Диссертация (Редукции бездисперсионных интегрируемых иерархий и уравнение Левнера), страница 14
Описание файла
Файл "Диссертация" внутри архива находится в папке "Редукции бездисперсионных интегрируемых иерархий и уравнение Левнера". PDF-файл из архива "Редукции бездисперсионных интегрируемых иерархий и уравнение Левнера", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "физико-математические науки" из Аспирантура и докторантура, которые можно найти в файловом архиве НИУ ВШЭ. Не смотря на прямую связь этого архива с НИУ ВШЭ, его также можно найти и в других разделах. , а ещё этот архив представляет собой кандидатскую диссертацию, поэтому ещё представлен в разделе всех диссертаций на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук.
Просмотр PDF-файла онлайн
Текст 14 страницы из PDF
Êàê ôóíêöèÿ ξk , h ÿâëÿåòñÿ äâàæäû ïåðèîäè÷åñêîé ôóíêöèåé ñ ïåðèîäàìè 1, τ 0 è âîçìîæíûìèïîëþñàìè â òî÷êàõ ξk = ξi , ξk = ξj è ξk = 0.Êàê îáû÷íî, ïðîâåðèì êàæäûé èç âîçìîæíûõ ïîëþñîâ. Ïîäñòàâèìξk = εh(ξk = ε) = S (ξi − ξj ) ζ1 (ε − ξi ) − ζ1 (ε − ξj ) + ζ2 (ξi − ξj ) −000−2S 00 (ξi − ξj )℘2 (ξi − ξj ) − S 0 (ξi − ξj )℘02 (ξi − ξj )++ 2S 00 (ξi − ξj )℘1 (ξj − ε) +S 00 (ξj ) 00−ζ1 (ε) + ζ1 (ε − ξj ) + ζ2 (ξj ) −+ S (ξi − ξj ) 0S (ξj )S 00 (ξi ) 00−ζ1 (ε) + ζ1 (ε − ξi ) + ζ2 (ξi ) +− S (ξi − ξj ) 0S (ξi )00+ S (ξi − ξj ) ℘2 (ξi ) − ℘2 (ξj ) −S 0 (ε) 00S 0 (ε) 0000− 0S (ε − ξi )S (ξi − ξj ) + 0S (ε − ξj )S 00 (ξi − ξj )+S (ξi )S (ξj )+ S 00 (ε − ξi )S 00 (ε − ξj ).Âûïèøåì òîëüêî ñèíãóëÿðíûå ÷ëåíû h:S 00 (ξi )S 00 (ξj )00ζ1 (ε) + S (ξi − ξj ) 0ζ1 (ε)−−S (ξi − ξj ) 0S (ξj )S (ξi )00S 0 (ε) 00S 0 (ε) 0000− 0S (ε − ξi )S (ξi − ξj ) + 0S (ε − ξj )S 00 (ξi − ξj ) =S (ξi )S (ξj )97 S 00 (ξ ) 1 S 00 (ξ ) 11 S 0 (ξi )1 S 0 (ξj ) ji= S (ξi − ξj ) − 0+−+=S (ξj ) ε S 0 (ξi ) εε S 00 (−ξi ) ε S 00 (−ξj ) S 00 (ξ ) 1 S 00 (ξ ) 11 S 0 (ξi ) 1 S 0 (ξj ) ji00= S (ξi − ξj ) − 0+−+= 0.S (ξj ) ε S 0 (ξi ) εε S 00 (ξi ) ε S 00 (ξj )Ïîëþñà íåò.