Диссертация (Зеркальная симметрия для простых эллиптических особенностей с действием группы), страница 13

ÏóñòüAhomÿâëÿåòñÿ ìàòðèöåé èçïðèìèòèâíîé ôîðìû êàê â ðàçäåëå 2.1. Ðàññìîòðèì íàSL(2, C),RH1,(2,2,2,2)ñëåäóþùèé îïåðàòîð:Ahom : {λ : E∞ → P1 } → {λ̂ : Eτ0 → P1 },79ñîîòâåòñòâóþùåé çàìåíåEτ0ãäåÿâëÿåòñÿ ýëëèïòè÷åñêîé êðèâîé ñ ìîäóëåìσ0Òåîðåìå 3.1 ïðèìèòèâíàÿ ôîðìà â òî÷êåEσ0 ,êîòîðàÿ èçîìîðôíàïî ïîñòðîåíèþAhom .Îäíàêî ïîôèêñèðóåòñÿ ïåðèîäîì ýëëèïòè÷åñêîé êðèâîéEτ 0 .Ââèäó Ïðåäëîæåíèÿ 8.6, äåéñòâèå îïåðàòîðàòîãî æå ýëåìåíòàτ0SL(2, C)Ahomíà ïëîñêèõ êîîðäèíàòàõÑëåäóþùàÿ ëåììà îïðåäåëÿåò äåéñòâèå íàíàRH1,(2,2,2,2)ïîäíèìàåòñÿ äî äåéñòâèÿRH1,(2,2,2,2).MP12,2,2,2 ,èíäóöèðîâàííîå ìàòðèöåéAhomèèçîìîðôèçìîì Òåîðåìû 7.1.Ahom ∈ SL(2, C)Ëåììà 8.8.

ÄåéñòâèåíàRH1,(2,2,2,2)èíäóöèðóåò äåéñòâèåA(τ0 ,ω0 )íàMP12,2,2,2 .Äîêàçàòåëüñòâî. Ââèäó ïðèâåäåííîãî âûøå ïðåäëîæåíèÿ äåéñòâèåîïðåäåëåíîèñîãëàñîâàíîñäåéñòâèåìÐàññìîòðèì èíäóöèðîâàííîå äåéñòâèåÏóñòüω10 , ω20èτ 0 = ω20 /ω10 .Ìû èìååì:AhomAhomïîëó÷åíû äåéñòâèåìíàíàðåøåòêåýëëèïòè÷åñêîéêðèâîé.RH1,(2,2,2,2).ω1 , ω2 :íàïåðèîäîâRSL(2, C) íà H1,(2,2,2,2)ω10 ω20 = Ahom ω1ω2,√τ0 − τ.τ 0 = 2 −1ω0 Imτ0τ̄0 − τÎáðàòíàÿ çàìåíà êîîðäèíàò èìååò âèä:√−τ 0 τ̄0 + 2 −1ω02 τ0 Imτ0√.τ=−τ 0 + 2 −1ω02 Imτ0Ïðèíèìàÿ òàêæå âî âíèìàíèå äîïîëíèòåëüíîå ðàñòÿæåíèÿ âïðèìåíåíî êMP12,2,2,2(èççà ðàñòÿæåíèÿ ââ òî÷íîñòè äåéñòâèå√√2π −1,2π −1 â èçîìîðôèçìå Òåîðåìû 7.1 ) ìû ïîëó÷àåìA(τ0 ,ω0 ) .Ahomäåéñòâóåò íàRAhom · H1,(2,2,2,2)îïðåäåëåíû âÈç îïðåäåëåíèÿ è ïðèâåäåííîãî âûøå ïðåäëîæåíèÿ âèäíî,RH1,(2,2,2,2)ñäâèãîì íà÷àëà êîîðäèíàò.îêðåñòíîñòèMP12,2,2,2êîòîðîå äîëæíî áûòüÏëîñêèå êîîðäèíàòûRτ0 òîãî æå ôðîáåíèóñîâà ìíîãîîáðàçèÿ H1,(2,2,2,2).÷òîÈççà èçîìîðôèçìàM σ |σ=∞ ∼=ìû èìååì:(τ ,ω )RAhom · H1,(2,2,2,2)= Mσ ∼= M6 0 0 .Ïîäñòàâëÿÿσk ,ìû ïîëó÷àåì, ÷òîñîîòâåòñòâóþùåå ñïåöèàëüíîé òî÷êå â ôîðìóëó äëÿj èíâàðèàíòðàâåí0, 1728÷èñëàτ0=√∞.(3.2)Ìû èìååì:√2π −11728 = j(exp()).3√0 = j( −1),Êîìïëåêñíûåèëèj èíâàðèàíòà√−1èτ0=êâàäðàòè÷íûìè èððàöèîíàëüíîñòÿìè.80exp( 2π 3 −1 )ÿâëÿþòñÿî÷åâèäíûìîáðàçîìÇàìåòèì, ÷òî ïðèâåäåííîå ïðåäëîæåíèå òàêæå îïðåäåëÿåò ïðîñòðàíñòâî ôðîáåíèóñîâûõìíîãîîáðàçèé, êîòîðûå ãèïîòåòè÷åñêè ìîãóò ïîÿâèòüñÿ â ñîîòâåòñòâèè CY/LG.Ñëåäñòâèå 8.9.

