Диссертация (Зеркальная симметрия для простых эллиптических особенностей с действием группы), страница 14

Îò ðàçìåðíîñòè 6 ê ðàçìåðíîñòè 3.Ñëåäóþùàÿ òåîðåìà, äàþùàÿ ïîëíóþêëàññèôèêàöèþ ðåøåíèé ñèñòåìû Àëüôàíà (8.3), áûëà äîêàçàíà Îÿìîé:9.8Òåîðåìà(Òåîðåìàãîëîìîðôíà â îêðåñòíîñòè(1) Åñëè ÷èñëàXk (z)2.1z∈Hâ[38]).Ïóñòüòðîéêàôóíêöèé(X2 (t), X3 (t), X4 (t))è óäîâëåòâîðÿåò (8.3). Òîãäà:ïîïàðíî ðàçëè÷íû:Xp (z) 6= Xq (z) p 6= q, 2 ≤ p, q ≤ 4,òî∃A ∈ SL(2, C),ò.÷.Xk (t) = XkA (t).(2)  ïðîòèâíîì ñëó÷àå, åñëè äâà èç çíà÷åíèéðàçíûõ èíäåêñîâ (ïóñòüXp (z) = Xq (z)),Xk (t)t = zâ òî÷êåñîâïàäàþò äëÿòî:c,ct + dcaXr (t) = −+,ct + d (ct + d)2Xp (t) = Xq (t) = −(9.10)äëÿ(c : d) ∈ P1è íåêîòîðîãî êîìïëåêñíîãî ÷èñëàa ∈ C,êîòîðîå îáíóëÿåòñÿ åñëèXr (z) = Xp (z) = Xq (z).ÑâÿçüìåæäóóðàâíåíèåìØàçèèñèñòåìîéÀëüôàíàóñòàíàâëèâàåòñÿñëåäóþùèìïðåäëîæåíèåì.Ïðåäëîæåíèå 9.9. Ðàññìîòðèì óðàâíåíèå òðåòüåãî ïîðÿäêà ïîω:313ω 3 − γ(t)ω 2 + γ 0 (t)ω − γ 00 (t) = 0.224(9.11)(1) Âñÿêàÿ òðîéêà ãîëîìîðôíûõ ôóíêöèé(X2 (t), X3 (t), X4 (t)),ñèñòåìû Àëüôàíà (8.3) ÿâëÿåòñÿ òðîéêîé êîðíåéòðåòüåé ñòåïåíè (9.11) ïî ïåðåìåííîéωÿâëÿþùàÿñÿ ðåøåíèåì(ω1 (t), ω2 (t), ω3 (t))äëÿ íåêîòîðîé ôóíêöèèγ(t),óðàâíåíèÿÿâëÿþùåéñÿðåøåíèåì óðàâíåíèÿ Øàçè.(2) Îáîçíà÷èì ÷åðåçÒîãäà∆Q = ∆Q (t)(ω1 (t), ω2 (t), ω3 (t))∆Q (0) = 0,çàäàþò ïîñòîÿííîå ðåøåíèå òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäàè íåïîñòîÿííîå ðåøåíèå òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäàÄîêàçàòåëüñòâî.

Ðàññìîòðèìγ 0 (t) =äèñêðèìèíàíò óðàâíåíèÿ òðåòüåé ñòåïåíè (9.11).γ(t) :=23PXi (t).∆Q (0) 6= 0.Èç óðàâíåíèé (8.3) ñëåäóåò:2(X2 (t)X3 (t) + X3 (t)X4 (t) + X2 (t)X4 (t)) ,3γ 00 (t) = 4X2 (t)X3 (t)X4 (t),γ 000 (t) = 8X2 (t)X3 (t)X4 (t) (X2 (t) + X3 (t) + X4 (t)) − 4Xi<j88(Xi (t)Xj (t))2 .÷òîçàâåðøàåòäîêàçàòåëüñòâîïåðâîé÷àñòè.Âòîðàÿ÷àñòüñëåäóåòíåìåäëåííîèçÒåîðåìû 9.8.γ(t):Îïðåäåëåíèå. Ìû áóäåì íàçûâàòü ôóíêöèþ2XXi (t)3γ(t) :=(X2 (t), X3 (t), X4 (t))ðåøåíèåì óðàâíåíèÿ Øàçè, àññîöèèðîâàííîãî ñ òðîéêîé ðåøåíèåìñèñòåìû Àëüôàíà.Ïðåäëîæåíèå 9.10.