Ïðîâåðèì ξk = ξi + ε00h(ξk = ξi + ε) = S (ξi − ξj ) ζ1 (ε) − ζ1 (ξi + ε − ξj ) + ζ2 (ξi − ξj ) −000−2S 00 (ξi − ξj )℘2 (ξi − ξj ) − S 0 (ξi − ξj )℘02 (ξi − ξj )++ 2S 00 (ξi − ξj )℘1 (ξj − (ξi + ε)) +S 00 (ξj ) −ζ1 (ξi + ε) + ζ1 (ξi + ε − ξj ) + ζ2 (ξj ) −+ S 00 (ξi − ξj ) 0S (ξj )S 00 (ξi ) 00− S (ξi − ξj ) 0−ζ1 (ξi + ε) + ζ1 (ε) + ζ2 (ξi ) +S (ξi )+ S 00 (ξi − ξj ) ℘2 (ξi ) − ℘2 (ξj ) −−S 0 (ξi + ε) 00S 0 (ξi + ε) 0000S(ε)S(ξ−ξ)+S (ξi + ε − ξj )S 00 (ξi − ξj )+ijS 0 (ξi )S 0 (ξj )+ S 00 (ε)S 00 (ξi + ε − ξj ) == S 000 (ξi − ξj )ζ1 (ε) − S 00 (ξi − ξj )S 00 (ξi )S 0 (ξi + ε) 00ζ(ε)−S (ε)S 00 (ξi − ξj )+1S 0 (ξi )S 0 (ξi )+ S 00 (ε)S 00 (ξi + ε − ξj )++ðåãóëÿðíûå ÷ëåíû=S 00 (ξi ) 11 S 0 (ξi ) + εS 00 (ξi ) 0011− 2S (ξi − ξj ) − 2 (S 00 (ξi − ξj )+= S 000 (ξi − ξj ) − S 00 (ξi − ξj ) 00εS (ξi ) εεS (ξi )ε+εS 000 (ξi − ξj ))++ðåãóëÿðíûå ÷ëåíû=S 00 (ξi ) 1 1 001 S 00 (ξi ) 0011+ 2 S (ξi −ξj )+S (ξi −ξj )− 2 S 00 (ξi −ξj )+= S 000 (ξi −ξj ) − S 00 (ξi −ξj ) 00εS (ξi ) ε εε S (ξi )ε1− S 000 (ξi − ξj )+ε+ ðåãóëÿðíûå ÷ëåíû= òîëüêî ðåãóëÿðíûå ÷ëåíû, ò.å.
ïîëþñà íåò.Ïðîâåðêà äëÿ ξk = ξi + ε àáñîëþòíî àíàëîãè÷íà, òàê ÷òî åå îïóñòèì.Ïîëó÷èëè, ÷òî ôóíêöèÿ ÿâëÿåòñÿ ðåãóëÿðíîé è, ñëåäîâàòåëüíî, ÿâëÿåòñÿ êîíñòàíòîé â ξk . ×òîáû íàéòè êîíñòàíòó, ìû âû÷èñëÿåì h â òî÷êåξk = 12 : 111000h(ξk = ) = S (ξi − ξj ) ζ1 ( − ξi ) − ζ1 ( − ξj ) + ζ2 (ξi − ξj ) −22298−2S 00 (ξi − ξj )℘2 (ξi − ξj ) − S 0 (ξi − ξj )℘02 (ξi − ξj )+1+ 2S 00 (ξi − ξj )℘1 (ξj − ) +200S (ξj )1100+ S (ξi − ξj ) 0−ζ1 ( ) + ζ1 ( − ξj ) + ζ2 (ξj ) −S (ξj )22S 00 (ξi ) 1100− S (ξi − ξj ) 0−ζ1 ( ) + ζ1 ( − ξi ) + ζ2 (ξi ) +S (ξi )22+ S 00 (ξi − ξj ) ℘2 (ξi ) − ℘2 (ξj ) −S 0 ( 12 ) 00 1S 0 ( 21 ) 00 100− 0S ( − ξi )S (ξi − ξj ) + 0S ( − ξj )S 00 (ξi − ξj )+S (ξi )2S (ξj )211+ S 00 ( − ξi )S 00 ( − ξj ).22Âîñïîëüçóåìñÿ1ζ1 ( − ξi ) = −ζ2 (ξi ),21S 0 ( ) = 0,21℘1 (ξi − ) = ℘2 (ξi ),211S 00 ( − ξi ) = S 00 ( + ξi ).22Òîãäà1h(ξk = ) = S 000 (ξi − ξj ) −ζ2 (ξi ) − ζ2 (ξj ) + ζ2 (ξi − ξj ) −200−2S (ξi − ξj )℘2 (ξi − ξj ) − S 0 (ξi − ξj )℘02 (ξi − ξj ) + 2S 00 (ξi − ξj )℘2 (ξj ) +S 00 (ξj ) S 00 (ξi ) + S 00 (ξi −ξj ) 0−ζ2 (0)−ζ2 (ξj )+ζ2 (ξj ) − S 00 (ξi −ξj ) 0−ζ2 (0)−ζ2 (ξi )+ζ2 (ξi ) +S (ξj )S (ξi )11+ S 00 (ξi − ξj ) ℘2 (ξi ) − ℘2 (ξj ) + S 00 ( + ξi )S 00 ( + ξj ).22Ïîëó÷èëè:h(ξi , ξj , 21 )= S (ξi − ξj ) −ζ2 (ξi ) + ζ2 (ξj ) + ζ2 (ξi − ξj ) −000− 2S 00 (ξi − ξj )℘2 (ξi − ξj ) − S 0 (ξi − ξj )℘02 (ξi − ξj )++ S 00 (ξi − ξj )℘2 (ξi ) + S 00 (ξi − ξj )℘2 (ξj ) + S 00 (ξi + 21 )S 00 (ξj + 12 ).Ìû õîòèì ïîêàçàòü, ÷òî h(ξi , ξj , 12 ) = 0, òîãäà h(ξi , ξj , ξk ) = 0, è äîêàçàòåëüñòâî îêîí÷åíî.
Îáîçíà÷èì H(ξi ) = h(ξi , ξj , 12 ). Ôóíêöèÿ H îáëàäàåò ñëåäóþùèìè êâàçèïåðèîäè÷åñêèìè ñâîéñòâàìè: H(ξi + 1) = H(ξi ),99H(ξi + τ 0 ) = −H(ξi ). Íàì äîñòàòî÷íî ïîêàçàòü, ÷òî ôóíêöèÿ H(ξi ) ðåãóëÿðíà â ïðåäïîëàãàåìûõ îñîáûõ òî÷êàõ ξi = ξj , ξi = ξj + 12 , ξi = 21 èH(0) = 0. Ðåãóëÿðíîñòü ïðîâåðÿåòñÿ ïðÿìûì âû÷èñëåíèåì.Ðàññìîòðèì âîçìîæíûé ïîëþñ ξi = ξj + ε:H(ξj + ε) = S (ε) −ζ2 (ξj + ε) + ζ2 (ξj ) + ζ2 (ε) −000−2S 00 (ε)℘2 (ε) − S 0 (ε)℘02 (ε)+11+S 00 (ε)℘2 (ξj + ε) + S 00 (ε)℘2 (ξj ) + S 00 (ξj + ε + )S 00 (ξj + ) =222ε112= 3 −ζ2 (ξj )+ε℘2 (ξj )+ ℘02 (ξj )+ζ2 (ξj )+ζ2 (0)+εζ20 (0) −2(− 2 )℘2 (0)− ℘02 (0)−ε2εε111− 2 (℘2 (ξj ) + ε℘02 (ξj ) + ℘2 (ξj )) + S 00 (ξj + )S 00 (ξj + ) =ε2222ε2122= 3 ε℘2 (ξj ) + 3 ℘02 (ξj ) − 3 ε℘2 (0) + 2 2 ℘2 (0) − 2 ℘2 (ξj )−εε 2εεε111− 2 ε℘02 (ξj ) + S 00 (ξj + )S 00 (ξj + ) =ε221222112= 2 ℘2 (ξj )+ ℘02 (ξj )− 2 ℘2 (0)+ 2 ℘2 (0)− 2 ℘2 (ξj )− ℘02 (ξj )+S 002 (ξj + ).εεεεεε2Ïîëþñà íåò.