Îðáèòà ôðîáåíèóñîâà ìíîãîîáðàçèÿäëÿ âñåõτ0 ∈ H, ω0 ∈ C\{0}M(Ẽ8 ,Z3 ),ζLCSLïîä äåéñòâèåìçàäàåò ñåìåéñòâî ôðîáåíèóñîâûõ ñòðóêòóð Áìîäåëè81A(τ0 ,ω0 )(Ẽ8 , Z3 ).ÃËÀÂÀ 9Çåðêàëüíàÿ ñèììåòðèÿ òèïà LGLG äëÿ ïàðû (Ẽ8 , Z3 )Ãëàâíîé òåîðåìîé äàííîé ãëàâû ÿâëÿåòñÿ ñëåäóþùàÿ òåîðåìà î çåðêàëüíîé ñèììåòðèèòèïà LGLG.Òåîðåìà 9.1. Ôðîáåíèóñîâî ìíîãîîáðàçèå îðáèôîëäîâîé Àìîäåëè ËàíäàóÃèíçáóðãàïàðû(Ẽ8T , ZT3 )(ñì. Ãëàâà 5) èçîìîðôíî ôðîáåíèóñîâó ìíîãîîáðàçèþω0 :=Âàæíî çàìåòèòü,÷òîẼ8T = Ẽ8 ,1 24Γ34π 2√( −1,ω0 )M6, ãäå.òî åñòü ìíîãî÷ëåí,Ẽ8 ,çàäàþùèé îñîáåííîñòüíåèçìåíÿåòñÿ ïðè äâîéñòâåííîñòè ÁåðãëþíäàÕóáøà. ïðåäûäóùåé ãëàâå ìû ïîêàçàëè, ÷òî íà ïðîñòðàíñòâå ôðîáåíèóñîâûõ ñòðóêòóð çàìåíàïðèìèòèâíîé ôîðìû ýêâèâàëåíòà äåéñòâèþA(τ0 ,ω0 ) .Äëÿ òîãî, ÷òîáû äîêàçàòü ïðèâåäåííóþâûøå òåîðåìó, ââèäó àêñèîìû î ñîîòâåòñòâèè CY/LG è òåîðåìû 6.2 î çåðêàëüíîé ñèììåòðèè,äîñòàòî÷íî ðàññìîòðåòü îðáèòó ôðîáåíèóñîâà ìíîãîîáðàçèÿäëÿ âñåõMP12,2,2,2ïîä äåéñòâèåìA(τ0 ,ω0 )τ0 , ω 0 .Ìû êëàññèôèöèðóåì ôðîáåíèóñîâû ìíîãîîáðàçèÿA(τ0 ,ω0 ) · MP12,2,2,2 ,àêñèîìàì Àìîäåëè ËàíäàóÃèíçáóðãà, ïðåäëîæåííûìè â Ãëàâå 5.óäîâëåòâîðÿþùèåÎäíîé èç íàèáîëååñòðîãèõ ÿâëÿåòñÿ àêñèîìà î ðàöèîíàëüíîñòè.Îïðåäåëåíèå.