ÏóñòüK ⊂ C,òîãäà3ìåðíîå(τ0 ,ω0 )6ìåðíîå ôðîáåíèóñîâî ìíîãîîáðàçèå M6ôðîáåíèóñîâî ìíîãîîáðàçèå(τ0 ,ω0 )M3Äîêàçàòåëüñòâî. Ðàññìîòðèì ðåøåíèå óðàâíåíèÿ Øàçè(τ0 ,ω0 )M3è ðåøåíèå ñèñòåìû Àëüôàíà(τ0 ,ω0 )(Xi(t))îïðåäåëåíî íàäòàêæå îïðåäåëåíî íàäK.γ (τ0 ,ω0 ) , çàäàííîå ìíîãîîáðàçèåì(τ0 ,ω0 )M6çàäàííîå ìíîãîîáðàçèåì.Äëÿäîêàçàòåëüñòâà ïîêàæåì:γ (τ0 ,ω0 ) (t) =Òàêêàêèëåâàÿ,èïðàâàÿ÷àñòè2 X (τ0 ,ω0 )(t).Xi3ðàâåíñòâàïîëó÷åíûäîñòàòî÷íî äîêàçàòü ðàâåíñòâî ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ Øàçè(X2∞ , X3∞ , X4∞ ):îäíèìγ∞èòåìäåéñòâèåì,è ðåøåíèÿ ñèñòåìû Àëüôàíà√π2X ∞−1γ∞ =E2 (t) =Xi (t).33P ∞20÷òî ôóíêöèÿ γ :=Xk óäîâëåòâîðÿåò3Ìû óæå çàìå÷àëè ðàíåå,æåóðàâíåíèþ Øàçè.Òàêèì îáðàçîì äîñòàòî÷íî ïðîâåðèòü, ÷òî òðè ïåðâûõ êîýôôèöèåíòà ðÿäîâ Ôóðüåγ0èγ∞ñîâïàäàþò.

Ýòî ìîæåò áûòü ëåãêî ñäåëàíî èñïîëüçóÿ ÿâíûå ôîðìóëû. Ðÿä Ôóðüå ôóíêöèéXp∞29]):èìååò ñëåäóþùèé âèä (ñì. Ãëàâà 1 â [2π −11√2π −1X3∞√∞1√X2∞1 X2ke2kπ −1τ√= +(−1)k−1,4 k=11 − e2kπ −1τ√∞X√∞X12kekπ −1τ∞√√ X4 = −.2kπ −1τ2π −11−ek=12kekπ −1τ√=(−1)k−1,2kπ −1τ1−ek=1Èñïîëüçóÿ ðàâåíñòâî∞X√kπ −1τek=1è îïðåäåëåíèå ðÿäàE2 (τ )√∞Xk n ekπ −1τ√σn (k) =,kπ −1τ1−ek=1n ∈ N+ìû ïîëó÷àåì òðåáóåìîå.2. Êëàññèôèêàöèÿ â ðàçìåðíîñòè 3Ïðåäëîæåíèåìíîãîîáðàçèå9.10(τ0 ,ω0 )M6çàäàåòíåîáõîäèìîåáûëî îïðåäåëåíî íàäóñëîâèåQ.äëÿòîãî,ôðîáåíèóñîâîÏîýòîìó ìû íà÷íåì ñ êëàññèôèêàöèè 3(τ0 ,ω0 )ìåðíûõ ôðîáåíèóñîâûõ ìíîãîîáðàçèé M3, îïðåäåëåííûõ íàä89÷òîáûQ.2.1.