Ðàññìîòðèì âîçìîæíûé ïîëþñ ξi = ξj +12+ ε:11 11 000H(ξj + + ε) = S (ε + ) −ζ2 (ξj + ε + ) + ζ2 (ξj ) + ζ2 (ε + ) −22221111−2S 00 (ε + )℘2 (ε + ) − S 0 (ε + )℘02 (ε + )+22221111 11+S 00 (ε + )℘2 (ξj + ε + ) + S 00 (ε + )℘2 (ξj ) + S 00 (ξj + ε + + )S 00 (ξj + ) =2222 221111= S 000 (ε+ ) −ζ2 (ξj +ε+ )+ζ2 (ξj )+ζ1 (ε) −2S 00 (ε+ )℘1 (ε)−S 0 (ε+ )℘01 (ε)+22221111+S 00 (ε + )℘2 (ξj + ε + ) + S 00 (ε + )℘2 (ξj ) + S 00 (ξj + ε + 1)S 00 (ξj + ) =222211111= S 000 ( )ζ1 (ε) − 2(S 00 ( ) + εS 000 ( ))℘1 (ε) − (S 0 ( ) + εS 00 ( ))℘01 (ε)+222221111+S 00 (ε + )℘2 (ξj + ε + ) + S 00 (ε + )℘2 (ξj ) + S 00 (ξj + ε + 1)S 00 (ξj + ) =2222100= −2S 00 ( 21 )℘1 (ε) − εS 00 ( 12 )℘01 (ε)+ ðåãóëÿðíûå ÷ëåíû== −2S 00 ( 21 ) ε12 + εS 00 ( 21 ) ε23 + ðåãóëÿðíûå ÷ëåíû.Ïîëó÷èëè, ÷òî ïîëþñà íåò.Ðàññìîòðèì âîçìîæíûé ïîëþñ ξi = 12 + ε:111111H( +ε) = S 000 ( +ε−ξj ) −ζ2 ( +ε)+ζ2 (ξj )+ζ2 ( +ε−ξj ) −2S 00 ( +ε−ξj )℘2 ( +ε−ξj )−222222111111−S 0 ( +ε−ξj )℘02 ( +ε−ξj )+S 00 ( +ε−ξj )℘2 ( +ε)+S 00 ( +ε−ξj )℘2 (ξj )+S 00 (ε+1)S 00 (ξj + ) =2222221111= S 000 ( + ε − ξj ) −ζ1 (ε) + ζ2 (ξj ) + ζ2 ( + ε − ξj ) − 2S 00 ( + ε − ξj )℘2 ( + ε − ξj )−222211111−S 0 ( +ε−ξj )℘02 ( +ε−ξj )+S 00 ( +ε−ξj )℘1 (ε)+S 00 ( +ε−ξj )℘2 (ξj )+S 00 (ε)S 00 (ξj + ) =222221111= −S 000 ( + ξj )ζ1 (ε) + (S 00 ( + ξj ) + εS 000 ( + ξj ))℘1 (ε) + S 00 (ε)S 00 (ξj + )2222+ ðåãóëÿðíûå ÷ëåíû=11111111= − S 000 ( + ξj ) + S 00 ( + ξj ) 2 + 2 εS 000 ( + ξj ) − 2 S 00 (ξj + )+ε22εε2ε2+ ðåãóëÿðíûå ÷ëåíû.
Ïîëó÷èëè, ÷òî è â ýòîé òî÷êå ïîëþñà íåò.Ñëåäîâàòåëüíî, ôóíêöèÿ ðåãóëÿðíà, íàéäåì êîíñòàíòó. Ïðè ξi = 0èìååì:H(0) = S (−ξj ) −ζ2 (0) + ζ2 (ξj ) + ζ2 (−ξj ) − 2S 00 (−ξj )℘2 (−ξj )−00011−S 0 (−ξj )℘02 (−ξj ) + S 00 (−ξj )℘2 (0) + S 00 (−ξj )℘2 (ξj ) + S 00 ( )S 00 (ξj + ).22Ïîëó÷èëèH(0) = −S 0 (ξj )℘02 (ξj 0 + S 00 (ξj )℘2 (0) − S 00 (ξj )℘2 (ξj ) + S 00 ( 12 )S 00 (ξj + 12 )Ýòî ïðîäèôôåðåíöèðîâàííîå (AVII.5), êîòîðîå ðàâíî íóëþ.