Ïóñòüìíîãîîáðàçèåt1 , . . . , tµíàMM,óäîâëåòâîðÿåò:Äëÿòîãî,îïðåäåëåííûåK ⊂ Cðàçìåðíîñòè íåêîòîðîå ïîëå.µ îïðåäåëåíîíàäÁóäåì ãîâîðèòü, ÷òî ôðîáåíèóñîâîK åñëè ñóùåñòâóåò âûáîð ïëîñêèõ êîîðäèíàòòàêîé, ÷òî ôðîáåíèóñîâ ïîòåíöèàëFîïðåäåëåí â òî÷êåt1 = · · · = tµ = 0èF ∈ K{t1 , . . . , tµ }.÷òîáûíàäQêëàññèôèöèðîâàòüíåîáõîäèìîâñåðàññìîòðåòüôðîáåíèóñîâûðàçëîæåíèåâÏîëîæèì:4γ (τ0 ,ω0 ) (t) :=2 X (τ0 ,ω0 )X(t).3 k=2 kÒîãäà âåðíî:(τ ,ω0 )Xk 0(t) ∈ K{t} ⇒ γ (τ0 ,ω0 ) (t) ∈ K{t}.83ìíîãîîáðàçèÿðÿäôóíêöèé(τ0 ,ω0 )M6,(τ ,ω )Xk 0 0 (t).Ìûðàññìîòðèìôðîáåíèóñîâî(τ0 ,ω0 )M3ìíîãîîáðàçèåðàçìåðíîñòè3,òàêîå,÷òîåãî(τ0 ,ω0 )(τ ,ω )ïîòåíöèàë îïðåäåëÿåòñÿ ôóíêöèåé γ 0 0 .

Òàêèì îáðàçîì ðàöèîíàëüíîñòü M3ÿâëÿåòñÿ(τ0 ,ω0 )íåîáõîäèìûì óñëîâèåì äëÿ ðàöèîíàëüíîñòè M6.1. Òðåõìåðíîå ôðîáåíèóñîâî ìíîãîîáðàçèå M (τ0 ,ω0 )Ðàññìîòðèì ôðîáåíèóñîâû ìíîãîîáðàçèÿîäèí ñ ïëîñêèìè êîîðäèíàòàìèt1 , t2 , t3 ,•Åäèíè÷íîå âåêòîðíîå ïîëå•Ýéëåðîâî ïîëå•Ôðîáåíèóñîâ ïîòåíöèàëEeèìååò âèäFMðàçìåðíîñòè òðè è êîíôîðìíîé ðàçìåðíîñòèóäîâëåòâîðÿþùèå ñëåäóþùèì óñëîâèÿì:ñîâïàäàåò ñ∂.∂t1E = t1 ∂t∂1 + 12 t2 ∂t∂2 .èìååò ñëåäóþùèé ÿâíûé âèä:1t41F = t21 t3 + t1 t22 − 2 γ(t3 )2216ãäåγ(t) íåêîòîðàÿ ôóíêöèÿ îò ïåðåìåííîét,ãîëîìîðôíàÿ â îòêðûòîé îáëàñòè âC.Ñëåäóþùåå ïðåäëîæåíèå áûëî âïåðâûå çàìå÷åíî Äóáðîâèíûì.Ïðåäëîæåíèå9.2 (Ïðèëîæåíèå C â [11]).Óðàâíåíèå WDVV íàFýêâèâàëåíòíîñëåäóþùåìó óðàâíåíèþ, èçâåñòíîìó êàê óðàâíåíèå Øàçè.γ 000 = 6γγ 00 − 9(γ 0 )2 .(9.1)Äîêàçàòåëüñòâî.Óðàâíåíèå WDVV (2.1) ñ ÷åòûðüìÿ èíäåêñàìè(t2 , t2 , t3 , t3 )äà¼òòðåáóåìîå.1.1.