Êëàññèôèêàöèÿêëàññèôèêàöèè âñåõ(τ0 ,ω0 )M3íàäËåììà 9.11. Äëÿ âñÿêèõôóíêöèèγ (τ0 ,ω0 )íàäM (τ0 ,ω0 )êîëüöîìK.ÏðèâåäåìäâåëåììûäëÿK ⊂ C.τ0 ∈ Hèω0 ∈ C∗ ,ñëåäóþùèå êîýôôèöèåíòû ðÿäà Òåéëîðàèìåþò âûðàæåíèÿ ÷åðåç çíà÷åíèÿ ðÿäîâ Ýéçåíøòåéíà:1c0 (τ0 , ω0 ) = 26ω0E2 (τ0 ) −3πIm(τ0 ),c0 (τ0 , ω0 )2 E4 (τ0 )−,c1 (τ0 , ω0 ) =272ω04E6 (τ0 ).216ω06c2 (τ0 , ω0 ) = − c0 (τ0 , ω0 )3 + 3c0 (τ0 , ω0 )c1 (τ0 , ω0 ) +Äîêàçàòåëüñòâî. Ïî îïðåäåëåíèþ ôóíêöèèγ(τ0 ,ω0 )Ïîäñòàâëÿÿγ (τ0 ,ω0 )ìû èìååì:8ω02 π 2 Im(τ0 )22+E2(t) = −t + 4ω02 πIm(τ0 ) 3 (t + 4ω02 πIm(τ0 ))2t=0tτ̄0 + 4ω02 π(τ0 )Im(τ0 )t + 4ω02 πIm(τ0 ).ïîëó÷èì:1c0 (τ0 , ω0 ) =6ω02E2 (τ0 ) −3πIm(τ0 ).Èñïîëüçóÿ ôîðìóëû (9.3) ïîäñ÷èòàåì ïåðâóþ è âòîðóþ ïðîèçâîäíûå ôóíêöèèγ (τ0 ,ω0 ) :Èç âûðàæåíèÿ äëÿ ïåðâîé ïðîèçâîäíîé ïîëó÷àåì:1c1 (τ0 , ω0 ) =72ω04Âìåñòå ñ âûðàæåíèåì äëÿ6E2 (τ0 )92−+ E2 (τ0 ) − E4 (τ0 ) .π 2 Im(τ0 )2 πIm(τ0 )c0 (τ0 , ω0 ) ìû ïîëó÷àåì çàÿâëåííóþ ôîðìóëó.Äëÿ çíà÷åíèÿ âòîðîéïðîèçâîäíîé âåðíî ðàâåíñòâî:1 2727E2 (τ0 )9E2 (τ0 )2c2 (τ0 , ω0 ) =−+ E2 (τ0 )33 + 22 −63432ω0πIm(τ0 )π Im(τ0 )π Im(τ0 )3+ 3E4 (τ0 )− E2 (τ0 ) + 2E6 (τ0 ) .πIm(τ0 )Âûðàæàÿ çíà÷åíèÿ ðÿäîâ Ýéçåíøòåéí ÷åðåçc0 (τ0 , ω0 )èc1 (τ0 , ω0 )ìû ïîëó÷àåì òðåáóåìîå.Ëåììà 9.12.

Ïóñòüγ(t) çàäàíà ñõîäÿùèìñÿ ðÿäîì ïî t: γ(t) =∞Xcnn=0Øàçè ýêâèâàëåíòíî ñëåäóþùåé ðåêóðñèâíîé ôîðìóëå:cn+3 =n Xna=0a(6ca cn−a+2 − 9ca+1 cn−a+1 ) . ÷àñòíîñòè ìû èìååì:c3 = 6c2 c0 − 9c21 .90n!tn .Òîãäà óðàâíåíèåÄîêàçàòåëüñòâî. Ýòî ñëåäóåò ìîìåíòàëüíî ñðàâíåíèåì êîýôôèöèåíòîâ ïðèíàòóðàëüíûõktkäëÿ âñåõâ ëåâîé è ïðàâîé ÷àñòÿõ óðàâíåíèÿ Øàçè.Òåîðåìà 9.13. Ôèêñèðóåì íåêîòîðîãî ïîëåK ⊂ C, τ0 ∈ Hèω0 ∈ C\{0}.Ñëåäóþùèåóòâåðæäåíèÿ ýêâèâàëåíòíû:(i) Ôðîáåíèóñîâî ìíîãîîáðàçèåM (τ0 ,ω0 )îïðåäåëåíî íàä(ii) Âñå êîýôôèöèåíòû ðàçëîæåíèÿ ôóíêöèèf (τ0 ,ω0 ) (t)K.â ðÿä ïðèíàäëåæàò ïîëþK.(iii) Âûïîëíåíî:E2∗ (τ0 ) ∈ Kω02 ,∂(iv) Ïóñòü−E4 (τ0 ) ∈ Kω04 ,E6 (τ0 ) ∈ Kω06 .