Ò.å.H(0) = 0, è äîêàçàòåëüñòâî çàêîí÷åíî.7.9Ïðèëîæåíèå IX. Äîêàçàòåëüñòâî óðàâíåíèÿ (185)Äëÿ òîãî ÷òîáû äîêàçàòü (185), ìû íà÷íåì ñ (145):4πi∂λj S(u) = S 0 (ξj )S 0 (u + ξj )101∂τ.∂λj×òîáû âçÿòü äðóãóþ ïðîèçâîäíóþ, íàì íóæíî çíàòü ∂λi S 0 (u + ξj ) è∂λi S 0 (ξj ), êîòîðûå âû÷èñëÿþòñÿ ñ èñïîëüçîâàíèåì ýëëèïòè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ Ëåâíåðà, óðàâíåíèé Ãèááîíñà-Öàðåâà, óðàâíåíèé (AI.17), (AI.21),(AI.22) è ïðîèçâîäíîé îò óðàâíåíèÿ (AI.18). Íàéäåì4πi∂λi S 0 (u + ξj ) = 4πi(S 00 (u + ξj )∂τ∂ξj+ Ṡ 0 (u + ξj ))=∂λi∂λi ∂τ ∂τ + S 00 (u+ξj )ζ2 (u+ξj τ 0 )−S 0 (u+ξj )℘2 (u+ξj , τ 0 ).= S 00 (u+ξj )(ζ1 (ξi −ξj , τ 0 )−ζ1 (ξi , τ 0 ))∂λi∂λiÏîëó÷èëèhi ∂τ4πi∂λi S 0 (u+ξj ) = S 00 (u+ξj ) −ζ1 (u+ξi )+ζ1 (ξi −ξj )+ζ2 (u+ξj ) −S 0 (u+ξj )℘2 (u+ξj ).∂λiÇäåñü è íèæå âñå ζ− è ℘−ôóíêöèè èìåþò ìîäóëÿðíûé ïàðàìåòðÏðè z = ∞ (ò.å.
u = 0) ìû ïîëó÷àåìτ2.i ∂τ0.4πi∂λi S (ξj ) = S (ξj ) −ζ1 (ξi ) + ζ1 (ξi − ξj ) + ζ2 (ξj ) − S (ξj )℘2 (ξj )∂λi0h00Òåïåðü èç (145) ïîäðîáíî íàïèøåì:1 h∂τ∂τ∂λi ∂λj S(u) =∂λi S 0 (ξj )S 0 (u + ξj )+ S 0 (ξj )∂λi S 0 (u + ξj )+4πi∂λj∂λj+S 0 (ξj )S 0 (u + ξj )∂ 2τ i=∂λi ∂λj1 h 000=S (ξj )S (u + ξj ) −ζ1 (ξi ) + ζ1 (ξi − ξj ) + ζ2 (ξj ) −(4πi)200000−S (ξj )S (u + ξj )℘2 (ξj ) + S (ξj )S (u + ξj ) −ζ1 (ξi ) + ζ1 (ξi − ξj ) + ζ2 (ξj ) −i ∂τ ∂τ0000.−S (u + ξj )S (ξj )℘2 (u + ξj ) + S (ξj )S (u + ξj )2℘1 (ξi − ξj )∂λi ∂λj1 S 0 (ξj )S 00 (ξi − ξj ) ∂τ 1 0∂τ0Γij ∂λi S(u) = −S(ξ)S(u+ξ)=ii4πiS 0 (ξi )∂λj 4πi∂λi=−1∂τ ∂τS 0 (ξj )S 00 (ξi − ξj )S 0 (u + ξi ).2(4πi)∂λi ∂λjèΓji ∂λj S(u) = −1∂τ ∂τ0(000Sξ)S(ξ−ξ)S(u+ξ).ijij(4πi)2∂λj ∂λi102Îáúåäèíÿÿ âñå íåîáõîäèìûå óðàâíåíèÿ âìåñòå, ìû èìååì:∂λi ∂λj S(u) − Γij ∂λi S(u) − Γji ∂λj S(u) =1 ∂τ ∂τf (ξi , ξj , u),(4πi)2 ∂λi ∂λjãäåf (ξi , ξj , u) = 2S 0 (ξj )S 0 (u + ξj )℘1 (ξi − ξj )+000+ S (ξj )S (u+ξj ) −ζ1 (u+ξi )+ζ1 (ξi −ξj )+ζ2 (u+ξj ) −S 0 (ξj )S 0 (u+ξj )℘2 (u+ξj )+000+ S (ξj )S (u + ξj ) −ζ1 (ξi ) + ζ1 (ξi − ξj ) + ζ2 (ξj ) − S 0 (ξj )S 0 (u + ξj )℘2 (ξj )+000000+ S (ξi − ξj ) S (ξi )S (u + ξj ) + S (ξj )S (u + ξi ) .Ìû õîòèì äîêàçàòü, ÷òî f (ξi , ξj , u) = 0.