Ðÿäû Ýéçåíøòåéíà è ýëëèïòè÷åñêèå êðèâûå.ÏóñòüE2käëÿ âñÿêîãîk ∈ Z+ÿâëÿåòñÿ ðÿäîì Ýéçåíøòåéíà, îïðåäåëåííûì â Ãëàâå 4, Ðàçäåëå 2.2. Ðàññìîòðèì ñåìåéñòâîýëëèïòè÷åñêèõ êðèâûõ, ïàðàìåòðèçîâàííîåH:π : E := {(x, y, τ ) ∈ C2 × H | y 2 = 4x3 − g2 (τ )x − g3 (τ )} −→ H,òîãäà ìîäóëÿðíûå èíâàðèàíòû ýëëèïòè÷åñêîé êðèâîég2 (τ )èg3 (τ )èìåþò ñëåäóþùèåâûðàæåíèÿ ÷åðåç ðÿäû Ýéçåíøòåéíà:g2 (τ ) :=(9.2)Îáîçíà÷èì ÷åðåçEτ 04π 4E4 (τ ),3ñëîé îòîáðàæåíèÿÎïðåäåëåíèå. ÏóñòüK⊂Cπg3 (τ ) :=íàä òî÷êîé8π 6E6 (τ ).27τ0 ∈ H. íåêîòîðîå ïîëå. Ôèêñèðóåì íåêîòîðîåãîâîðèòü, ÷òî ýëëèïòè÷åñêàÿ êðèâàÿEτ 0îïðåäåëåíà íàäKåñëè èìåþòñÿ÷òî àëãåáðàè÷åñêîå ìíîãîîáðàçèåEg2 ,g3 := {(x, y) ∈ C2 | y 2 = 4x3 − g2 x − g3 }84τ0 ∈ H.g2 , g3 ∈ K,Áóäåìòàêèå,èçîìîðôíîEτ0 .E2 , E4 , E6Ïðîèçâîäíûå ðÿäîâ Ýéçåíøòåéíàóäîâëåòâîðÿþò ñëåäóþùèì òîæäåñòâàì,èçâåñòíûì êàê òîæäåñòâà Ðàìàíóäæàíà:11dE2 (τ )√=E2 (τ )2 − E4 (τ ) ,122π −1 dτ1dE4 (τ )1√= (E2 (τ )E4 (τ ) − E6 (τ )) ,32π −1 dτ1dE6 (τ )1√=E2 (τ )E6 (τ ) − E4 (τ )2 .22π −1 dτ(9.3)Ðàññìîòðèì òàêæå êîìïëåêñíîçíà÷íóþ âåùåñòâåííîàíàëèòè÷åñêóþ ôóíêöèþE2∗ (τ )íàH,îïðåäåëåííóþ ñëåäóþùèì îáðàçîì:E2∗ (τ ) := E2 (τ ) −3,πIm(τ )Òàêàÿ ôóíêöèÿ ÿâëÿåòñÿ ïðèìåðîì ïî÷òè ãîëîìîðôíîé ìîäóëÿðíîé ôîðìû âåñà äâà ââèäóñëåäóþùåãî ðàâåíñòâà.a b ∈ SL(2, Z)c d1aτ + b∗∗E2 (τ ) =E(cτ + d)2 2 cτ + dÏðåäëîæåíèå 9.3.