ïî÷òè ãîëîìîðôíàÿ ïðîèçâîäíàÿ, îïðåäåëåííàÿ â (9.5). Âûïîëíåíî:1 ∗E2 (τ0 ) ∈ Kω02 ,24−1∂E2∗ (τ0 ) ∈ Kω04 ,24−1 2 ∗∂ E2 (τ0 ) ∈ Kω06 .24(v) Âûïîëíåíî:E2∗ (τ0 ) ∈ Kω02 ,èEτ0îïðåäåëåíà íàäK.Äîêàçàòåëüñòâî. Ïî îïðåäåëåíèþ, ôðîáåíèóñîâî ìíîãîîáðàçèåM (τ0 ,ω0 ) îïðåäåëåíî íàä Kòîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà ïëîñêèå êîîðäèíàòû t1 , et2 , et3 òàêîâû, ÷òî ôðîáåíèóñîâ ïîòåíöèàëóäîâëåòâîðÿåò:11 2 e4 e eF (τ0 ,ω0 ) = η1 t21et3 + η2 t1et + t2 f (t3 )22 2Îäíàêî ýòî ìîìåíòàëüíî âëå÷åòäëÿ íåêîòîðûõt3t22 = η2et22 , t3 = η1eèη1 , η2 ∈ Kèfe(et3 ) ∈ K{et3 }.γ (τ0 ,ω0 ) (t3 ) = 16η2−2 fe(et3 ),÷òî äîêàçûâàåòýêâèâàëåíòíîñòü óñëîâèé (i) è (ii).Ââèäó Ëåììû 9.12 ïåðâûå òðè êîýôôèöèåíòàêîýôôèöèåíòûci (τ0 , ω0 ) ∈ Kcn , n ≥ 3.äëÿ âñåõÄëÿ òîãî,c0 , c1èc2îïðåäåëÿþò ïîëíîñòüþ âñå÷òîáû ïîêàçàòü (iii) äîñòàòî÷íî òàêèì îáðàçîì:2 ≥ i ≥ 0.Ïî Ëåììå 9.11 òàêèì îáðàçîì (ii) ýêâèâàëåíòíî (iii).Èñïîëüçóÿ Ïðåäëîæåíèå 9.5 è Ëåììó 9.11 ìû âèäèì, ÷òî (iii) ýêâèâàëåíòíî:E2∗ (τ0 ) = 6c0 (τ0 , ω0 )ω02 ,∂E2∗ (τ0 ) = 6c1 (τ0 , ω0 )ω04 ,∂ 2 E2∗ (τ0 ) = 6c2 (τ0 , ω0 )ω06 .Ïîñëåäíåå óñëîâèå (v) ýêâèâàëåíòíî (iii) ñíîâà ââèäó Ëåììû 9.11 ñ îïðåäåëåíèÿEτ 0 .Äîêàçàòåëüñòâî çàâåðøåíî.912.1.1.

Ïðèìåð. Ïðèâåäåì çíà÷åíèÿ ðÿäîâ Ýéçåíøòåéíà âτ=√−1:8√√√Γ 143E2 ( −1) = , E4 ( −1) = 3,E(−1) = 0.6π64π 6(9.12)Ïîëàãàÿω0 ∈ Qìû èìååì:√√c0 ( −1, ω0 ) = c2 ( −1, ω0 ) = 0èΓ1 2434π 2√c1 ( −1, ω0 ) ∈ Q.Ïðèâåäåì çíà÷åíèÿ ðÿäîâ Ýéçåíøòåéíà âτ = ρ:18√27 Γ 132 3, E4 (ρ) = 0, E6 (ρ) =E2 (ρ) =.π2 28 π 12(9.13)Ïîëàãàÿ3Γ 13ω0 ∈ Q4π 2ìû èìååì:c0 (ρ, ω0 ) = c1 (ρ, ω0 ) = 0èc2 (ρ, ω0 ) ∈ Q.Ýòè äâà ïðèìåðà âàæíû ââèäó ñëåäóþùåãî ïðåäëîæåíèÿ.33]).Ïðåäëîæåíèå 9.14 (ñì.