Ðàññóæäåíèÿ ñòàíäàðòíûå:f (ξi , ξj , u) êàê ôóíêöèÿ îò ξi ÿâëÿåòñÿ ýëëèïòè÷åñêîé ôóíêöèåé ñ ïåðèîäàìè 1 è τ2 , â ÷åì ëåãêî óáåäèòüñÿ, èñïîëüçóÿ ôîðìóëû èç ÏðèëîæåíèÿI (äëÿ ñäâèãà íà ñîîòâåòñòâóþùèé ïåðèîä), è âîçìîæíûìè ïîëþñàìè âòî÷êàõ ξi = ξj , ξi = −u è ξi = 0. Êàê îáû÷íî, ïðîâåðèì êàæäóþ èçòî÷åê. Íà÷íåì ñ ξi = ε:f (ε, ξj , u) = 2S 0 (ξj )S 0 (u + ξj )℘1 (ε − ξj )+000+ S (ξj )S (u+ξj ) −ζ1 (u+ε)+ζ1 (ε−ξj )+ζ2 (u+ξj ) −S 0 (ξj )S 0 (u+ξj )℘2 (u+ξj )+000+ S (ξj )S (u + ξj ) −ζ1 (ε) + ζ1 (ε − ξj ) + ζ2 (ξj ) − S 0 (ξj )S 0 (u + ξj )℘2 (ξj )+000000+ S (ε − ξj ) S (ε)S (u + ξj ) + S (ξj )S (u + ε) .Òóò ìîãóò äàòü âêëàä òîëüêî−S 00 (ξj )S 0 (u + ξj )ζ1 (ε) + S 00 (ε − ξj )S 0 (ε)S 0 (u + ξj )) =11= − S 00 (ξj )S 0 (u + ξj ) + S 00 (−ξj )S 0 (u + ξj )),εεíî ìû âèäèì, ÷òî ïîëþñà íåò.Òåïåðü ξi = −u + ε:f (−u + ε, ξj , u) = 2S 0 (ξj )S 0 (u + ξj )℘1 (−u + ε − ξj )+000+ S (ξj )S (u+ξj ) −ζ1 (u−u+ε)+ζ1 (−u+ε−ξj )+ζ2 (u+ξj ) −S 0 (ξj )S 0 (u+ξj )℘2 (u+ξj )++ S 00 (ξj )S 0 (u + ξj ) −ζ1 (−u + ε) + ζ1 (−u + ε − ξj ) + ζ2 (ξj ) − S 0 (ξj )S 0 (u + ξj )℘2 (ξj )+103+ S 00 (−u + ε − ξj ) S 0 (−u + ε)S 0 (u + ξj ) + S 0 (ξj )S 0 (u − u + ε) .Òóò ìîãóò äàòü âêëàä òîëüêî−S 0 (ξj )S 00 (u + ξj )ζ1 (ε) + S 00 (−u − ξj )S 0 (ξj )S 0 (ε) =11= −S 0 (ξj )S 00 (u + ξj ) + S 00 (u + ξj )S 0 (ξj ) .εεÎïÿòü ïîëó÷èëè, ÷òî îñîáåííîñòè íåò.