Äëÿ âñÿêîé ìàòðèöûâåðíî:Äîêàçàòåëüñòâî. Óòâåðæäåíèå ñëåäóåò ìîìåíòàëüíî èç ðàâåíñòâà −1aτ + b|cτ + d|2Im,=cτ + dIm(τ )(9.4)a b ∈ SL(2, Z),c d.Îïðåäåëåíèå. Ìíîãî÷ëåíf (τ )ïîIm(τ )−1íàä êîëüöîì ãîëîìîðôíûõ ôóíêöèé íàäH,óäîâëåòâîðÿþùèé ñâîéñòâóf (τ ) =1f(cτ + d)kaτ + bcτ + däëÿ ëþáîéíàçûâàåòñÿ ïî÷òè ãîëîìîðôíîé ìîäóëÿðíîé ôîðìîé âåñàÏðåäëîæåíèå9.4(Ïàðàãðàôãîëîìîðôíàÿ ìîäóëÿðíàÿ ôîðìà âåñàf (τ ),(9.5)5.1.k.â[50]).a b ∈ SL(2, Z),c dk.Ïóñòüf (τ )íåêîòîðàÿïî÷òèÒîãäà ïî÷òè ãîëîìîðôíàÿ ïðîèçâîäíàÿ ôóíêöèèîïðåäåëåííàÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì∂k f (τ ) :=1∂f (τ )k√−f (τ ),4πIm(τ )2π −1 ∂τÿâëÿåòñÿ ïî÷òè ãîëîìîðôíîé ìîäóëÿðíîé ôîðìîé âåñà85k + 2.Äîêàçàòåëüñòâî.Óâòåðæäåíèå ïðîâåðÿåòñÿ ÿâíî ñ èñïîëüçîâàíèåì óðàâíåíèé (4.4) è(9.4).

Ïðîâåðèì óòâåðæäåíèå ÿâíî äëÿ∂2 E2∗ (τ ):131E2 (τ )2 − E4 (τ ) −E ∗ (τ ).−2124π(Im(τ ))2πIm(τ ) 216E2 (τ )912=E2 (τ ) −+− E4 (τ ).212πIm(τ ) (πIm(τ ))12∂2 E2∗ ==Âñëåäñòâèå ìîäóëÿðíîñòèE4èE2∗1 ∗ 21E2 (τ ) − E4 (τ ).1212ìû ïîêàçàëè òðåáóåìîå. äàëüíåéøåì ìû áóäåì îïóñêàòü èíäåêñkâ ïðîèçâîäíîé, èìåÿ â âèäó, ÷òî ýòîò èíäåêñâñåãäà ôèêñèðîâàí âåñîì ìîäóëÿðíîé ôîðìû, ê êîòîðîé ïðèìåíÿåòñÿ ïðîèçâîäíàÿ.áóäåì òàêæå èñïîëüçîâàòü îáîçíà÷åíèå∂ p,Ìûêîòîðîå çàïèñûâàåòñÿ:∂ p g := ∂k+2(p−1) .

. . ∂k g,äëÿ íåêîòîðîé ïî÷òè ãîëîìîðôíîé ìîäóëÿðíîé ôîðìûgâåñàk.Ïðåäëîæåíèå 9.5. Ìû èìååì:∂E2∗ (τ ) =∂2E2∗ (τ )1=361E2∗ (τ )2 − E4 (τ ) ,121 ∗ 23 ∗E6 (τ ) − E2 (τ )E4 (τ ) + E2 (τ ) .22Äîêàçàòåëüñòâî. Ýòî ñëåäóåò èç ïðÿìûõ âû÷èñëåíèé ñ èñïîëüçîâàíèåì óðàâíåíèé (9.3).1.2. Ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ WDVV.Ïðåäëîæåíèå 9.6. Ïóñòü ôóíêöèÿγ(t),ãîëîìîðôíàÿ íà íåêîòîðîé îáëàñòè âÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì óðàâíåíèÿ (9.1).ãîëîìîðôíóþ ôóíêöèþdet(A)γγ (t) :=(ct + d)2γ A (t)A = íà íåêîòîðîé îáëàñòè âA(9.7)Òîãäàγ A (t)Äëÿ âñÿêîãîat + bct + d(9.8) ∈ GL(2, C),c dC,îïðåäåëèìC:+6c.ct + dòàêæå ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì óðàâíåíèÿ (9.1).Äîêàçàòåëüñòâî.