Ëåììó 3.2 â [ÐàâåíñòâîE2∗ (τ ) = 0(9.14)âûïîëíåíî òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà √ exp 2π 3 −1 .√τ ∈ SL(2, Z) −1èëèτ ∈ SL(2, Z)ρ,ãäåρ :=2.2. Äåéñòâèå ãðóïïû SL(2, C) íà ìíîæåñòâå ôðîáåíèóñîâûõ ìíîãîîáðàçèé(τ0 ,ω0 )M3.Ïóñòüa bA := c d íåêîòîðàÿ ìàòðèöà èçτ0 7→ τ1 :=îïðåäåëÿåò äåéñòâèå ãðóïïûòî÷íîñòè äåéñòâèåSL(2, R),aτ0 + b,cτ0 + dSL(2, R)SL(2, R).Ñîîòâåòñòâèåω0 7→ ω1 := (cτ0 + d)ω0íà ìíîæåñòâå{(τ0 , ω0 ) | τ0 ∈ H, ω0 ∈ C \ {0}}.ïðåäëîæåííîå â (8.4) òàê êàê   (aτ̄ + b)τ̄0τ̄10ω0 τ0ω1 τ1(aτ0 + b)ω0  4πω0 Im(τ0 )  4πω1 Im(τ1 )4πω0 Im(τ0 )A==  (cτ̄ + d).11 0ω0ω(cτ0 + d)ω014πω0 Im(τ0 )4πω1 Im(τ1 )4πω0 Im(τ0 )92Ýòî â2.2.1.

ÄåéñòâèåSL(2, Z).Ëåììà 9.11 âëå÷åò ñëåäóþùåå ïðåäëîæåíèå.Ïðåäëîæåíèå 9.15. Ôèêñèðóåì íåêîòîðûåτ0 , τ1 ∈ Hèω0 , ω1 ∈ C\{0}.Ñëåäóþùèåóñëîâèÿ ýêâèâàëåíòíû:(i) Ñóùåñòâóåò èçîìîðôèçì ôðîáåíèóñîâûõ ìíîãîîáðàçèé(τ0 ,ω0 )(τ1 ,ω1 )(t). γ  (t) = γa b ∈ SL(2, Z), òàêàÿ,c d(τ0 ,ω0 )M3(τ ,ω )∼= M3 1 1 .(ii) Âåðíî ðàâåíñòâî ôóíêöèé(iii) Ñóùåñòâóåò ìàòðèöà÷òî:aτ0 + b, ω1k = (cτ0 + d)k ω0k ,cτ0 + d√τ0 ∈ SL(2, Z) −1, k = 6 åñëè τ0 ∈ SL(2, Z)ρτ1 =ãäåk=4åñëèèk=2âî âñåõ îñòàëüíûõñëó÷àÿõ.Äîêàçàòåëüñòâî.

Ýêâèâàëåíòíîñòü (i) è (ii) ïî÷òè î÷åâèäíà. Ïî Ëåììå 9.11 óñëîâèå (ii)ýêâèâàëåíòíî ñèñòåìå óðàâíåíèé:E2∗ (τ1 )E2∗ (τ0 )=,ω02ω12(9.15)E4 (τ0 )E4 (τ1 )=,4ω0ω14E6 (τ0 )E6 (τ1 )=.6ω0ω16j(τ0 ) = j(τ1 ), è òàêèì îáðàçîìa b ∈ SL(2, Z).íåêîòîðîéc dÈç ýòîé ñèñòåìû óðàâíåíèé ñëåäóåò, ÷òîτ1 =(9.16)aτ0 + b,cτ0 + däëÿÑëåäîâàòåëüíî ìû èìååì:(cτ0 + d)2 E2∗ (τ0 ) E4 (τ0 )(cτ0 + d)4 E4 (τ0 ) E6 (τ0 )(cτ0 + d)6 E6 (τ0 )E2∗ (τ0 )=,=,=.ω02ω12ω04ω14ω06ω16Åñëèτ0òàêîâî, ÷òîE2∗ (τ0 ) 6= 0,ïðèâåäåííàÿ âûøå ñèñòåìà ýêâèâàëåíòíàτ0 ∈ H, òàêèå, ÷òî E2∗ (τ0 ) = 0 ïðèâåäåíû â Ïðåäëîæåíèè√τ0 ∈ SL(2, Z) −1 è τ0 ∈ SL(2, Z)ρ.

