [36] ⊕ [6].# граней (сек)# граней (сек)[−1] ⊕ 340,7[−1] ⊕ [1] ⊕ 240,6[−2] ⊕ 351,9[−2] ⊕ [1] ⊕ 260,8[−3] ⊕ 351,0[−3] ⊕ [1] ⊕ 250,6[−4] ⊕ 340,66[−4] ⊕ [1] ⊕ 251,02[−5] ⊕ 361,56[−5] ⊕ [1] ⊕ 271,9[−6] ⊕ 361,5[−6] ⊕ [1] ⊕ 281,2[−8] ⊕ 371,72[−7] ⊕ [1] ⊕ 21119,2[−9] ⊕ 3979,5[−8] ⊕ [1] ⊕ 261,02[−10] ⊕ 3121,72[−9] ⊕ [1] ⊕ 250,9[−12] ⊕ 351.02[−10] ⊕ [1] ⊕ 21111[−15] ⊕ 31228,7[−15] ⊕ [1] ⊕ 21544 ⊕ [36] ⊕ [6]1556,6[−30] ⊕ [1] ⊕ 22036,6На данный момент программа эффективно работает при 2 ≤ ≤ 5. Тем самым,она оказывается, к примеру, полезной в открытой проблеме классификации рефлективных решёток в размерности = 3 и уже успешно применялась авторомданной диссертации для получения частичных результатов для данной классификации.Алгоритм Винберга для гиперболических решёток над ℤ[√]Поскольку в диссертации исследуется также рефлективность решёток над ℤ[√2],то возникла необходимость написать программу для алгоритма Винберга над квадратичными полями.

На текущий момент у меня получилась программа для решёток над ℤ[√2], которую нужно каждый раз немного править для каждой новой решётки. Эта программа предусматривает возможность того, что исследуемая намирешетка может не иметь ортогональный базис.Для решеток с ортогональным базисом удобно использовать программу Р. Гульельметти, о которой упоминалось выше. Работа авторской программы была отчасти проверена на решётках таблицы 5. В ближайшем будущем планируется слияние авторской программы для решеток над ℤ[√2] с проектом VinAl.

Дальнейшаяработа над проектом, реализующим алгоритм Винберга для произвольных решеток уже над квадратичными полями ℤ[√], ведется совместно с А. Ю. Перепечко.В результате экспериментов с разными программами удалось получить новыесерии рефлективных гиперболических решеток различных рангов над различными квадратичными полями. Часть этих результатов получена автором совместнос А. А.

Колпаковым в 2017-2018 гг.8Таблица 2: Унимодулярные решётки над ℚ[√13] и ℚ[√17]. # граней # граней[− 3+2√13 ] ⊕ [1] ⊕ … ⊕ [1]24[− 3+2√13 ][− 3+2√13 ]⊕ [1] ⊕ … ⊕ [1]39⊕ [1] ⊕ … ⊕ [1]440[−4 − √17] ⊕ [1] ⊕ … ⊕ [1][−4 − √17] ⊕ [1] ⊕ … ⊕ [1][−4 − √17] ⊕ [1] ⊕ … ⊕ [1]234Таблица 3: Некоторые решётки над ℚ[√5]. # граней[−1 − √5] ⊕ [1] ⊕ … ⊕ [1] 24[−1 − √5] ⊕ [2] ⊕ … ⊕ [2] ⊕ [1][−1 − √5] ⊕ [1] ⊕ … ⊕ [1] 35[−1 − √5] ⊕ [2] ⊕ … ⊕ [2] ⊕ [1][−1 − √5] ⊕ [1] ⊕ … ⊕ [1][−1 − √5] ⊕ [1] ⊕ … ⊕ [1][−1 − √5] ⊕ [1] ⊕ … ⊕ [1]45671318[−1 − √5] ⊕ [2] ⊕ … ⊕ [2] ⊕ [1][−1 − √5] ⊕ [2] ⊕ … ⊕ [2] ⊕ [1][−1 − √5] ⊕ [2] ⊕ … ⊕ [2] ⊕ [1]462023456# граней4571318Полученные результаты приведены в таблицах 2–5.

В этих таблицах указывается сначала вид решетки сигнатуры (, 1), затем указываю размерность соответствующего пространства Лобачевского, а затем количество граней для фундаментального многогранника Кокстера соответствующей группы отражений.Глава 4. Устойчиво рефлективные гиперболические ℤ-решёткиранга 4Определение 5. Число ∈ , > 0, называется устойчивым, если ∣ 2 в кольце .Например, при = ℚ, = ℤ, это определение выполняется при ⩽ 2.

А при = ℚ[√2] и = ℤ[√2] устойчивыми будут числа 1, 2 и 2 + √2 (с точностью доумножения на обратимый элемент кольца).Определение 6. Отражение называется устойчивым, если число (, ) устойчиво.Таблица 4: Некоторые решётки над ℚ[√2].√√[− 2] ⊕ [2 + 2] ⊕ [1]√[− 2] ⊕ [2 + √2] ⊕ [1] ⊕ … ⊕ [1][−√2] ⊕ [2 + √2] ⊕ [1] ⊕ … ⊕ [1][−√2] ⊕ [2 + √2] ⊕ [1] ⊕ … ⊕ [1]2345# граней4610319[−7 − 5√2] ⊕ [1] ⊕ … ⊕ [1][−7 − 5√2] ⊕ [1] ⊕ … ⊕ [1][−7 − 5√2] ⊕ [1] ⊕ … ⊕ [1][−7 − 5√2] ⊕ [1] ⊕ … ⊕ [1][−7 − 5√2] ⊕ [1] ⊕ … ⊕ [1]23456# граней3571145[−√2] ⊕ [1] ⊕ [1][−√2] ⊕ [1] ⊕ … ⊕ [1][−√2] ⊕ [1] ⊕ … ⊕ [1][−√2] ⊕ [1] ⊕ … ⊕ [1]2345Таблица 5: Некоторые решётки над ℚ[√2].# граней4[−1 − √2] ⊕ [2 + √2] ⊕ [1]6827[−1 − √2] ⊕ [2 + √2] ⊕ [1] ⊕ … ⊕ [1][−1 − √2] ⊕ [2 + √2] ⊕ [1] ⊕ … ⊕ [1][−1 − √2] ⊕ [2 + √2] ⊕ [1] ⊕ … ⊕ [1]2345# граней46827Пусть — гиперболическая решётка над кольцом целых .

Обозначим через() подгруппу группы ′ (), порождённую устойчивыми отражениями.Определение 7. Гиперболическая решётка называется устойчиво рефлективной, если индекс [′ () ∶ ()] конечен.Замечание 2. В статьях [8], [44] и [10] устойчиво рефлективные решетки надℤ называются (1,2)-рефлективными, поскольку для = ℤ только числа 1 и 2 являются устойчивыми.Определение 8.