Ýòî ñëåäóåò èç ïðîñòûõ âû÷èñëåíèé.ôóíêöèþa bγ ∞ (τ ),îïðåäåëåííóþ íàH:√π−1E2 (τ )γ ∞ (τ ) :=386Ðàññìîòðèì ãîëîìîðôíóþF ∞,Á.À. Äóáðîâèíûì áûëî çàìå÷åíî, ÷òî ôóíêöèÿãîëîìîðôíàÿ íàM ∞ := C2 × H,îïðåäåëåííàÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì:1t41F ∞ = t21 τ + t1 t22 − 2 γ ∞ (τ )2216çàäà¼ò íàM∞ñòðóêòóðó ôðîáåíèóñîâà ìíîãîîáðàçèÿ êîíôîðìíîé ðàçìåðíîñòè1.Ýòîôðîáåíèóñîâî ìíîãîîáðàçèå áûëî äåòàëüíî ðàññìîòðåíî Äóáðîâèíûì.Ïðåäëîæåíèå9.7. Ãîëîìîðôíàÿ ôóíêöèÿSL(2, Z)èíâàðèàíòíà ïîä äåéñòâèåìÄîêàçàòåëüñòâî.ôóíêöèèE2 (τ )γ ∞ (τ )óäîâëåòâîðÿåò óðàâíåíèþ (9.1) è(ñì.

(9.7)).Ýòî ñëåäóåò èç ïðîñòûõ âû÷èñëåíèé èñïîëüçóþ ìîäóëÿðíîñòü (4.4)è òîæäåñòâ Ðàìàíóäæàíà.1.3. Äåéñòâèå A(τ0 ,ω0 ) íà M ∞ .Îïðåäåëåíèå. Ôèêñèðóåì íåêîòîðûåτ0 ∈ H(1) Îïðåäåëèì ãîëîìîðôíóþ ôóíêöèþω0 ∈ C\{0}.èγ (τ0 ,ω0 ) (t)íàD(τ0 ,ω0 ) := {t ∈ C | |t| < | − 4πω02 Im(τ0 )|}ïðèìåíÿÿ äåéñòâèå(8.5) ) ê ôóíêöèèGL(2, C)ïî ôîðìóëå (9.7), îïðåäåëåííîå ìàòðèöåé(ñì.γ ∞ (τ ).(2) Îïðåäåëèì êîìïëåêñíûå ÷èñëàðàçëîæåíèÿ â ðÿä ôóíêöèèγci (τ0 , ω0 ),γ (τ0 ,ω0 ) (t)(τ0 ,ω0 )(t) =(τ0 ,ω0 )M3äëÿ âñåõâ òî÷êån!:= C2 × D(τ0 ,ω0 )i ∈ Z≥0 ,êàê êîýôôèöèåíòût=0:∞Xcn (τ0 , ω0 )n=0(3) Îáîçíà÷èì ÷åðåçA(τ0 ,ω0 )tn .ôðîáåíèóñîâî ìíîãîîáðàçèå, èìåþùååñëåäóþùèé ôðîáåíèóñîâ ïîòåíöèàë11t4F (τ0 ,ω0 ) = t21 t + t1 t22 − 2 γ (τ0 ,ω0 ) (t).2216(4) Ñîïîñòàâèìôðîáåíèóñîâóìíîãîîáðàçèþ(τ0 ,ω0 )M3ýëëèïòè÷åñêóþçàäàâàåìóþ â êîîðäèíàòàõ óðàâíåíèåì(9.9)331y 2 = x3 − c0 (τ0 , ω0 )x2 + c1 (τ0 , ω0 )x − c2 (τ0 , ω0 ).22487êðèâóþ,1.4.