Ðàññìàòðèâàÿ ñèñòåìó óðàâíåíèéÂñå çíà÷åíèÿω12 = (cτ0 + d)2 ω02 .9.14. Ýòî â òî÷íîñòè(9.15) äëÿ ýòèõ äâóõñëó÷àåâ ïîëó÷àåì:√τ0 ∈ SL(2, Z) −1 ⇒ E6 (τ0 ) = 0, E4 (τ0 ) 6= 0 ⇒ ω14 = (cτ0 + d)4 ω04 ,èτ0 ∈ SL(2, Z)ρ ⇒ E4 (τ0 ) = 0, E6 (τ0 ) 6= 0 ⇒ ω16 = (cτ0 + d)6 ω06 .Ñëåäîâàòåëüíî óñëîâèå (iii) ýêâèâàëåíòíî óñëîâèþ (ii) ïî Ëåììå 9.11 è Ëåììå 9.12.932.2.2. ÄåéñòâèåSL(2, Q)è êîìïëåêñíîå óìíîæåíèå.Îïðåäåëåíèå.

Ãîâîðÿò, ÷òî ýëëèïòè÷åñêàÿ êðèâàÿåñëè åå ìîäóëüíàòóðàëüíîãîτEèìååò êîìïëåêñíîå óìíîæåíèå, êâàäðàòè÷íàÿ èððàöèîíàëüíîñòü. Òî åñòü√τ ∈ Q( −D)äëÿ íåêîòîðîãîD.Óäèâèòåëüíûì ðåçóëüòàòîì â òåîðèè ýëëèïòè÷åñêèõ êðèâûõ ÿâëÿåòñÿ òîò ôàêò, ÷òîýëëèïòè÷åñêèåêðèâûåíàäQ,èìåþùèåêîìïëåêñíîåóìíîæåíèå,ìîãóòáûòüëåãêîêëàññèôèöèðîâàíû:44]).Òåîðåìà 9.16 (ñì. Ïàðàãðàô II.2 â [ðîâíî 13 ýëëèïòè÷åñêèé êðèâûõ íàäQ,Ñ òî÷íîñòüþ äî èçîìîðôèçìà ñóùåñòâóåòèìåþùèõ êîìïëåêñíîå óìíîæåíèå.Ìû ïðèâîäèì ìîäåëè Âåéåðøòðàññà òàêèõ ýëëèïòè÷åñêèõ êðèâûõ â Òàáëèöå 1.ÌîäóëüτÓðàâíåíèå Âåéåðøòðàññàj èíâàðèàíò√∆E(−1 + −3)/2y 2 = 4x3 + 1033√−3y 2 = 4x3 − 60x + 8824 33 5328 33√(−1 + 3 −3)/2y 2 = 4x3 − 120x + 253−215 35335√−1y 2 = 4x3 + 4x26 3325√y 2 = 4x3 − 44x + 6423 33 113292 −1√(−1 + −7)/2y 2 = 4x3 − 35x − 49−33 537348√−7y 2 = 4x3 − 2380x + 2234433 53 173212 73√−2y 2 = 4x3 − 120x + 22426 5329√(−1 + −11)/2y 2 = 4x3 − 88−215113x − 847327√(−1 + −19)/2y 2 = 4x3 − 152x + 361−215 33193√(−1 + −43)/2y 2 = 4x3 − 3440x + 38829−218 33 53433√(−1 + −67)/2y 2 = 4x3 − 29480x + 974113−215 33 53 113673√(−1 + −163)/2 y 2 = 4x3 − 8697680x + 4936546769 −218 33 53 233 293 1633Table 1.